Grundlag – At arbejde algebraisk

På figuren er den epistemologiske trekant vist med begrebet ”algebra" og med figurfølger og talspiraler som den refererende kontekst. De forskellige repræsentationer og deres samspil bidrager til, at eleverne kan adskille det objekt, de arbejder med – nemlig ”et algebraiske udtryk” – fra de konkrete udtryk for udviklingen i figurfølgerne eller sammenhængende i talspiralen. De algebraiske udtryk får deres betydning i forhold til de visuelle repræsentationer, og det bidrager til at styrke elevernes algebrabegreb.

Steinbring peger på en principiel udfordring, der ofte viser sig i undervisningspraksis – nemlig hvad der sker, hvis eleverne ikke klart kan adskille de objekter/genstande, som de arbejder med, fra deres repræsentationer. I sådanne situationer kollapser trekanten, og eleverne har ikke længere adgang til begrebet. Det er nemlig i relationen mellem de objekter, eleverne arbejder med, og deres forskellige repræsentationer, at de matematiske begreber får deres betydning, og kan give mening for eleverne. Særligt de symbolske repræsentationer er vigtige for elevernes matematiklæring. Det er belyst med fokus på danske gymnasieelevers forståelse af formler af Schou (2018a og b).       

Begrebsdannelse

Der er udviklet flere teorier om, hvordan vi lærer matematiske begreber. Sfard (1991) har udviklet en sådan teori ud fra studier af elevers og studerendes læreprocesser og den matematikhistoriske udvikling af begreberne. Teorien kan sammenfattes i en såkaldt proces-objekt-model. Her beskrives teorien i forhold til algebra og algebraiske udtryk, men den er relevant for mange matematiske begreber. Ifølge teorien har et algebraisk udtryk en indbygget dobbelthed mellem at være en proces og at være et objekt. Udtrykket udgør en proces, når man indsætter en værdi på den ubekendtes plads og beregner resultatet. Ser man derimod det algebraiske udtryk som en generel betingelse, fx at alle lige tal kan skrives på formen $L = 2n$, så opfattes udtrykket som et objekt. Objekter kan man handle på, og algebraiske udtryk kan fx adderes eller multipliceres med en konstant, og det giver nye udtryk. Modellen bygger på fire antagelser:

1. Procesforståelse går forud for objektforståelse ved læring af matematiske begreber.
2. Den læreproces, der danner et matematisk begreb med denne proces-objekt-dobbelthed, forløber gennem tre trin: a) internalisering, b) kondensering og c) tingsliggørelse (reifikation) (se nedenfor).
3. Fuld forståelse af et matematisk begreb omfatter både proces- og objektforståelse af begrebet og det at kunne skifte fleksibelt mellem dem.
4. Proces- og objektaspekterne kan ikke udvikles samtidig, men må opfattes som komplementære i læreprocessen.

Lang de fleste elever har opnået en (delvis) procesforståelse af algebraiske udtryk som fx formler til beregning af en bestem størrelse i grundskolen, og læringssporet støtter derfor primært udviklingen af elevernes objektforståelse. I fase 1 støttes eleverne i den afsluttende internaliseringsfase, så de i faserne 2-4 først kondenserer begrebet og derefter tingsliggør det, så et algebraisk udtryk bliver et objekt. Ved kondenseringen opfatter eleverne stadig udtrykket som en proces, hvor de kan beregne fx antallet af prikker i en bestemt figur, men ved at læse og fortolke et udtryk som et samlet billede af fx en figurfølge i fase 2 får eleverne forståelsen af, at der ikke blot er tale om en række handlinger, der udføres for at bestemme antal prikker i en figur. I fase 3 arbejder eleverne med at undersøge og ræsonnere om og med de algebraiske udtryk, og her begynder tingsliggørelsen. Endelig sluttes der i fase 4 af med, at eleverne ”gør noget med udtrykkene” – de formulerer nemlig påstande om dem og beviser disse påstande.

