Grundlag – At forstå og anvende lineære funktioner

Lineære funktioner er et vigtigt emne ved afslutningen af grundskolen og ved overgangen til gymnasial uddannelse. Emnet volder mange elever vanskeligheder, hvilket ses ved folkeskolens prøver og ved screeningstests i grundforløbet på de gymnasiale uddannelser. Der er i høj grad tale om læringsmæssige udfordringer, som er velbelyste i matematikdidaktisk forskning. På grundlag heraf er det sigtet med lærings­sporet, at eleverne udvikler et begreb om lineære funktioner, som de kan bygge videre på i deres fortsatte matematiklæring, og som de kan bruge som redskab til at beskrive og analysere lineære sammenhænge såvel inden for som uden for matematikken. Herved styrkes og udvikles elevernes forståelse af algebra som et centralt element i deres matematiklæring. 

Det teoretiske grundlag for læringssporet består af matematikdidaktisk forskning inden for felterne (1) læring af lineære funktioner og funktioner generelt, (2) dannelse af matematiske begreber, (3) repræsen­tationers betydning i læreprocessen, (4) modellering som middel til matematiklæring, samt (5) brug af it som middel til læring af (lineære) funktioner. For hvert felt fremdrages her de væsentligste erkendelser, som læringssporene bygger på.

Læring af lineære funktioner og funktioner generelt

Der er tale om et meget omfattende og stadigt voksende forskningsfelt – specielt hvad angår læring af funktioner generelt. Thompson og Carlson (2017) sammenfatter en stor del af denne forskning. Herfra uddrages især to erkendelser.

For det første drejer det sig om, at dannelse af et matematisk begreb om variable som tal eller størrelser (tal med enheder), der kan variere, er et afgørende element ved læring af funktions­begrebet. Det omfatter følgende fem aspekter:

(a) variable varierer inden for forskellige taldomæner,

(b) variable kan betragtes som frie (uafhængige) eller bundne (afhængige) variable,

(c) variable tilskrives mening og fortolkes forskelligt i forskellige kontekster,

(d) variable kan navngives og repræsenteres symbolsk,

(e) variable kan sammen­knyt­­tes algebraisk i ligninger via deres symbolske repræsentationer.

Forskningen peger på, at en sådan forståelse af variabelbegrebet først og fremmest må udvikles og støttes netop gennem indledende arbejde med funktioner, herunder især med lineære funktioner. Man skal således ikke for­vente, at man forud for arbejdet med lineære funktioner kan sikre sig, at eleverne har en hensigts­­mæssig forståelse af variabelbegrebet. Man skal derimod have særligt fokus på at støtte elevernes forståelse af de anførte aspekter af variabel­begrebet i arbejdet med lineære funktioner. Det er indarbejdet i sporet, hvor domænet for de variable gradvist udvides fra de naturlige til de reelle tal, og hvor det drøftes med eleverne, hvad der i de forskellige kontekster er hensigtsmæssigt at opfatte som henholdsvis uafhængig og afhængig variabel. Derudover arbejdes med betydningen af at kunne repræsentere variabelsam­menhænge symbolsk ved ligninger og at kunne læse mening ind i ligninger ved at fortolke de indgående variable og parametre i relation til den givne kontekst.

For det andet fremhæves som et generelt resultat i forskningen, at forståelse af en (lineær) funktion som en samvariation mellem to variable er vigtig som udgangspunkt for udviklingen af elevernes funktionsbegreb. Ligeledes er en korrespondance­forståelse af (lineære) funktioner essentiel; den er grundlaget for at kunne forstå definitionen af en funktion. Thompson og Carlson (2017) sammenfatter forskning, der peger på, at de to forståelser bedst udvikles i samspil. Derfor arbejdes der gennem hele læringssporet med trinvis beskrivelse af lineære sammenhænge såvel som med korrespondanceforståelse. Det gælder i alle fire repræsentationsformer.

For det tredje påpeger forskningen forskellige muligheder for ”fejllæring” i arbejdet med lineære funktioner i form af overgeneralisering og instrumentel forståelse. Det gælder blandt andet Ceuppens et al. (2018), der finder, at hvis ikke eleverne arbejder med eksempler, der tilsammen udspænder de teoretiske muligheder, så begrænses deres begrebsforståelse til de eksempler, de faktisk arbejder med. Det betyder fx, at eleverne skal arbejde med konkrete lineære funktioner med udgangspunkt i hver af de fire repræsentationer, og at alle mulige kombinationer af fortegn og nul for parametre og begyndelsesværdier skal søges dækket i de eksempler, eleverne arbejder med. Det er søgt opnået i sporet ved valget af eksempler og aktiviteter, og ved at eleverne arbejder med selv at afdække de forskellige muligheder.   

