Teoretiske perspektiver på læring af lineære funktioner

Funktioner - et centralt matematisk begreb

Funktionsbegrebet er et af de matematiske em­ner, der er forsket og forskes mest i (Thompson & Carlson, 2017). Det er der flere grunde til.

En grund er, at funktioner er et centralt matematisk begreb, der er afgørende for læring og anven­delse af matematik på både grundskolens mel­lem- og sluttrin samt gymnasialt niveau, hvor det indgår i grundlaget for differential- og inte­gralregning. Desuden anvendes funktioner, ikke mindst lineære funktioner, udbredt i andre fag og praksisområder. En rodfæstet forståelse af funktionsbegrebet er derfor en forudsætning for en matematikbaseret videregående uddan­nelse og for mange erhverv.

En anden grund er, at mange elever har svært ved at forstå funktioner, også lineære, og navnlig at bruge dem i forbindelse med problembe­handling og modellering. Det ses på de æld­ste klassetrin, men særlig markant ses det ved starten på den gymnasiale matematikundervis­ning. Det er bl.a. derfor, at lineære funktioner er udvalgt som fokus i gymnasiets grundforløb (se rapport om grundforløbet på emu.dk).

En tredje grund er, at flere principielle vanske­ligheder ved læring af matematiske begreber træder tydeligt frem ved introduktion af funkti­onsbegrebet. Her møder elever første gang for­malisering af sammenhængen mellem to varia­ble, hvor det især er brugen af algebra i form af ligninger med to variable, som volder vanskelig­heder. Men der er i det hele taget udfordringer i arbejdet med og samspillet mellem de forskel­lige repræsentationsformer for funktioner, såsom sprog, tabel, algebra, graf og algoritme/program (Ayalon, M., & Wilkie, K., 2020).

Hvorfor er det vanskeligt at forstå funktioner?

Det er en generel erkendelsesteoretisk udfor­dring ved læring af matematiske begreber, at vi kun har adgang til begreberne via repræsentati­oner af dem. Matematiske begreber er ikke en del af vores omverden i form af konkrete ma­terielle objekter. Oftest ses de som kulturelt udviklede objekter og mentale konstruktioner. Dette forhold er grundigt belyst i matematikdi­daktisk forskning, bl.a. af den tyske matematik­didaktiker Steinbring (se fx Steinbring, 2005).

Steinbring har videreudviklet en såkaldt er­kendelsesteoretisk trekant, der er udspændt af repræsentation, objekt og begreb. Repræ­sentation er en symbolsk repræsentation af be­grebet i et notationssystem, fx algebra, tabel, graf, mens objekt henviser til en anvendelse af begrebet. Pointen er, at det er via relationerne mellem objektet og forskellige repræsentatio­ner, at eleverne kan få fat i begrebets betyd­ninger. Og problemet er, at der i undervisning ofte ikke bliver etableret et selvstændigt objekt, som eleverne kan forholde sig til, og som re­præsentationerne af begrebet kan henvise til. Dette gælder særligt ift. lineære funktioner i både grundskolen og gymnasiet, hvor de ob­jekter, der arbejdes med, ofte bliver identiske med deres algebraiske repræsentationer, dvs. f(x) = ax+b for en lineær funktion og ligningen y = ax+b for en ret linje.

Som lærer er det na­turligt at fokusere opmærksomheden på de alge­braiske repræsentationer, fordi de er bærende for fremstillingen i lærebøgerne, og fordi mange elever i særlig grad oplever vanskeligheder med denne repræsentationsform.

Imidlertid peger Steinbring på, at algebraiske repræsentationer først bliver meningsfulde for elever, når de an­vendes til at beskrive og undersøge objekter, der indgår i anvendelsessammenhænge eller an­dre kontekster, som er meningsfulde for elever. Det kan fx ske gennem et arbejde med matema­tisk modellering, hvor udgangspunktet er fæno­mener og problemstilling (objekt), som eleverne kan beskrive og undersøge ved hjælp af lineære funktioner. Her kan de algebraiske repræsentati­oner få mening og vise deres styrke for eleverne, samtidig med at eleverne i denne proces kan ud­vikle deres forståelse af lineære funktioner som begreb. Her er der altså tale om at bruge model­lering som didaktisk middel til at styrke elevernes begrebsforståelse (Blomhøj, M., 2019).

Modeller for dannelse af matematiske begreber

Ved læring af matematiske begreber spiller duali­teten mellem at forstå et begreb som henholdsvis en proces og et objekt ofte en afgørende rolle. Dette gælder ikke mindst for funktionsbegrebet. Der er udviklet forskellige teorier for og model­ler af, hvordan en sådan begrebsudvikling kan foregå.

