Praksis – At arbejde algebraisk

Eleverne skal opdage mønstret og bruge det til at tegne Figur 4. De skal bestemme, hvor mange kvadrater mønstret vokser med i hvert trin, og de skal vise, at et givet udtryk ikke beskriver mønstret. Eleverne skal ikke selv opstille men forklare, hvordan et givet udtryk er opstillet, og til slut sammenligner de to algebraiske udtryk ved omskrivninger.

Afsnittet falder i to dele, hvor den kontekst eller model, som benyttes i arbejdet med algebra, er vidt forskellig. I første del benyttes en geometrisk model i form af prikmønstre og spiraltal, mens man i anden del anvender taltricks, dvs. talberegninger, som bagvedliggende model. Man kan naturligvis anvende andre gennemgående kontekster, fx funktioner givet i forskellige repræsentationer.

Kontekst 1: Figurfølger og talspiralen

Figurfølger kan fx bestå af figurer lavet af prikker, hvor antallet af prikker udvikler sig på en bestemt måde (se illustrationen i Oversigt). Spiraltal repræsenteres som en ”firkantet” spiral af $\mathbf{N}_0$. Man kigger fx på de tal, der står i hjørnerne af spiralen eller langs diagonalerne.

Spiralen (se figuren ude til højre) har fire akser (røde) samt fire diagonaler (blå), der alle starter i tallet $0$. Tre af diagonalerne går gennem hjørnepunkter. Der er også linjer, som er parallelle med diagonalerne, men som starter et sted på en af akserne (grøn).

Man kan man finde mange regelmæssigheder langs disse akser, diagonaler og linjer i talspiralen – regelmæssigheder, som kan beskrives med ord og symbolske udtryk. Eleverne ledes på vej med spørgsmål som fx:

• Hvad lægger I mærke til, når I kigger på tallene i hjørnerne? Kan I beskrive tallene med et algebraisk udtryk?
• Bestem et udtryk, der giver tallene i diagonalen gennem tallene $0-4-16-\dotsc$ Brug dette resultat til at finde lignende udtryk for akserne og de andre diagonaler.
  (Resultatet er $4n^2$, og går man i positiv omløbsretning til den første vandrette akse fås $4n^2+n$. Fortsæt i samme retning.)

Det kan være udfordrende at argumentere for udtrykkene ud fra talspiralen, men eleverne vil kunne komme frem til udtrykkene med naiv generalisering.

Man kan fx tage resultatet fra V-mønsteret op igen ved at give eleverne et udtryk som $1 + 3 + 5 + \dotsc + (2n - 1) = n^2$. Herefter de bliver bedt om at fortolke udtrykket i forhold til nedenstående figur (man kan evt. nøjes med at give dem figuren med V-mønsteret fra fase 1).

Eleverne kan komme frem til, at summen af de første n ulige tal er kvadratet på n. Måske er der elever, der allerede her bemærker, at forskellen mellem to på hinanden følgende kvadrattal altid er et ulige tal, så hver gang man lægger et nyt ulige tal til et kvadrattal, får man det næste. Det er indsigter som denne, der arbejdes med i fase 3.

Eleverne får udtrykket og skal fortolke det som fx en figurfølge. Nogle grupper har brug for at se figurfølgen for at kunne læse mening ind i udtrykket, mens andre selv kan konstruere det. Der kan være elever, som udtrykker rektangeltallene på andre måder, fx sprogligt som ”ved at gange to fortløbende tal” eller som ”arealet af et rektangel, hvor den ene side er 1 større end den anden”. Nogle elever finder måske en alternativ algebraisk beskrivelse ud fra mønstret ved at se hver figur som et kvadrat med samme sidelængde som figurnummeret og dertil en ekstra søjle, så tallene kan bestemmes ved, $n^2 + n$. Alle disse fortolkninger tages op i en fælles klassediskussion.

Man kan anvende mange andre algebraiske udtryk, der kan fortolkes i forskellige repræsentationer. Ved at lade eleverne møde symbolerne i forskellige repræsentationsformer giver man dem en bedre mulighed for at skabe mening i de algebraiske udtryk.