Dannelse af matematiske begreber

Der er udviklet generelle teorier om dannelse af matematiske begreber. Det gælder blandt andet modellen for dannelse af matematiske begreber, der er udviklet af Anna Sfard (1991). Denne model er i høj grad relevant i relation til læring af funktionsbegrebet. Den rummer fire elementer:

1. Procesforståelse går forud for objektforståelse.
2. Læreprocessen, der danner et matematisk begreb, forløber i tre faser: (1) internalisering, (2) kondensering og (3) tingsliggørelse (reifikation).
3. Tilegnelse (fuld forståelse) af et matematisk begreb omfatter både proces- og objektforståelse af begrebet og muligheden for at skifte mellem dem.
4. Proces- og objektaspekterne kan ikke udvikles samtidig, men må opfattes som komplementære i læreprocessen.

Det er en pointe i modellen, at det erkendelsesspring, der gør, at man kan opfatte en funktion som et objekt, forudsætter konkrete erfaringer med, at funktioner kan indgå i andre processer. Som Sfard påpeger, forudsætter en sådan brug af funktioner i andre processer netop, at dette erken­d­elsesspring allerede er gennemført; det kalder Sfard derfor for ”den onde cirkel” i begrebsdannelses­processen. Teorien er nærmere udfoldet i Blomhøj (2016).

Som et gennemgående træk sigter læringssporene på at udvikle elevernes forståelse af lineære sammenhænge både som trinvis lineær udvikling og ved funktionsforskrifter. Det må ikke forveksles med dualitet mellem proces- og objektaspekterne ved dannelse af et begreb om lineær funktion i Sfards model. Begge disse forståelser bør i første omgang udvikles som en proces, der kan udføres konkret, og så efterhånden forstås som aspekter af det samme matematiske objekt – en lineær funktion.

Læringssporene er designet med sigte på at støtte overgangen fra at forstå en funktion som en proces til at forstå en funktion som et selvstændigt objekt. Det sker ved at have fokus på, at de lineære funktioner kan repræsenteres på forskellige måder og besidde eller ikke besidde forskellige egen­skaber samt indgå i nye processer. Herved støttes elevernes kondensering af begrebet lineær funktion. Særligt i fase 2 og 3 støttes eleverne til også at kunne opfatte og forstå lineære funktioner som et matematisk objekt. Det sker i arbejdet med bestemmelse af en lineær funktion ud fra to punkter eller et punkt og en hældning samt bestemmelse af den omvendte funktion til en lineær funktion. I fase 4 anvender eleverne lineære funktioner til modellering ud fra forståelse og empirisk undersøgelse af sammenhænge, der giver mening for dem. Modellerne kan opleves som et objekt, de har skabt, og derved støtte, at de kan tænke på en lineær funktion som et matematisk objekt. Når en lineær funktion udvikles til en stykkevis lineær funktion, som det sker ved modellering af vandforbruget ved brusebad med hårvask, så udfordres elevernes forståelse af funktionen som et objekt, idet den jo ikke længere er givet ved en enkelt forskrift. Netop derfor er eksemplet velegnet til at drøfte med eleverne, at der fortsat er tale om en funktion, som angiver vandforbruget entydigt til ethvert tidspunkt under badet.           

Repræsen­tationers betydningen i læreprocessen

Dette er et omfattende og komplekst forskningsfelt. Læringssporene trækker imidlertid især på den grundlæggende og generelle erkendelse, at det alene er gennem repræsentationerne, at vi har adgang til de matematiske begreber. Dette grundforhold og dets betydning for matematikundervisning har den tyske matematikdidak­tiker Heinz Steinbring haft som fokus i hele sin forskerkarriere (se Steinbring, 2005). Han har udviklet den epistemologiske trekant for matematiske begreber og anvendt den som redskab til analyse af læringsmæssige udfordringer. Den epistemologiske trekant udspændes af den genstand, eleverne arbejder med, den eller de matematiske repræsentationer, der indgår i arbejdet, og det begreb, som det er sigtet, at eleverne skal tilegne sig. Steinbring påpeger, hvad der sker, hvis de objekter/genstande, som eleverne arbejder med, ikke af eleverne klart kan adskilles fra deres repræsentationer. I sådanne situationer kollapser trekanten, og eleverne har ikke længere adgang til begrebet. Det er nemlig i relationen mellem de objekter, eleverne arbejder med, og deres forskellige repræsentationer, at de matematiske begreber får deres betydning og kan give mening for eleverne. Særligt de symbolske repræsentationer er vigtige for elevernes matematiklæring. Det er belyst for danske gymnasieelevers forståelse af formler af Schou (2018a og b).           

I Figur 1 er den epistemologiske trekant vist med begrebet lineær funktion som udgangspunkt. Det er illustreret i relation til konteksten med brusebad, hvordan det er samspillet mellem de forskellige repræsenta­tionsformer, der holder trekanten udspændt. Det bidrager til, at eleverne kan adskille det objekt, de arbejder med – nemlig vandforbruget ved deres brusebad – fra de enkelte repræsentationer. Repræsentationerne får deres betydning i forhold til brusebadet, og det bidrager til at styrke elevernes forståelse af funktionsbegrebet. Badetiden og vandforbruget får betydning som henholdsvis uafhængig og afhængig variabel, mens mængden af koldt vand, inden badet starter, og det konstante vandflow får betydning på forskellige måder i hver af de fire repræsentationer samt i forhold til, om sammenhænge beskrives og forstået som en trinvis udvikling eller ved en funktionsforskrift.