Her eksemplificerer vi en model udviklet af Anna Sfard (1991) med fokus på dannelse af et funktionsbegreb. Modellen består af tre faser. I den første fase (kaldet interiorization) internali­serer eleven en proces, som udføres på allerede velkendte objekter (fx heltal). Det kan fx være, at eleven kender de første par af talværdier af to variable og skal bestemme de næste værdier af den ene ud fra værdier af den anden. Efterhån­den kan eleven tale om processen uden at ud­føre den konkret. Eleven kan således se for sig, at man kan finde disse sammenhørende vær­dier, og at man kan repræsentere resultatet i en tabel eller som en graf. I anden fase (condensa­tion) kondenserer eleven processen til et mere kompakt og samlet hele og kan her arbejde med forskellige repræsentationer af denne sammenhæng. I tredje fase (reification), hvortil det kræ­ver et kognitivt spring at nå, kan eleven opfatte denne nye helhed som et selvstændigt objekt. Eleven ser nu funktioner som et objekt med be­stemte egenskaber, der kan indgå i nye proces­ser, som fx regning med funktioner. Uden den sidste krævende fase vil eleven alene kunne ud­føre operationerne. En fuldt udviklet begrebsforståelse indebærer, at eleven fleksibelt kan skifte mellem en proces ­og objektforståelse af en funktion. 

Udover at afdække vanskeligheder ved elevers læring af funktionsbegrebet og at udvikle mo­deller herfor så har matematikdidaktisk forsk­ning også undersøgt og udviklet teorier, der belyser mulighederne for og styrkerne ved at forankre elevernes begrebsforståelse i deres er­faringsverden og i konkrete oplevelser (altså det Steinbring kalder objekter) med matematisk modellering.

Det gælder bl.a. den hollandske skole Realistic Mathematics Education (RME). I RME arbejder elever i første omgang med at udvikle matematiske beskrivelser af velkendte ikke-matematiske fænomener, fx ved at udvikle en beskrivelse af et konkret fænomen som fx antal lommepenge, vha. en lineær funktion med konkrete værdier. Derved udvikler ele­ver modeller af konkrete fænomener gennem en såkaldt horisontal matematisering. I anden omgang kan eleverne så gradvist ændre per­spektiv ved at arbejde med modellerne inden for matematikken. Herved løsrives modellerne fra de konkrete situationer og kan bruges til at beskrive en bredere klasse af situationer, som fx fænomener med konstant vækst. Igennem en sådan vertical matematisering bliver de oprin­delige modeller af et konkret fænomen til mo­deller for en klasse af sådanne fænomener. Via disse to former for matematisering kan eleverne udvikle solide forståelser af de involverede ma­tematiske begreber (Gravemeijer, 2007, 1999).   

Sfards mo­del for begrebsdannelse og RMEs termer om model af og model for kan kombineres med Steinbrings betoning af betydningen af repræ­sentationsformer. Det har vi gjort for lineære funktioner i figur 3.

Modellering som middel til at udvikle elevernes begrebsforståelse

Morgenbrusebadet, som vist i eksemplet nedenfor, er et ek­sempel på, hvordan en dagligdagssituation kan beskrives og analyseres ved hjælp af matema­tisk modellering og give anledning til en konkret lineær funktion. Eksemplet stammer fra forløbet MatematikMorgener (Blomhøj & Skånstrøm, 2006 - Se nedenfor). Det har siden været anvendt i en række forsknings-og udviklingsprojekter.

I dette eksempel kan elever i fx 8. klasse ar­bejde med at opstille en model af vandforbru­get ved brusebad via horisontal matematisering. Det kan de gøre ved at beskrive deres eget mor­genbrusebad med måling af det kolde startfor­brug og af vandstrømmen, når der er skruet op for vandet. De kan starte med at repræsentere vandforbruget i en tabel fx i et regneark, hvor der minut for minut beregnes, hvor mange li­ter vand der er brugt.

Regnearket bliver herved en femte repræsentationsform ift. figur 3, som integrerer et regneudtryk og en tabel (evt. en graf), og som kan gøres dynamisk ift. ændrin­ger af startforbrug og vandstrømmen. Ud fra tabellen kan eleverne konstruere en gra­fisk repræsentation af vandforbruget som funk­tion af badetiden t (den stiplede linje i figur 2). I princippet er t kontinuert, da man jo kan slukke for bruseren, hvornår det skal være. Man kan tilnærme dette i tabellen/regnearket ved at ind føre en ny parameter, så den næste tidsværdi beregnes ved t+∆t, således at ∆t kan gøres så lille, at punkterne ligger så tæt det skal være. Beregningen af den trinvise tilvækst i vandforbruget skal så ændres til 6∆t. 