Nogle elever kan arbejde videre med kvadrattallene i talspiralen og fortolke udtrykket $1 + 3 + 5 + \dotsb + (2n-1) = n^2$ som en måde at beregne tallene i den diagonal, der går gennem hjørnepunkterne. Her kan eleverne bruge resultatet fra V-mønsteret; nemlig at værdien af stigningen fra ét kvadrattal til det næste er 2 pga. spiralens struktur, der i hver halve runde vokser med 2 (fra 1 til 4 er der 3, fra 4 til 9 er der 5 osv.). 

I denne fase går man videre fra symbolisering og opstilling af udtryk samt at læse mening ind i dem til at undersøge og ræsonnere om og med de opstillede algebraiske udtryk. Hermed kommer man et skridt videre med henblik på at udvikle objektforståelse.

Fra fase 1 og 2 kender eleverne de algebraiske udtryk for kvadrattallene, rektangeltallene og trekanttallene. I fase 3 skal disse tal undersøges nærmere med henblik på at opdage nye sammenhænge og opleve algebraens styrker til beskrivelse af sådanne sammenhænge.

Som et eksempel på en undersøgelse, der ligger i direkte forlængelse af dem, eleverne har lavet i de tidligere faser, kan man fx bede dem finde ud af, hvad man får, når man lægger de første $n$ lige tal sammen; $ 2 + 4 + 6 + 8 + \dotsb$ op til $n$. Denne gang får de ingen mønstre, men bliver i stedet opfordret til at anvende de metoder og resultater, de er kommet frem til tidligere.

Nogle elever vil argumentere ud fra talrækken. De kender summen af de første $n$ ulige tal, der er $n^2$. Så hvis de lægger $1$ til hvert ulige tal, må det give summen af de første $n$ lige tal. Men så skal der også lægges $n$ til på højresiden af udtrykket, hvilket fører frem til $2 + 4 + 6 + 8 + \dotsb + 2n = n^2 + n$. Måske genkendes dette som $n(n + 1)$, der er rektangeltallene.

Selvom tanken er, at eleverne i denne fase primært skal arbejde med de algebraiske udtryk, vil nogle grupper have brug for at støtte sig til mønstre og argumentere ud fra disse. Eleverne har måske bemærket at man i mønstret for rektangeltallene netop fik den næste figur i rækken ved at lægge det næste lige tal til, helt parallelt til det de gjorde med kvadrattallene i V-mønstret. De kan forklare summen ud fra mønstret for rektangeltallene, der viser, at summen af de første $n$ lige tal kan skrives som $2 + 4 + 6 + 8 + \dotsb + 2n$, der kan udtrykkes som $n(n + 1)$.

Som en fortsættelse kan man bede eleverne bruge resultatet til at finde summen af de første $n$ tal. Hvis man dividerer det algebraiske udtryk for summen af de $n$ lige tal med $2$, giver det $1 + 2 + 3 + \dotsb + n = \frac{n(n + 1)}{2}$, som jo netop er trekanttallene! På denne måde kan eleverne opnå yderligere indsigt i forbindelsen mellem de algebraiske udtryk indbyrdes og sammenhængen med deres andre repræsentationer.

I en fælles klassediskussion, hvor elevernes resultater og argumenter tages op, kan man bemærke forskelle og ligheder på, hvordan grupperne ræsonnerer og generaliserer, og hvordan man kan komme frem til de forskellige udtryk på flere måder.

Dygtige elever kan se på spiraltallene og arbejde videre med de udtryk, der blev fundet for akser og diagonaler i fase 1, fx kan de selv forsøge at argumentere for, hvilke udtryk der giver tallene langs de linjer, der er parallelle med diagonalerne.

I fjerde og sidste fase af læringssporet formaliseres arbejdet med at ræsonnere om og med algebraiske udtryk til egentlig bevisførelse. I dette læringsspor lægges der udelukkende op til direkte bevisførelse ved at omskrive algebraiske udtryk. Gennem en følge af ækvivalente ligninger kan eleverne vise matematiske påstande, som enten er givet, eller som de selv formulerer, fx på baggrund af mønstre og talspiralen. Man kan begynde med at give eleverne nogle påstande, der skal bevises algebraisk, fx:

Påstand 1: Produktet af to rektangeltal er igen et rektangeltal.

eller

Påstand 2: Hvis man ganger et vilkårligt rektangeltal med 4 og lægger 1 til, får man altid et kvadrattal.

