CAS gør algebraundervisningen mere kreativ
- ny ph.d. om CAS i udskolingen

Hver ting til sin tid

Louise Meier Carlsens studie af den traditionelle papir-og-blyant algebra er baseret på en detaljeret analyse af at essentiel matematisk læring går tabt, når man bruger CAS til at løse traditionelle algebraopgaver.

”Med papir og blyant-metoden blev helt fundamentale teknikker anvendt, der viser eleverne den algebraiske struktur. Det er helt grundlæggende matematik, man lærer igennem sådanne algebraiske manipulationer. Og det var ligesom væk, når man løste de samme opgaver med CAS,” forklarer hun.

Derfor kan hun også sagtens forstå, hvorfor nogle grundskolelærere stejler ved tanken om at skulle bruge CAS. Men Louise Meier Carlsen understreger samtidig, at der er nogle aktiviteter , man traditionelt ikke har arbejdet med, som vil kunne støtte elevers læring via CAS.

Umagen værd

Brugen af CAS åbner op for noget andet og mere, end når eleverne benytter papir og blyant og det er derfor både et rigtig godt supplement og et tidssvarende hjælpemiddel ifølge Louise Meier Carlsen.

Fx er det muligt med brug af CAS at arbejde med mere komplekse algebraiske udtryk og at gøre det på en måde, hvor den algebraisk struktur træder tydeligt frem for eleverne.

Eksempel

Med CAS kan eleverne arbejde med at løse en ligning på denne måde: 

Herved kan eleverne blive opmærksomme på strategien med at omskrive en ligning, så den ubekendte alene optræder på den ene side af lighedstegnet. Og eleverne kan arbejde med at forfølge denne strategi ved at udføre de samme algebraiske manipulationer på begge sider af lighedstegnet. Uden CAS kan vanskelighederne ved at udføre de algebraiske manipulationer korrekt være blokerende for nogle elever. Både at forstå den algebraiske struktur af en ligning, og at lægge en strategi for, hvad der skal gøres for at løse ligningen. Her kan CAS være en hjælp, men de faglige pointer i elevernes arbejde skal løftes frem af læreren.

"Den vigtigste grund til at bruge CAS for læreren er det opløftningspotentiale, der er for eleverne, som man på engelsk kalder for the lever potential. Det handler om, at man kan komme mere i dybden med algebra. For eksempel kunne man studere, hvad en ligning er,” siger Louise.

'Grimme' ligninger

Når eleverne anvender CAS til løsning af ligninger, kunne man f.eks. vælge at fokusere på at lave 'grimme' ligninger, dvs. uoverskuelige ligninger med mange led og måske flere variable.  Hvordan laver man en grimmere ligning end den anden i eksemplet ovenfor? Hvilke metoder kan man anvende, så den fortsat har samme løsning? En sådan aktivitet vil ikke kun inddrage alle de traditionelle (og fundamentale) papir og blyant metoder, men også koble dem sammen med at ligningens løsning skal forblive den samme.   

Det mener hun ofte kan være en mangelvare i og med at undervisning fortsat i dag er fokuseret på metoderne, der bliver anvendt. Eleverne arbejder meget med ligninger, men uden måske egentligt at have viden til at forklare, hvad det er, og koble metoder med teori. Og på den måde synes Louise, at der er mange gode eksempler på, hvordan man kan prøve at gå mere i dybden med algebra.

I en aktivitet, beskrevet i afhandlingen, bliver tre 8. klasser bedt om at beskrive hvad en ligning er. Til at videreudvikle deres beskrivelser undersøger eleverne en række, tilsyneladende almindelige, eksempler på ligninger. Nogle af eksemplerne er: (x - 1)(x - 2)= 0, en ligning uden løsning, en ligning uden variable, flere forskellige typer af ligninger med uendelig mange løsninger.

I begge aktiviteter formulerer eleverne et mere solidt fundament for at arbejde med ligninger. Derudover ligger det naturligt for eleverne at stille spørgsmål ved og diskutere algebraen fx hvilken betydning, det har for en ligning, når man substituerer.  

Tiltrængt kreativitet

”Man kan også arbejde mere udforskende inden for matematik, hvilket er noget vi efterstræber meget i undervisningen i øjeblikket. Og hvis man implementerer CAS, kommer det virkeligt til sin ret her, fordi man kan bruge det til at eksperimentere med i sit eget lille laboratorium,” siger hun.

Louise Meier Carlsen pointerer også, at eleverne får en både sjovere og bedre oplevelse af undervisningen, hvis de i højere grad kan sidde og eksperimentere med tingene og anvende deres kreativitet, hvilket hun i øvrigt synes, er særligt tiltrængt ved undervisning i algebra.

Eksempelvis i aktiviteten hvor eleverne videreudvikler (gør grimmere) en ligning. Her lægger eleverne sig i selen og graver en palet af algebraiske metoder frem som bruges på kryds og tværs og i nye sammensætninger til at vinde konkurrencen om den grimmeste ligning. 

Stiller store krav til læreren

Den største udfordring er dog, ifølge forskeren, at der ikke findes en veletableret praksis for, hvordan man benytter CAS i undervisningen. Derfor kræver det også meget af underviseren at implementere.

”Som lærer i udskolingen er man her tæt på at skulle opfinde den dybe tallerken selv. Og det gælder lige fra undervisningsmaterialer, over at tilegne sig viden og teknikker omkring computerprogrammer, der også skal med ind i undervisningen, og til i det hele taget at finde balancen mellem, hvornår CAS skal bruges og hvornår CAS ikke skal bruges,” forklarer hun.

”For at komme i gang skal der, som nu være de entusiastiske og reflekterende frontløbere. De gør et stort stykke arbejde i form af at konkretisere potentialet ved CAS for kollegaerne. Det ser jeg som første skridt i at vække interessen” mener Louise og supplerer, at der også er behov for strukturel støtte til lærerne, f.eks. i form at lektionsstudier, som også blev anvendt til at studere anvendelse af CAS i forbindelse med afhandlingen.

Hun mener desuden at det vidner om, hvor svært det er, når man i gymnasiet der har benyttet CAS i undervisningen i over 20 år, endnu diskuterer grundlæggende didaktiske spørgsmål om anvendelse af CAS, bla. om hvor lidt og hvor meget.

Louise Meier Carlsen er ansat som forsker på Færøernes Universitet i Thorshavn, hvor hun bor sammen med sin familie.    

Et skridt ad gangen

Lige som der er potentiale ved at implementere CAS er der også udfordringer. Et eksempel fra forskningslitteraturen omkring implementering af CAS, der stod meget klar for Louise, var et lærerteam der så et potentiale ved at koble CAS til introduktion af eksponentialfunktioner. Men det betød, at en hel veletableret læringsprogression måtte omstruktureres.

”Hvis man skal lave så stort et arbejde hver gang, kan CAS ikke være med i matematikundervisningen hver dag. Implementeringen af CAS må til at begynde med så foregå stille og roligt og engang imellem,” mener hun.

Louise Meier Carlsen håber på, at hendes forskning kan være med til at inspirere og støtte udskolingslærere til, hvordan de kan gribe implementeringen af CAS an i matematikundervisningen.