Tilgang – At arbejde algebraisk

I afsnittet beskrives den fagdidaktiske viden, der anvendes i læringssporet for at støtte elevernes læring. Det drejer sig for det første om symbolernes rolle i algebra, for det andet om forståelsen af algebraiske udtryk og repræsentationerne betydning for denne forståelse, for det tredje om hvordan algebraiske udtryk fremkommer som et resultat af abstraktion og generalisering, og for det fjerde om de kontekster, der anvendes i læringssporet. Endelig er der et afsnit om kendte læringsvanskeligheder i forbindelse med algebra. Afsnittet afsluttes med nogle bemærkninger om, hvordan arbejdet med algebra kan videreføres til andre matematiske områder, der behandles i gymnasiet.

Symboler og algebraiske udtryk

Matematik er det fag, som anvender allerflest symboler. I gymnasiet arbejder man med bogstavsymboler, der ofte står for tal, men også blot kan være navne for fx sidelængder, vinkler, linjer osv. I algebraisk sammenhæng står bogstavsymbolerne (her kaldet algebraiske symboler) dog altid for tal. De indgår i algebraiske udtryk, der for eksempel kan være ligninger, formler, funktionsforskrifter m.m. De indgående symboler kan spille mange forskellige roller i disse udtryk. Et symbol i et algebraisk udtryk kan fx være:

• Pladsholder
• Ubekendt
• Variabel
• Generaliseret tal
• Parameter

De forskellige roller er udfoldet i afsnittet Grundlag.

Forståelsen af et algebraisk udtryk som en proces, fx en formel, hvor man beregner et resultat ved indsættelse af kendte værdier, går i elevernes læreproces forud for forståelse af det algebraiske udtryk som et matematisk objekt i sig selv. Ved at opstille og anvende algebraiske udtryk i forskellige sammenhænge og ved at omskrive dem, fortolke dem, isolere ukendte størrelser i dem m.m. får eleverne efterhånden en forståelse for, at processen kan opfattes som et hele; det er en ting i sig selv – et nyt matematisk objekt. Der er tale om et erkendelsesspring, som betyder, at man kan ”gøre noget med det” i andre processer.

I algebraiske udtryk indgår ofte et lighedstegn, der også kan have forskellige betydninger. Disse er nært knyttet til proces- og objektopfattelsen af det algebraiske udtryk. Lighedstegnet kan fx være en instruks, det kan forekomme i en ligning, det kan angive en identitet, dvs. de to sider er ens, og det kan angive en tildeling. Hvor instruksen fører direkte til en proces, ”regn dette ud”, kan ligningen både henvise til en proces, ”isoler n”, og et objekt, ”træk de to ligninger fra hinanden”. Når lighedstegnet angiver en identitet og ved tildeling af et udtryk til et symbol, opfattes udtrykket i de fleste tilfælde som et objekt.

Læringssporet støtter erkendelse af, at et algebraisk udtryk både kan være en proces og et objekt ved at inddrage algebraiske udtryk, der anvendes i begge sammenhænge. Eleverne opstiller udtryk, som anvendes til at beregne værdier, der efterviser, at udtrykket er korrekt. Disse udtryk indgår senere i opstillingen af nye udtryk, og eleverne læser og fortolker udtryk i andre repræsentationer. Objektforståelse af algebraiske udtryk er også et langsigtet mål, der er relevant for hele det gymnasiale uddannelsestrin, og som endda rækker ind i matematikundervisning på videregående uddannelser.

Det er velbeskrevet i den matematikdidaktiske forskning, at brugen af forskellige repræsentationer både kan støtte elevernes forståelse, men også at det kan give anledning til vanskeligheder. I læringssporet bliver der lagt vægt på, at eleverne får mulighed for at arbejde med flere repræsentationer for at udvikle deres forståelse af de algebraiske udtryk. Disse repræsentationer fungerer som refererende kontekst, når eleverne læser og fortolker allerede opstillede udtryk – og den modsatte vej, når eleverne ud fra en ikke-algebraisk repræsentation selv anvender symboler og opstiller algebraiske udtryk.