Figuren viser en geometrisk fortolkning af påstanden, men I skal vise den algebraisk!

Man kan også bede eleverne om selv at formulere en påstand, fx:

Prøv at lægge to på hinanden følgende trekanttal sammen. Hvad ser I? Formuler en påstand, og vis den ved beregning.

Nogle elever vil have glæde af at se den søgte påstand visuelt.

Dygtige elever kan selv finde gentagelser og sammenhænge i talspiralen, mens andre har brug for, at man henleder deres opmærksomhed på sådanne. Det kan fx være sammenhænge som disse:

I talspiralen kan man observere, at alle kvadrattal ligger på samme måde i forhold til to fortløbende rektangeltal (observation: Kvadrattallene ligger lige midt imellem to fortløbende trekanttal). Formuler en påstand ud fra denne observation, og bevis den (bevis: $n^2$ ligger midt imellem $n(n -1) = n^2 - n$ og $n(n + 1) = n^2 + n$).

I fase 3 var der måske elever, der fandt frem til udtryk for tallene, der ligger på linjer parallelt med diagonalerne. Disse udtryk kan nu give anledning til at formulere og vise en påstand ud fra følgende observation:

I talspiralen ser det ud til, at alle tallene langs en af de rette linjer, der er parallelle med diagonalerne, er enten lige eller ulige. Formuler en påstand ud fra denne observation og bevis den.

Et taltrick er en række beregninger med udgangspunkt i et tal, eleven selv vælger, som fører til et på forhånd givet resultat. Tricket består i at opdage og beskrive, hvordan beregningerne altid fører til dette resultat uafhængigt af det tal, man starter med.

For alle elever er målet, at de selv skal indføre et symbol for det tal, de vælger, og ud fra de givne instrukser opstille et generelt udtryk for den sammenhæng, der fører fra det valgte tal til det på forhånd givne resultat. Herefter skal udtrykket omformes vha. grundlæggende regneregler, så det bliver klart, at man ender med det ønskede resultat. Man kan bruge flere taltricks og designe dem, så eleverne får behov for at bruge forskellige grundlæggende regneregler. Elever, der hurtigt fanger den bagvedliggende matematik, kan designe deres egne taltricks, som fx skal indeholde brugen af en bestemt regneregel, eller som skal føre til et bestemt tal. I den opsamlende klassediskussion kan grupperne sammenligne deres udtryk, så de oplever, at omformningerne kan foretages på forskellig måde, og at der er flere veje at gå.

Igen kan man selv finde mange flere sammenhænge, der understøtter, at eleverne kan læse og fortolke algebraiske udtryk.

Gennem et taltrick som dette opnår eleverne en indsigt i, hvordan man kan ræsonnere med algebraiske udtryk.

Også her er det en god idé at gentage aktiviteten med andre enkle taltricks for at konsolidere elevernes forståelse af og erfaring med den formelle måde at opskrive flercifrede tal på.

Det kan være nødvendigt at lade eleverne afprøve taltricket med flere tal, før de kan få formuleret en påstand. En struktureret opskrivning af hele klassens resultater på tavlen kan også danne udgangspunkt for elevernes formuleringer.

Herefter arbejder eleverne i grupper med at bevise påstanden ved hjælp af opskrivningen af deres valgte tal som fx $a \cdot 10 + 5$.

En stor del af matematikken i gymnasiet hviler på algebra i større eller mindre udstrækning. Det er derfor oplagt at tage de metoder og resultater, som eleverne er kommet frem til i dette læringsspor, op igen, hvor det er naturligt at minde dem om, hvad de kom frem til her, og hvordan det bruges i nye sammenhænge n– fx når man indfører symboler, opstiller funktionsudtryk og bruger dem i problemløsning, eller når man viser sætninger om funktioners opførsel. Det er også vigtigt ”at gå den anden vej” og lade elever læse og fortolke funktionsudtryk, så de kan give mening i fx en given kontekst. Andre fag vil forvente, at eleverne er i stand til at udføre symbolmanipulationer og anvende symbolske udtryk, så det er vigtigt, at eleverne får erfaringer med dette i matematik.