Herved kan grafen - i princippet - blive til et fuldt optrukket linje­stykke. Som model af brusebadets vandforbrug er funktionen kun relevant i et begrænset tids­interval fx [0,10] minutter. Som en dreng be­mærkede: "Så lang tid bader jeg ikke - efter 5 minutter er der ikke mere varmt vand, når jeg kommer efter min store søster!". Som model af vandforbruget giver eksemplet mulighed for, at eleverne arbejder med fem for­skellige repræsentationsformer af dette forbrug. Hvad angår den sproglige repræsentation kan eleverne beskrive deres normale brusebad i for­hold til badetid og hårvask m.v. Der opstår ty­pisk spørgsmål om, hvad der sker, hvis man slukker for vandet under hårvask. Mange ele­ver udvikler selv en numerisk beskrivelse af den trinvise udvikling, som de med forskellig grad af støtte kan omsætte til en formel i et regneark.

Når der i regnearket er lavet en tabel og tegnet en graf for vandforbruget over tid, kan eleverne udfordres til at beskrive sammenhængen mel­lem de to variable algebraisk. Ud fra elevernes arbejde kan deres forslag til funktionsudtryk drøftes i klassen for at støtte deres opfattelse af en funktion for vandforbruget som et mate­matisk objekt jf. Sfards model. Den algebraiske repræsentation sammenfatter jo, hvad de har fundet ud af, og egner sig godt til kommunika­tion derhjemme om, hvad sammenhængen er mellem badetid og vandforbrug. Ved at sammenligne deres modeller af deres vandforbrug kan eleverne erfare, at flere for­skellige modeller kan bruges til at beskrive det samme fænomen. Her bliver det vigtigt at drage deres opmærksomhed mod ligheder mellem deres modeller, karakteristika ved fænomenet og ikke mindst sammenhænge mellem model­ler og fænomen. På den måde kan eleverne støttes til at indse, hvilke dele af modellen der beskriver hvilke dele af fænomenet, og til at frigøre sig fra selve brusebadssituationen. Her­ved får de grundlag for at tale om og at forstå y = ax + b som model for denne type af vækst­fænomener. Dette kan evt. understøttes af min­dre tilsvarende modelleringsarbejder.

Via ver­tikal matematisering kan eleverne dernæst undersøge betydningen af a og b i den grafi­ske repræsentation i fx GeoGebra og dermed erfare, at a beskriver hældningen af den rette linje og b skæring med y-aksen, og at der er en entydig sammenhæng mellem en given ret linje og et sæt af værdier for a og b. Herved kan de udvikle deres forståelse af lineære funk­tioner som et objekt med bestemte egenskaber. 

Ud fra modeller af vandforbruget kan der knyt­tes an til andre typer af funktioner og deres egenskaber. Man kan fx bede eleverne over­veje, hvad der sker, hvis man skruer ned/op for vandet eller skifter ti I en sparebruser. Som en elev bemærkede: "Jeg kan skrue op og ned for hældningskoefficienten under badet, men så passer beregningen ikke mere". Dette kan give anledning til at arbejde med stykvis line­ære funktioner ved fx at udfordre eleverne til at konstruere grafer for og lave beregninger af vandforbruget, hvor der slukkes for vandet un­der hårvask og måske igen ved brug af hår­balsam. Eleverne kan endvidere arbejde med at bestemme det samlede vandforbrug, når de vasker hår eller bruger balsam ud fra grafer, der viser vandstrømmen som funktion af badeti­den. Herved skabes grundlag for, at modeller af vandforbruget også kan understøtte elevernes begyndende forståelse af integration.

Vi fremhæver brusebadet som en eksempla­risk aktivitet af tre grunde. For det første giver den mulighed for, at elever kan lave model­ler af et konkret, velkendt og ikke-matematisk fænomen, som de senere kan generalisere til modeller for tilsvarende typer af fænomener. Dette arbejde involverer elever i de to vigtige processer: vertikal og horisontal matematise­ring. For det andet giver aktiviteten mulighed for, at elever kan udvikle en bred forståelse af lineære funktioner som begreb, fordi de kan ar­bejde med relationerne mellem objektet (altså vandforbruget ved et brusebad) og forskellige repræsentationer af forbruget, jf. Steinbrings er­kendelsesteoretiske trekant. For det tredje kan elever støttes til at gå fra at regne på vandfor­bruget og lave beskrivelser af det til at tænke på vandforbrugsfunktionen som et objekt, der kan repræsenteres på forskellige måder og indgå i andre processer. Aktiviteten kan altså, ifølge Sfard, støtte elever i at udvikle en dualitetsforståelse af den lineære funktion som både en proces og et objekt, jf. figur 3.

Figur 2. Fra model af morgenbrusebadet til model for lineære vækst fænomener (Blomhøj, 2019, side 44).