Tilgang – At forstå og anvende lineære funktioner

Læringssporet bygger på fem matematikdidaktiske tilgange. De præsenteres i kort form og illustreres med eksempler i hvert af de fire faser i læringssporet. I afsnittet Grundlag er de fem tilgange udfoldet med referencer til forskningslitteratur. 

(a) Funktions- og trinvis beskrivelse af lineære sammenhænge. Forståelse af en funktion som en korrespondance mellem to variable, hvor der til enhver værdi af den uafhængige variabel i en definitionsmængde entydigt svarer en værdi af den afhængige variabel, er grundlæggende. Det er den definerende egenskab ved en funktion, og forståelse heraf er essentiel i arbejdet med lineære funktioner. Forståelse af en lineær funktion som en ko-variation (eller samvariation) mellem to variable er imidlertid ligeledes essentiel – det gælder såvel som grundlag for fortsat matematiklæring, fx i differentialregning, som ved modellering.

Sigtet er, at eleverne skal kunne beherske og veksle mellem disse forståelser af en lineær funktion i de forskellige repræsentationsformer:      

(1) At en lineær funktion, f(x), er en sammenkædning (en korrespondance) mellem to variable, en uafhængig variabel x og en afhængig variabel y, der kan angives ved en forskrift på formen $f(x) = a \cdot x + b$. Med notationen $ y = f(x) = a \cdot x + b$ fremhæves, at der er tale om en forskrift for funktionen $f(x)$, der til enhver $x$-værdi i definitionsmængden knytter netop én $y$-værdi. I læringssporet benyttes betegnelsen funktionsbeskrivelse for (1).

(2) At en lineær sammenhæng mellem to variable $x$ og $y$ indebærer et bånd for, hvordan de to variable varierer indbyrdes. En lineær funktion, $f(x)$, er således en ko-variation mellem $x$ og $y$, hvor en variation i den uafhængige variable, $x$, medfører en variation i den afhængige variable, $y$, der er et fast tal, $a$, gange variationen i den uafhængige variable – uanset værdien af den uafhængige variable. Det er essentielt for forståelse af lineære funktioner og for anvendelse heraf. I sporet benyttes betegnelsen trinvis beskrivelse eller trinvis udvikling for (2).

(b) Proces- og objektforståelse af lineær funktion. Forståelse af en funktion som en proces, der til værdier af en uafhængig variabel tilordner værdier af en afhængig variabel, går i elevernes læreproces forud for forståelse af en funktion som et matematisk objekt i sig selv. Forståelse af en lineær funktioner som en proces må etableres som grundlag for en gradvis indkapsling af processen til et hele, der så på et tidspunkt af eleven kan begribes som en ting i sig selv – en funktion som et nyt matematisk objekt. Der er tale om et erkendelsesspring, som betyder, at man kan adskille objektet fra dens repræsentationer og ”gøre noget med det” i andre processer. Sporet støtter en sådan erkendelse ved at anvende forskellige repræsentationsformer – ofte alle fire – og ved at fremhæve, når funktionerne indgår i andre processer. Det gælder ved ligningsløsning, når lineære funktioner adderes, sættes sammen – fx forskydes lodret eller vandret – og når den omvendte funktion bestemmes. Objektforståelse af funktioner generelt er et langsigtet mål, der er relevant for hele det gymnasiale uddannelsestrin, og som endda rækker ind i matematikundervisning på videregående uddannelser. 

 (c) Repræsentationernes betydning. Det er gennem arbejdet med de forskellige repræsentationer og navnlig deres forbindelser, at eleverne kan skabe mening med abstrakte matematiske begreber. I arbejdet med lineære funktioner drejer det sig om begreberne variabel, ligning, graf og funktion. Det er i arbejdet med lineære funktioner, at eleverne for første gang arbejder med de fire repræsentationsformer i sammenhæng: (1) sproglig repræsentation, hvor eleverne forstår og beskriver sammenhænge mellem to varierende størrelser baseret på mundtlig og skriftlig sproglig repræsentation; (2) tabelrepræsentation, hvor eleverne konkret aflæser eller beregner funktions­værdier for udvalgte værdier af en uafhængig variabel samt angiver og benytter samhørende numerisk variation mellem de to variable; (3) symbolsk algebraisk repræsentation, hvor eleverne i vari­­abelnotation opstiller, fortolker (læser mening ind i) og manipulerer med ligninger, der sammen­kæder to variable; samt (4) grafrepræsentation i et koordinatsystem, hvor eleverne fremstiller og fortolker rette linjer som grafer for lineære funktioner. I læringssporet betegnes de fire repræsentationer kort sproglig, tabel-, algebraisk og graf-repræsentation. Oversættelse bruges om det at skabe forbindelse imellem repræsentationsformer, mens omskrivning eller manipulation betegner arbejde inden for samme repræsentation. Udgangspunktet er jf. Overblikket, at eleverne har arbejdet med de fire repræsentationsformer i grundskolen. Læringssporet tydeliggør, hvordan de centrale begreber – variabel, ligning og lineær funktion – får deres betydning gennem repræsentationer og deres forbindelser. Der er særligt fokus på brug af algebraisk repræsentation, der jo er essentiel for generalisering af de matematiske sammenhænge og dermed også et middel til at skabe sammenhæng i elevernes forståelse og grundlag for deres fortsatte matematiklæring. 

(d) Anvendelse af dynamiske geometri og regneark som læringsredskab. Læringssporet udnytter it-værktøjer til under­søgelse af konkrete lineære sammenhænge og til at skabe dynamisk forbindelse mellem tabel, symbol og graf repræsentationer. Der kan naturligvis arbejdes med forskellige it-værktøjer. Det afgørende er, at de bruges som undersøgelses- og erkendelsesredskab, og ikke alene som værktøj for eleverne ved opgaveløsning. Læreren kan bruge it-værktøjer til at skabe fælles faglige oplevelser ved iscenesættelse af undersøgende arbejde, og eleverne kan anvende værktøjet ved problem­løsning og modellering herunder ved præsentationer for hinanden/hele klassen. I dette spor anvendes GeoGebra. Det er illustreret, hvordan de dynamiske muligheder kan udnyttes i elevernes undersøgelse og af læreren ved introduktion og opsamling. Mange elever vil kende GeoGebra fra grundskolen, men det må forventes, at eleverne skal støttes til at arbejde undersøgende med GeoGebra, herunder hvordan man kan bruge skydere til dynamiske undersøgelser. Det samme gælder regneark, hvor specielt formelkopiering med fast og dynamisk reference må introduceres for eleverne.

(e) Brug af gennemgående kontekster. I læringssporet lægges der op til at arbejde med udvalgte kontekster, der er meningsfulde for eleverne, og som giver grundlag for arbejde med centrale aspekter ved lineære funktioner. Det er tanken, at de modeller, der udvikles, kan bruges som reference i opbygningen af elevernes forståelse af lineære funktioner. Det er illustreret, hvordan der kan skabes et frugtbart samspil mellem udvikling af elevernes matematiske forståelse og deres arbejde med modellering af vandforbruget ved brusebad. Andre kontekster kan være lige så velegnede – og måske bedre afstemt med interesser og erfaringer i en given klasse.