Generalisering

Et væsentligt element i algebra er generaliseringer af specifikke og generiske udtryk for sammenhænge, fx udviklingen i et mønster. I matematikken skelner man mellem det specifikke, det generiske og det generelle. Denne skelnen er ofte svær for eleverne og kræver en særlig indsats i undervisningen. Som et (generisk!) eksempel på forskellen mellem de tre kan man bruge udtrykket $2n$ for et lige tal (Mason og Pimm, 1984). Man vil bruge sprogmarkører som: det lige tal $2n$ (det lige tal 6) i det specifikke tilfælde, et lige tal $2n$ (et lige tal som tallet 6) for det generiske, og et vilkårligt lige tal $2n$ (et vilkårligt lige tal som fx 6) i det generelle tilfælde.

Når man bruger ordet ”vilkårligt” i matematik, har det betydninger som ”et eller andet”, ”et hvilket som helst” eller ”ethvert”:

For et vilkårligt lige tal gælder, at kvadratet på tallet er lige,

hvilket er ækvivalent med:

For ethvert lige tal gælder, at kvadratet på tallet er lige.

Men sådan vil en elev ikke nødvendigvis forstå det. En elev, der får opgaven:

Vis at kvadratet på et vilkårligt lige tal er lige,

vil måske svare, at ”$4^2 = 16$, som er lige”. Eleven opfatter et vilkårligt lige tal som bare et eller andet lige tal. Det er derfor nødvendigt at være meget eksplicit om, hvilke ord man bruger, og hvilken betydning de har.

I gymnasiet bruger man meget tid på at vise, at et eksempel ikke beviser, at noget er sandt. Samtidig gør man i undervisningen ofte brug af generiske eksempler, og det kan være vanskeligt for eleverne at forstå, hvad forskellen på et konkret og et generisk eksempel er.

Når man i differentialregning viser, at en funktion er aftagende i intervallet mellem to ekstremumspunkter ved at indsætte et enkelt tal, er det et eksempel på et generisk eksempel, fordi det kan udvides til alle tal i intervallet. Men hvis man måler vinklerne i en trekant og viser, at summen er 180 grader, kan det ikke generaliseres til vinkelsummen i enhver trekant. Til gengæld kan figuren til højre, der viser, at summen af de to specifikke ulige tal $5 + 7 =12$ er lige, godt generaliseres til, at summen af to vilkårlige ulige tal altid er lige, $(2n - 1) + (2m -1) = 2(n + m - 1)$.

I undervisningen kan man som lærer nemt selv se det generelle i et konkret eksempel, når man viser en bestemt teknik eller teori for eleverne (Mason og Pimm, 1984). Men for eleverne, der måske kæmper med at følge det tekniske i en beregning, eller som sidder og undrer sig over, hvor en bestemt idé kommer fra, kan de argumenter, som gør eksemplet generelt, nemt drukne i alt det andet, eleven tænker over (Blomhøj, 2016). Det er derfor vigtigt, at man i undervisningen italesætter forskellen på det specifikke, det generiske og det generelle.

Den canadiske matematikdidaktiker og semiotiker Radford (2008) har beskæftiget sig med, hvordan elever generaliserer mønstre. Han taler om tre typer:

• Ved aritmetisk generalisation vil eleven ud fra et specifikt eksempel beskrive udviklingen i mønstret med ord og beregninger, fx ”man lægger hele tiden to til, indtil man har det rigtige antal cirkler”. Der fremkommer ikke et algebraisk udtryk, men for nogle elever, vil det være et skridt på vejen.

• Andre elever vil ud fra specifikke eksempler gætte sig til et algebraisk udtryk, der kan beskrive udviklingen i antal prikker/cirkler. Efter afprøvning med konkrete tal og en eventuel tilretning har eleverne fundet frem til det ønskede algebraiske udtryk. Denne type kaldes naiv generalisering.

• Endelig er der elever, der bemærker ligheder mellem konkrete beregninger i nogle specifikke eksempler. Ved abstraktion bliver lighederne formuleret som hypotese om kommende konkrete beregninger. Hypotesen omsættes derefter til et algebraisk udtryk, der kan beskrive både de konkrete og de kommende (generelle) beregninger. Disse elever har foretaget en algebraisk generalisering.

