GeoGebra kan fremme elevernes ræsonnementskompetence

I afhandlingen har Ingi Heinesen Højsted undersøgt, hvordan man kan designe en matematikundervisning, der udnytter de potentialer, geometriprogrammet GeoGebra har, i forhold til elevers udvikling af matematisk ræsonnementskompetence.

Ingi Heinesen Højsted udviklede bl.a. et spørgeskema, som undersøger i hvilken udstrækning GeoGebras potentialer aktuelt udnyttes i relation til ræsonnementskompetencen. 220 matematiklærere fra grundskolens udskoling deltog i undersøgelsen.

“Som det er nu, bruger en del lærere GeoGebra til opgaver, der er tænkt til papir og blyant, og spørger man lærere, hvad fordelene ved GeoGebra er, svarer mange af dem noget i retning af, at man tegne mere præcist, og at det er hurtigere. Det er de pragmatiske ting, som programmet tilbyder, de fremhæver. Og ikke i særlig høj grad de potentialer, programmet har for at udvikle elevernes matematiske ræsonnementskompetence,” siger Ingi Heinesen Højsted.  

Fire vigtige funktioner

Skal GeoGebra bidrage til at elever kan udvikle ræsonnementskompetence, peger Ingi Heinesen Højsted særligt på fire funktioner i GeoGebra, man som lærer bør se nærmere på.

Den første er dragging. Det er en funktion, der gør det muligt at trække i objekter og figurer. Når man trækker i dem, vil figurerne bevare visse egenskaber.

“På den måde kan eleverne undersøge, hvilke egenskaber en geometrisk figur bibeholder. Hvis man for eksempel laver en trekant og konstruerer vinkelhalveringslinjerne, vil man opdage, at de skærer hinanden i samme punkt, og det gør de lige meget, hvilken trekant man har,” forklarer Ingi Heinesen Højsted.

Det næste potentiale, kalder han for feedback. Her imiterer programmet euklidisk geometri og følger reglerne herfor. Programmet sørger således for, at eleverne ikke kan gøre noget, der strider imod de euklidiske principper.

“Man kan sige, at det gør modstand mod ting, der ikke stemmer overens med euklidisk geometri. Det gør papir og blyant som bekendt ikke. Her kan eleverne lave fejl – eller være upræcise,“ forklarer Ingi Heinesen Højsted.

Det tredje potentiale er muligheden for at måle geometriske egenskaber.

“Når man har målt figurerne i GeoGebra, kan man trække i dem, og så opdateres målingerne automatisk. Det betyder, at eleverne får mulighed for at opdage, at der er relationer mellem målingerne, og at der er nogle målinger, der hele tiden forholder sig på en bestemt måde. For eksempel, at uanset størrelse, så er midtpunktstransversalen hele tiden halvt så stor som den grundlinje, den er parallel med.”

Det fjerde og sidste potentiale er sporing. En funktion i programmet gør, at der trækkes et spor efter de figurer og objekter, man hiver i. Sporet viser, hvordan figurerne har bevæget sig. Også den funktion kan, ifølge Ingi Heinesen Højsted, hjælpe eleverne til at opdage underliggende geometriske egenskaber.

Læringsvej med fem niveauer af kognition

Ingi Heinesen Højsted har med udgangspunkt i de fire funktioner i GeoGebra udviklet nogle didaktiske principper for, hvordan man kan designe et undervisningsforløb, der udnytter dem.

“De didaktiske principper, jeg har udarbejdet, tager udgangspunkt i, hvad der ud fra et kognitivt perspektiv, skal til for at undersøge figurer i GeoGebra, for at kunne lave hypoteser – og for bagefter at kunne bevise de hypoteser, man laver. Herudfra har jeg beskrevet en læringsvej, der bygger på i alt fem niveauer af kognition,” siger Ingi Heinesen Højsted. Han forklarer, at det konkrete undervisningsmateriale, som han udviklede og afprøvede i fem forskellige udskolingsklasser, indeholdt 15 opgaver, en lærervejledning og andre materialer til læreren.

Gennem de første opgaver skulle eleverne lære at forstå, hvordan programmet fungerer, og hvordan afhængigheder mellem de konstruerede objekter bliver medieret og visualiseret af GeoGebra. De næste opgaver fokuser på, at eleverne skulle lære at lave undersøgelser, der kunne afdække geometriske egenskaber. De sidste opgaver skulle lære eleverne at bevise disse egenskaber.

I en af materialets første opgaver skulle eleverne konstruere to punkter og derefter et midtpunkt mellem dem ved at bruge et midtpunktsværktøj.

"De første opgaver handlede altså om at forstå: At når jeg inducerer en egenskab i GeoGebra, vil den blive bibeholdt, når jeg trækker i figuren."  

“Når man gør det, kommer der et midtpunkt frem mellem de to punkter, man har lavet. Og trækker man i punkterne, følger midtpunktet med. Således at det hele tiden forbliver midtpunkt. Det er GeoGebras måde at mediere denne geometriske egenskab. De første opgaver handlede altså om at forstå: At når jeg inducerer en egenskab i GeoGebra, vil den blive bibeholdt, når jeg trækker i figuren. Den forståelse kunne de bruge i de efterfølgende opgaver,” forklarer Ingi Heinesen Højsted.

På det næste niveau var målet at lære at kende forskel på direkte og indirekte variable.

