Tilgang – At anvende formler

Tilgangen i dette læringsspor er, at eleverne skal arbejde med at skabe forbindelser mellem deres intuitive forståelse af erhvervsfaglige fænomener på den ene side og på den anden side brugen af matematiske beregninger og formler, som anvendes i sådanne sammenhænge. Eleverne skal opdage, undersøge og beskrive konkrete situationer for gradvist at kunne strukturere og sammenfatte deres viden, så de kan forstå og anvende formler i relation til sådanne situationer.

Relationer og koblinger

At forstå noget er at kunne sætte ord på og at have associationer og repræsentationer knyttet til fænomenet. Når det gælder en formel, drejer det sig om at kunne læse mening ind i den ved at sætte formlen og de størrelser, der indgår i den, meningsfuldt i relation til noget andet. På erhvervsuddannelserne er det i høj grad i relation til noget uden for matematikken. På erhvervsuddannelserne er eleverne også motiverede for at koble deres skolelæring specifikt til deres valgte erhvervsfaglighed. Læreren kan derfor med fordel bruge elementer hentet fra erhvervsuddannelsen og lægge vægt på koblinger mellem disse elementer og matematikken.

Undervisningen i dette læringsspor baserer sig på Piagets teori om, at forståelse er at have opbygget et ’skema’. Tilgangen i undervisningen er at afdække elevernes skema, så eleverne får mulighed for at strukturere elementerne i skemaet og at kvalificere skemaet. Det gør man dels ved at tilføje flere teknikker, processer, erfaringer og repræsentationer til skemaets delelementer og dels ved at forbinde elementerne i skemaet, så eleverne bliver bedre til at vurdere og anvende det, som skemaet handler om – i dette tilfælde gælder det formler.

Begrebskort og ordkendskabskort hjælper elever med at blive opmærksomme på nye begrebers betydninger. Det er nødvendigt, at eleverne får lov til at beskrive og forklare begreberne med egne og førfaglige ord, for at de kan opdage forskellene på f.eks. stofmængde, volumen, styrke i en fortynding eller blandingsforhold, volumen og koncentration i en betonmix (Bull & Blankholm, 2021).

’Isbjergmodellen’ kan bruges til at afdække, hvad der relaterer sig til en formel. Det begreb, som formlen indgår i, kan man tænke på som toppen af isbjerget, der stikker op over havoverfladen. I undervisningen bruger man isbjergmodellen til at samle op og strukturere de associationer og den viden, eleverne har om et givet matematisk begreb, og den eller de formler, som beskriver det. På figuren er begrebet skrevet i den del af isbjerget, der rager op over vandoverfladen. Under vandoverfladen ligger elevernes kendskab og associationer for begrebet, som med lærerens hjælp er organiseret i tre niveauer: Underst er de uformelle situationer, eksempler og anvendte redskaber placeret. I midten ligger repræsentationer for de erfaringer og situationer, eleverne kender; diagrammer, tegninger og grafer. Og øverst lige under ’vandoverfladen’ placeres formler og beregninger.

Begrebskort, ordkendskabskort og isbjergmodellen kan både bruges til formler, som eleverne er blevet introduceret til i grundskolen, og til nye problemstillinger, som eleverne ikke har forudsætninger for at kende på forhånd. Det kan fx være trigonometriske formler, formlen for skærehastighed eller lignende. Begrebskort, ordkendskabskort og isbjergmodellen kan f.eks. bruges på sammenhængen mellem hældning og højde på en stige og på udtryk for og sammenhænge mellem de forskellige elementer i bølgers bevægelse. I afsnittet Praksis er vist et eksempel på en isbjergmodel om ’styrke’ fra sygeplejeuddannelsen.

Læreren skal være opmærksom på arbejdet med førfaglige ord til beskrivelse af situationerne.

Førfaglige ord kan defineres som ord, faglærere forudsætter at studerende kender til og kan forklare. Det kan være ord som ’modstand’, ’stejl’, ’øge’, ’positiv’. For en elev med et ringe udviklet sprog eller med dansk som andetsprog kan betydningen af en vending som ’4 går op i 12’ være ukendt og få eleven til at kigge op i loftet med et undrende udtryk. Det kan give problemer, hvis eleverne mangler eller ikke forstår førfaglige ord. De førfaglige ord har en implicit matematisk betydning, mens fagbegreber kan defineres som matematiske begreber med en eksplicit definition, der tit vil være formuleret vha. simplere matematiske begreber.

Derudover har man fagord. Fagord har den fordel, at de er præcist beskrevet og kan formidle præcise budskaber. I denne sammenhæng kan det være Pythagoras' sætning, decimaltal, kvadratmeter, formel, tangens osv. Der skal arbejdes med koblingen mellem førfaglige ord og fagbegreber.

Gennem undersøgelser og italesættelse udvikler eleverne egne forklaringer og begreber, som alle involverede forstår og kan bruge. Herved udvikler eleverne ’efter-faglige’ ord og modeller.

Man skal også være opmærksom på hjemmelavede ord og vendinger. I undervisningen hører man sommetider hjemmelavede ord, begreber, remser eller lignende, der et udtryk for en bestemt forståelse eller en reference til læringsprocessen. Det kan f.eks. være ’at krydsgange’ eller ’at-dividere-med-en-brøk-er-det-samme-som-at-gange-med-den-omvendte’. Den slags remser kan være en del af resultatet af en læreproces, men de må aldrig stå alene.

En anden type vendinger og begreber opstår i klassen og bliver accepteret som matematikrelaterede. Det kan være ’Peters metode’, ’brøkvinklen og decimalvinklen’ (i arbejdet med at lære trigonometri), eller når tallet π omtales som ’rundt-om-tallet’ for cirklen.

Et mål for undervisningen er, at eleverne får indlejret førfaglige ord og fagord i deres aktive ordforråd, og at de er trygge og kompetente i at udvikle egne begreber, som kan understøtte deres tænkning og kommunikation. Undervisningen i dette læringsspor handler om at koble matematikken – nemlig formlerne i formelsamlingen – både til erhvervsfaglige problemer og situationer og til elevernes erfaringer og forforståelser med matematik. Herefter kan formlerne komme i anvendelse til løsning af konkrete problemstillinger. Dette foregår i fire faser med hvert sit fokus:

1. Først afdækkes elevernes forskellige forudsætninger og viden om det konkrete erhvervsfaglige emne og de formler, der knytter sig hertil.

2. Dernæst har undervisningen fokus på at genkende og gøre rede for formlerne og de størrelser og enheder, der indgår i dem.

3. Så undervisning med fokus på forskellige repræsentationer fra erhvervsfagene og matematikken, herunder formlerne og deres sammenhænge. Eventuelt opstilling af simple formler ud fra en anden repræsentation eller kontekst.

4. Til slut en undervisning, hvor formlerne i deres forskellige repræsentationsformer anvendes til problemløsning. Undervejs er der fokus på de forskellige forståelser af formlerne, der er nødvendige for at kunne løse de givne opgaver.