Symbolsans

Så hvad vil det sige at kunne tænke algebraisk? Den israelske matematikdidaktiker Arcavi (1991) har beskrevet begrebet symbolsans, som er en mere uformel måde at tænke på de kompetencer, en elev skal besidde for at kunne begå sig i algebra.

Det er symbolsans, når man har en intuitiv fornemmelse for, hvornår det overhovedet er berettiget at involvere symboler, og hvornår man hellere skal søge andre veje, fx ved at anvende geometriske betragtninger. En styrke ved algebra er, at man under (komplicerede) manipulationer ikke behøver at tænke over, hvad de indgående symboler står for. Det er først nødvendigt, når resultatet er fundet ($x = \dotsc$). Mangler man symbolsans, kan man dog nemt komme til at udføre helt unødvendige manipulationer, bare fordi man kan. Fx vil en elev, der har lært at løse ligninger ved standardproceduren isolér og reducér, ofte straks give sig til at løse ligningen, når spørgsmålet lyder, om en bestemt værdi er løsning. Eleven kunne have fundet svaret mere effektivt ved at stoppe op og overveje, om det ikke var nemmere at indsætte den givne værdi og se, om den passede ind i ligningen. Der er også tale om symbolsans, når en elev kan se manipulation og læsning af udtryk som to komplementære måder at løse algebraiske problemer på. Fx kan læsningen af et symbolsk udtryk give vigtige informationer, som samtidig kan forhindre unødige manipulationer: Ligningen $\frac{3x + 2}{6x + 4} = 2$ vil aldrig have en løsning, så der er ingen grund til at gå i gang med manipulationer. Ligeledes kan læsningen af to ækvivalente udtryk, så de giver anledning til to ikke-ækvivalente betydninger, øge en elevs forståelse. Fx bestemmer man gennemsnittet af to tal som $\frac{a + b}{2}$, men hvis eleven omskriver udtrykket til $\frac{a}{2} + \frac{b}{2}$ og også fortolker gennemsnittet som halvdelen af det ene tal lagt sammen med halvdelen af det andet tal, har elevens symbolsans gjort forståelsen af gennemsnit bredere. Når elever selv indfører symboler, kan det i mange situationer gøres på flere måder, hvor ikke alle er lige velegnede. Fx er $2n - 1$ ofte et bedre symbol for et ulige tal end $n_{ulige}$. Det kræver symbolsans at vælge det symbol, der er bedst i den givne situation. Man skal naturligvis kunne manipulere fleksibelt for at kunne arbejde med symbolske udtryk og forstå resultaterne. Det betyder, at man skal kunne omforme udtryk, men samtidig skal man kunne stoppe på det rigtige tidspunkt. Fx er det nemmere at finde løsninger til ligningen $(x - 2)(x + 4) = 0$ med nulreglen, end hvis man ganger parenteserne ud og får ligningen $x^2 + 2x - 8 = 0$. Endelig er det en del af symbolsansen, at man kan afkode de enkelte symbolers roller ud fra den kontekst, det står i. I afsnittet "Matematiske symboler" øverst på denne side er der givet eksempler på sådanne roller.

Læringssporets konkrete kontekster

Figurfølger og talspiral

Matematik handler om strukturer, herunder gentagelser i bestemte mønstre. Prikmønstre kan skabes og identificeres, sammenlignes, varieres, beskrives, repræsenteres og udforskes (Vogel, 2008). Gennem aktiviteter med prikmønstre kan elever arbejde med forskellige aspekter af algebra, og disse kan fungere som ”kroge” i undervisningen af andre emner. Den canadiske matematikdidaktiker og -filosof Louis Radford (2008) har anvendt mønstre i sin forskning. Han har bl.a. vist, hvordan elevers arbejde med mønstre influerer deres måde at generalisere og forstå, hvad generalisering i matematik betyder. Kontekster med talfølger og talspiraler er hentet fra Kindt (2004).