Objektforståelse opnås gennem abstraktion og generalisation. Abstraktionen sker i to trin: Først læres et grundlæggende matematisk begreb gennem empirisk abstraktion, hvor en elev genkender underliggende ligheder imellem konkrete observationer, der ellers forekommer forskellige. Eleven skaber et nyt mentalt objekt, som rummer disse ligheder – der er udviklet et empirisk begreb. Sådanne begreber er uklart beskrevet og må formaliseres gennem matematikundervisningen, så man får et (præcist) beskrevet matematisk begreb, der kan anvendes og udbygges i den videre læreproces.

Et andet vigtigt aspekt i matematiklæring er generalisering, der ligeledes både kan være empirisk og matematisk. Abstraktion og generalisering er tæt forbundne, og når elever generaliserer, afhænger det af den abstraktion, der ligger forud. Man skelner mellem aritmetisk, naiv og algebraisk generalisering. Som illustration af de tre typer generaliseringer er de her beskrevet i en figurfølgekontekst.

Aritmetisk generalisering: Man har $3, 5, 7, 9$ cirkler, dvs. man starter med $3$ og lægger $2$ til, indtil man får det rigtige antal cirkler. Denne type generalisering er ikke af algebraisk natur.

Naiv generalisering: Man har $3, 5, 7, 9$ cirkler, dvs. antallet vokser med $2$. Det kan skrives som $n+2$. Der prøves efter, og eleven opdager, at når $n=2$ bliver antallet $4$, så det passer ikke. Efter eventuelt flere forsøg prøver man med $2n+1$, og det virker.

Algebraisk generalisering: Eleven opdager, at man i Figur 1 har $(1+1)+1$ cirkler, i den næste har man $(2+2)+1$ cirkler og så $(3+3)+1$ cirkler, dvs. man tilføjer $1$ i hvert skridt. Samtidig ændrer udgangspunktet sig i hvert trin svarende til, at figurnummeret ændrer sig. Men så må man hver gang have figurnummeret lagt sammen med sig selv plus $1$, og denne hypotese udvides fra de konkrete tilfælde til alle kommende figurer med udtrykket $(n+n)+1$ cirkler, hvor $n=$ figurnummeret. Eventuelt omskrives udtrykket til $2n+1$.

Brug af gennemgående kontekster

I læringssporet lægges der op til at arbejde med to forskellige kontekster, der er meningsfulde for eleverne, og som giver grundlag for arbejde med centrale aspekter ved algebraiske udtryk. Den ene kontekst er figurfølger og spiraltal, og den anden kontekst er taltricks. Deres didaktiske potentiale er beskrevet nærmere nedenfor. Det er tanken, at disse kontekster kan bruges som reference i opbygningen af elevernes forståelse af algebraiske udtryk, når man senere anvender algebra i andre situationer. Andre kontekster kan naturligvis være lige så velegnede.

Figurfølger og algebraiske udtryk

I algebra undersøger man regelmæssigheder og strukturer; man ser efter mønstre i situationer, der kan optræde som helt forskellige, og man genkender algebraiske strukturer. Herfra forsøger man at generalisere – også på tværs af typer af situationer – og man overfører disse generalisationer til nye situationer.

Eleverne kender figurfølger fra grundskolen, og i læringssporet arbejdes der videre med sådanne følger, som giver mulighed for at se forskellige mønstre og forskellige løsningsstrategier, der kan formuleres på mange niveauer. Det giver mulighed for, at man som lærer kan udfordre eleverne til at sammenligne resultater og argumentere for disse.
Ud over figurfølger for kvadrattal, trekanttal og rektangeltal benytter man i sporet også en talspiral. Her kan man bemærke tallene i hjørnerne. Halvdelen af dem er kvadrattal, da forskellen mellem to fortløbende kvadrattal stiger lineært. Opfattes $0$ som et kvadrattal, bliver rækken af forskellene: $1, 3, 5, \dotsc$  Den tilsvarende række af forskelle mellem de andre hjørner (inkl. $0$) er $2, 4, 6, \dotsc$, som netop er produktet af to fortløbende tal, rektangeltal. Talspiralen kan give anledning til mange undersøgelser.