“Når man konstruerer i GeoGebra, er der nogle egenskaber ved konstruktionen, der bibeholdes. Man siger, at de forholder sig invariant. Midtpunktet, som jeg har konstrueret, forbliver for eksempel midtpunkt hele tiden. Den egenskab varierer ikke. Det kan også være, at jeg laver en trekant med midtpunkt på to af siderne og et linjestykke imellem dem, en såkaldt midtpunktstransversal. Gør man det i GeoGebra og trækker i trekanten, så forbliver trekanten hele tiden en trekant, fordi jeg inducerede det direkte. Og midtpunkterne forbliver midtpunkter, fordi jeg inducerede dem direkte. Og linjestykket forbliver en midtpunktstransversal. Men man vil også opdage invariante egenskaber, man ikke inducerede direkte. For eksempel, at linjestykket hele tiden er parallelt med grundlinjen. Og at det er halvt så stort som grundlinjen,“ siger han og fortsætter:

"Når eleverne ved, hvilke invariante egenskaber, de selv har induceret, kan de opdage nye invariante egenskaber. Det betyder, at de kan begynde at formulere hypoteser."    

“Det viser sig altså, at midtpunktstransversaler altid vil være parallelle med grundlinjen, ikke fordi, man inducerede det, men som konsekvens af euklidisk geometri. Når eleverne ved, hvilke invariante egenskaber, de selv har induceret, kan de opdage nye invariante egenskaber. Det betyder, at de kan begynde at formulere hypoteser. For eksempel kan en hypotese være, at midtvejstransversalen i en trekant er parallel med grundlinjen. Det var det, de skulle lære på niveau to.”

Læreren spiller en essentiel rolle

Responsen fra de elever og lærere, der afprøvede undervisningsforløbet, var positiv. Det var noget, de gerne ville bruge, men det at føre beviser var ikke lige nemt for alle.

“Jeg observerede, at langt de fleste elever syntes, det var sjovt og spændende at arbejde undersøgende. Opgaverne med at bevise hypoteser var svære for mange, men de stærkeste elever fandt en udfordring i dem,“ siger Ingi Heinesen Højsted.

De lærere, som afprøvede undervisningsforløbet havde tidligere brugt GeoGebra, men ingen af dem var eksperter i programmet.

“De havde helt sikkert udnyttet nogle af programmets andre potentialer, men ingen af dem havde brugt det med specifikt fokus på ræsonnementskompetencen og udnyttelse af de fire potentialer, “ siger Ingi Heinesen Højsted.

"Eleverne havde typisk forskellige opfattelser af, hvad de havde gjort, når de sad ved skærmen, derfor havde den fælles opsamling i klassen stor betydning."

Det viste sig, at der var meget stor forskel på, hvor godt undervisningsforløbet lykkedes for de lærere, der afprøvede det, og her spillede lærerens styring af undervisningen en essentiel rolle.

“Eleverne havde typisk forskellige opfattelser af, hvad de havde gjort, når de sad ved skærmen, derfor havde den fælles opsamling i klassen stor betydning. Det var her læreren kunne hjælpe eleverne til at forstå, hvad de havde gjort på skærmen på en måde, der stemte overens med en matematisk fortolkning. Og her havde lærerens facilitering af klassedialogen altså en stor betydning for, hvordan eleverne forstod det, de havde foretaget sig,” siger Ingi Heinesen Højsted og kommer med et eksempel.

“Særligt i en af afprøvningerne havde jeg fokus på læreren frem for eleverne, fordi jeg gerne ville have læreren til at bruge undervisningsmaterialet efter hensigten. Jeg interviewede læreren efter hver undervisningsgang. Jeg lavede en skriftlig vejledning, som læreren skulle læse, og vi havde flere møder. Men det gik virkelig dårligt. Enten havde læreren ikke læst vejledningen, eller også havde jeg kommunikeret det dårligt. Hun fulgte i hvert fald ikke den opskrift, jeg havde givet hende,“ siger han og fortsætter:

“Der var episoder, hvor hun ikke hjalp eleverne til at forstå, hvad der skete på skærmen. Et eksempel var opgaven med de to punkter og midtpunktet. Her havde jeg stillet spørgsmålet: Hvad sker der, hvis man trækker i midtpunktet? Eleverne gættede på, at det ville rykke med. Da det ikke gjorde det, blev de forundrede og spurgte læreren, som svarede: ”Det er bare sådan, programmet er”. Det lukkede elevernes forsøg på at forstå, hvordan det hang sammen.” Han tilføjer:

“Det er svært at implementere didaktiske principper. I hvert fald i den form, jeg havde valgt, hvor jeg havde to siders beskrivelse i tekstform, som læreren skulle læse og bruge i undervisningen. Man skal måske finde en måde at interagere med læreren. Noget er man i hvert fald nødt til at gøre anderledes.”

Den didaktiske implementering halter bagud

Generelt ser Ingi Heinesen Højsted det som en udfordring, at man bruger digitale teknologier i undervisningen uden at en didaktisk implementering følger med.

"Man bruger en masse ressourcer på at implementere it, men den didaktiske vejledning følger ikke med. Det, tror jeg, er den allerstørste udfordring i forhold til at udnytte potentialerne fuldt ud i digitale teknologier som GeoGebra."  

“Man bruger en masse ressourcer på at implementere it, men den didaktiske vejledning følger ikke med. Det, tror jeg, er den allerstørste udfordring i forhold til at udnytte potentialerne fuldt ud i digitale teknologier som GeoGebra. Jeg har selv været lærer og ved, hvor mange ting man skal, så man kan ikke forvente, at lærerene selv finder ud af det. Man er nødt til at udvikle nogle principper, der er letforståelige og fortæller, hvordan man kan bruge teknologien hensigtsmæssigt i forhold til de forskellige læringsmål. Og også gerne nogle opgaver, som lærerne kan tage udgangspunkt i,“ slutter Ingi Heinesen Højsted.