Taltricks

Brugen af taltricks i matematikundervisningen kan for mange elever virke motiverende: ”Hvorfor får vi det samme tal?”, ”Hvordan kan du vide, hvilket tal jeg tænkte på?”. Det pirrer elevernes nysgerrighed og får dem til at engagere sig (Lim, 2019). Designet på den rette måde kan et taltrick skabe et intellektuelt behov for fx at omskrive algebraiske udtryk. I en undersøgelse i 5.-6. klasse så man, at eleverne gennem brug af taltricks kunne indføre symboler, udviklede deres forståelse af begreber som variable og udtryk og forøgede deres lyst til at arbejde med algebra (Koiala og Goodwin, 2000). Taltricks kan designes, så de kan støtte elevernes begrebsforståelse inden for mange matematiske emner, fx sammensatte funktioner og inverse funktioner. I en dansk kontekst har Jensen (2015) undersøgt potentialet for brugen af taltricks i gymnasiets algebraundervisning.

Læringsvanskeligheder

Inden for algebra beskriver forskningen forskellige typer læringsvanskeligheder. Duval (2006) beskriver, hvordan det kan volde elever kognitive problemer at skifte repræsentation. Der er grundlæggende tale om to forskellige typer problemer afhængigt af, om man forbliver inden for den samme type repræsentation, eller om man skifter til en helt anden repræsentationstype. Et eksempel på førstnævnte skifte er omformninger af et udtryk til andre ækvivalente udtryk ved brug af de grundlæggende regneregler. Det er en anden situation, når man skifter fra fx en algebraisk beskrivelse til en figurbeskrivelse af et udtryk, fx et mønster, og anvender det til at beskrive en udvikling. Her kan der opstå vanskeligheder fx i oversættelsen mellem den visuelle beskrivelse og den symbolske repræsentation som beskrevet af Clement, Lochhead og Monk (1981). Nogle elever bruger sprogets syntaks, når de oversætter til symboler, ved at oversætte ord for ord og i den rækkefølge, ordene kommer. For eksempel vil sådan en elev oversætte situationen:

På Margrethes café er der 5 mennesker, som drikker cappuccino, for hver 4, som drikker latte. Kald antallet af mennesker, der drikker cappuccino, for C og latte for L, og opskriv sammenhængen mellem C og L.

til udtrykket $5C = 4L$ ved at oversætte ord for ord. Andre elever vil nok vide, at der må være flest, som drikker latte. Men de kommer alligevel frem til samme forkerte resultat, fordi hvert af de 5 C’er ikke bliver set som værdien af en variabel, men mere som et billede på en cappuccinodrikker, så der ubevidst sættes lighedstegn mellem cappuccinokopper og latteglas.

Fra matematikkens historie ved man, at i modsætning til geometri og aritmetik tog det meget lang tid for algebra at blive en forståelig matematisk disciplin. Et problem var indførelsen og brugen af symboler, og netop dette overses ofte i undervisningsmæssig sammenhæng (Sfard, 2000). Hvor matematikere har brugt lang tid på at opbygge strukturer og et tilhørende sprog, bliver elever ofte præsenteret for en færdig teori i undervisningen, hvor de matematiske objekter, symboler og regler er færdigbeskrevet, og hvor eleverne ikke får mulighed for at deltage i udviklingen af dem. Det giver anledning til en såkaldt antididaktisk inversion (Freudenthal, 2006), hvor eleverne på samme tid bliver introduceret for den matematiske diskurs og forventes at kunne deltage i den.

I gymnasieundervisningen lægger man ofte stor vægt på brugen af forskellige regler, og det kan give anledning til en instrumentel forståelse (Skemp, 1976), som forhindrer eleverne i at udvikle brugbare strategier til at håndtere matematiske udtryk som formler og ligninger. Der er forskningsstudier (Dekker & Dolk, 2011), som viser, at der er et missing link i algebraisk tænkning i skridtet mellem aritmetik og algebra, og at vanskeligheder med at forstå de strukturelle egenskaber i algbra ofte stammer fra manglende forståelse af talsystemet (Sfard & Linchevski, 1994).