Taltricks

Brugen af taltricks (også kaldet taltryllerier) har længe været anvendt i grundskolen og har i de senere år også vundet indpas i gymnasiet. Man har observeret, at ved at lade elever arbejde med taltricks, kan man afhjælpe nogle af de misopfattelser, eleverne har med hensyn til de grundlæggende regneregler – i hvert fald inden for den kontekst, taltricket er designet i, fx brug af kvadratsætninger. I læringssporet adresseres andre algebraiske aktiviteter så som at indføre symboler, opstille, læse, fortolke og omskrive samt bevise sammenhænge. Også disse aktiviteter bliver sat i gang gennem brug af taltricks.

Nogle kendte vanskeligheder i forbindelse med algebra

Elevers vanskeligheder med algebra er et stort og velbeskrevet forskningsfelt. Her skal kun nævnes nogle enkelte, som har særlig interesse for læringssporet.

Algebra handler bl.a. om generaliserede beregninger, og bogstaverne (de algebraiske symboler) står altid for tal. De grundlæggende regneregler som den kommutative og associative lov for addition og multiplikation samt eksistensen af et neutralt og et inverst element er nedarvet fra tallene. Det betyder, at for elever, der har problemer med numeriske beregninger, vil algebra være ekstra udfordrede, og man må støtte dem i deres talforståelse. I overgangen mellem aritmetik og algebra vil mange elever benytte en blanding af ord og symboler. Nogle elever bruger her symbolerne som forkortelser for ord, fx p for piger og d for drenge, så udsagnet ”der var 15 piger og 13 drenge i klassen, men så gik der 2 piger ud” bliver til $15p + 13d - 2p = 13p + 13d$. Sådan et udsagn er ikke et algebraisk udtryk, hvor bogstaverne står for tal. Selvom udtrykket kan give mening, vil en elev, der opstiller sådanne udtryk, ikke kunne forstå de usynlige gangetegn, der er mellem tal og symbol, og at når man skriver $15p$, er det en multiplikation af $15$ og værdien af $p$. Usikkerheden kan skyldes, at eleven ikke ser symbolet som et (ukendt) tal, og for at afdække om dette er problemet kan man give eleven nogle små situationer som vist herunder:

Elever med denne type vanskeligheder har tit også svært ved at løse ligninger, og det er ofte netop ved ligningsløsning, at man som lærer opdager problemet.

For andre elever har arbejdet med de refererende kontekster, dvs. alternative repræsentationer, ikke været tilstrækkeligt. Det betyder, at eleverne har svært ved at forstå, hvad symbolerne i et algebraiske udtryk står for, selvom de nok ved, at det er et tal. De kan måske nok fortælle at ”$a$ er hældningstallet, og $b$ er skæringen på y-aksen”, når de bliver spurgt til betydningen af $a$ og $b$ i $y = ax + b$, men det er noget, der er lært udenad, og ændrer man udtrykket til $y = q + px$, ved de ikke, hvad $p$ og $q$ betyder. I dette læringsspor er eleverne selv med til at indføre symboler, og der arbejdes i både fase 1 og fase 2 med refererende kontekster for at afdække og afhjælpe dette problem.

Det er et generelt problem i algebra, at man benytter det samme symbol for mange forskellige ting. Bogstavet a kan fx stå for hældningen af en ret linje, eller det kan stå som koefficienten til andengradsleddet i en parabel, hvilket får nogle elever til at mene, at så er a nok parablens hældning. I andre sammenhænge står a for længden af den ene katete i en retvinklet trekant osv. Det skal italesættes, at et symbol kan have mange betydninger, og at den fremgår af konteksten. Til gengæld kan man selv vælge, hvilket symbol man vil bruge – man skal blot beholde det samme symbol gennem hele den sammenhæng, man arbejder i.