Tilgang – At behandle algebraiske udtryk

I 6.-9. klasse bør eleverne gennemarbejde læringssporet med alle 4 faser flere gange, fx en gang på tre af klassetrinene. Hvert gennemløb svarer til et forløb af fx 3 ugers varighed, hvor der sættes fokus på udvalgte regneregler for reelle tal. Samlet set bør forløbene sigte på de operationer med algebraiske udtryk, der omtalt i Tabel 1.

Rækkefølgen i Tabel 1 udgør et vejledende forslag til en rækkefølge i arbejdet med reglerne. Det er en god idé at vente med de regler, der vedrører omskrivning og regning med brøker til sidst i læringssporet.

Forskellige kontekster giver mulighed for at fokusere på forskellige regneregler. Som det fremgår af Oversigten giver kontekster, der involverer arealberegning af rektangler, fx gode muligheder for at fokusere på de distributive love og på faktorisering. Andre regler, fx addition og subtraktion af led samt ophævelse af parenteser, kan komme i spil i kontekster, der fx vedrører beregning af antal, priser, længde, vægt eller priser.

De problemer, der udgør et afsæt i læringssporet, bør dog give muligheder for at: opstille, tolke, omskrive og beregne. Her er to andre eksempler på sådanne problemer:

I fase 1 arbejder eleverne med udtryk, der har specifikke tal. Udgangspunktet kan være en aktivitet, der giver mulighed for at opstille forskellige regneudtryk for den samme størrelse:

De forskellige udtryk, som eleverne opstiller (fx på basis af aktiviteten i eksempel 3), samles i klassen og bearbejdes på tre forskellige måder:

I fase 2 arbejder eleverne med algebraiske udtryk. Det er vigtigt, at aktiviteterne i denne fase bygger direkte videre på konteksterne i fase 1, så eleverne kan basere sig på deres erfaringer med specifikke tal, når de i fase 2 skal arbejde med algebraiske udtryk. Disse algebraiske udtryk bør for eleverne forekomme som generaliseringer af regneudtryk.

I iscenesættelsen af aktiviteten i eksempel 4 kan en klasse skrive forskellige eksempler på længder, $a$, $b$ og $c$ kan have. De kan også diskutere, hvilke afgrænsninger der er realistiske for hver af de tre variable (længden $b$ skal fx være større end bredden på en bil, hvis det grå område på plantegningen skal fungere som garage). Det er vigtigt, at eleverne kommer til at opfatte bogstaverne som repræsentationer for forskellige længder, og at de ved, at et bogstav ikke kan repræsentere to forskellige værdier på samme tid.

Når de efterfølgende opstiller (helst) flere udtryk, der beskriver arealet af bygningen, kan de evt. støtte sig op ad deres regneudtryk fra eksempel 1.

De forskellige udtryk, som eleverne opstiller, samles i klassen og bearbejdes på to forskellige måder:

Denne fase fokuserer på omskrivninger af de algebraiske udtryk, eleverne har opstillet i fase 2. Eleverne ved allerede, at de forskellige udtryk repræsenterer den samme størrelse. Ved at omskrive udtrykkene får eleverne endnu en begrundelse for, at udtrykkene har samme værdi. Denne begrundelse bygger generelt på regneregler for de reelle tal – i eksempel 3 vedrører omskrivningerne primært den distributive lov.

Udtrykket $a^2+ c \cdot (a+b)$ kan fx omskrives til $a^2 + a \cdot c + b \cdot c$. På tilsvarende vis kan udtrykket $a \cdot (a + c) + b \cdot c$ omskrives til $a^2 + a \cdot c + b \cdot c$. Det medfører, at $a^2 + c \cdot (a+b)$ og $a \cdot (a + c) + b \cdot c$ har samme værdi.

Eleverne får mulighed for at se mening i omskrivningerne (og dermed i regnereglerne), når de kobles til det, udtrykkene repræsenterer. Den øverste del af illustrationen fra eksempel 3 (se figur 8) illustrerer fx, at $c \cdot a + b = a \cdot c + b \cdot c$. 

I tillæg kan brugen af eksempler bidrage til at overbevise eleven om omskrivningernes og regnereglernes rigtighed. Hvis $a=8$, $b=3$ og $c=5$, viser ovenstående beregning fx, at $5 \cdot (8 +3) = 40 + 15 = 55$.

I fase 4 foretager eleverne beregninger med algebraiske udtryk. I konteksten med plantegninger kan sådanne beregninger fx blive aktuelle, hvis eleverne skal addere, subtrahere, multiplicere eller dividere udtryk, der repræsenterer arealer.

I tilknytning til eksempel 3 kan man fx forestille sig, at eleverne får til opgave at multiplicere arealet af grundplanen med 2 for at beregne det samlede arealet af et hus med en 1. sal. En anden mulighed er, at eleverne skal addere et udtryk for arealet af en tilbygning til arealet af grundplanen. Subtraktion og division kan fx komme ind i billedet, hvis eleverne skal sammenligne to arealer.

Hvis arealet af hustype 1 er $2a \cdot b$, og arealet af hustype 2 er $a \cdot b$, så er forskellen mellem de to arealer $2ab - ab = ab$, og hustype 1 er $\frac{2ab}{ab}=2$ gange større end hustype 2.

I fase 4 er det et mål, at eleverne kan regne med de algebraiske udtryk uafhængigt af det, udtrykkene repræsenterer. Så længe, der er behov for det, kan elevernes beregninger dog støttes af geometriske repræsentationer og konkrete eksempler. Figur 9 kan fx støtte eleverne i at se mening i beregningerne $2ab-ab=ab$ og $\frac{2ab}{ab}=2$.

Igennem både fase 3 og 4 kan og bør læringssporet suppleres med aktiviteter, som giver eleverne mulighed for at få rutine med at bruge de regneregler, de arbejder med, samtidig med at de giver ’stof til eftertanke’, dvs. tilføjer en begrebsmæssig dimension til arbejdet med at opnå en vis rutine i at bruge regnereglerne fra Tabel 1. Eksempler på sådanne øvelser indgår i det følgende afsnit om læringssporet i praksis.