CAS gør algebraundervisningen mere kreativ
- ny ph.d. om CAS i udskolingen

d. 30.11.2020 

Brugen af CAS kan gøre algebraundervisningen i udskolingen undersøgelsesbaseret for eleverne og løfte deres vidensniveau, viser ny forskning. Men det kræver et åbent sind og en stor indsats fra lærerne at implementere det.

En af udfordringerne ved at bruge CAS ved undervisning i algebra er, at det ikke egner sig til traditionelle algebraopgaver, forklarer nylig ph.d. Louise Meier Carlsen, der har fokuseret på udskolingslærerens praksis i sin ph.d.: Teachers’ Practice and Knowledge on School Algebra with CAS

I afhandlingen ser hun bl.a. nærmere på spørgsmål som: Hvilke opgaver skal man vælge? Hvordan kan man lave sine egne opgaver? Hvordan og hvad kan man lære af sin og andres undervisning med CAS? 

Foto: TimGeers - Maths55-365

NY FORSKNING


Ph.d. om anvendelse af CAS i udskolingen.
v. Louise Meier Carlsen, Assistant Professor in the Didactic of Mathematics, Faculty of Science and Technology, Fróðskaparsetur Føroya

 

Download afhandlingen: 

Hver ting til sin tid

Louise Meier Carlsens studie af den traditionelle papir-og-blyant algebra er baseret på en detaljeret analyse af at essentiel matematisk læring går tabt, når man bruger CAS til at løse traditionelle algebraopgaver.

”Med papir og blyant-metoden blev helt fundamentale teknikker anvendt, der viser eleverne den algebraiske struktur. Det er helt grundlæggende matematik, man lærer igennem sådanne algebraiske manipulationer. Og det var ligesom væk, når man løste de samme opgaver med CAS,” forklarer hun.

Derfor kan hun også sagtens forstå, hvorfor nogle grundskolelærere stejler ved tanken om at skulle bruge CAS. Men Louise Meier Carlsen understreger samtidig, at der er nogle aktiviteter , man traditionelt ikke har arbejdet med, som vil kunne støtte elevers læring via CAS.

Umagen værd

Brugen af CAS åbner op for noget andet og mere, end når eleverne benytter papir og blyant og det er derfor både et rigtig godt supplement og et tidssvarende hjælpemiddel ifølge Louise Meier Carlsen.

Fx er det muligt med brug af CAS at arbejde med mere komplekse algebraiske udtryk og at gøre det på en måde, hvor den algebraisk struktur træder tydeligt frem for eleverne.

Hvad er CAS?

CAS er en forkortelse af Computer Algebra System, der betegner software som kan regne både numerisk og symbolsk. CAS er typisk integreret i lommeregner, apps eller i computerbaserede matematikværktøjer, der også omfatter grafiske faciliteter.

CAS findes i mange forskellige udgaver både til grundskoleniveau, ungdomsuddannelser og de videregående uddannelser. Og CAS anvendes også i professionelle sammenhænge af for eksempel ingeniører og matematikere.    

CAS er ikke et integreret element i grundskolen hverken i læreplanen eller i praksis, men det er forventet, at eleverne kan anvende it-værktøjer med CAS ved afgangsprøverne, og det er derfor et krav, at eleverne introduceres til sådanne værktøjer i undervisningen. Det kan samtidig forberede eleverne til de gymnasiale ungdomsuddannelser, hvor CAS anvendes i udstrakt grad.

Gode råd
Louise Meier Carlsens tre bedste råd til, hvordan man som udskolingslærer bedst implementerer CAS i sin matematikundervisning:

  1. Begynd i det teknisk simple. Vælg én kommando ad gangen og se tilegnelsen af CAS som en progression også for dig selv.
  2. Hav selv en udforskende tilgang til emnet.
  3. Anvend f.eks. lektionsstudier som metodisk tilgang til at udvikle undervisning med CAS i samarbejde med kolleger.

  Hun henviser desuden til aktiviteterne i sine artikler i afhandlingen, som man med fordel kan starte med.  

Eksempel

Med CAS kan eleverne arbejde med at løse en ligning på denne måde: 

Herved kan eleverne blive opmærksomme på strategien med at omskrive en ligning, så den ubekendte alene optræder på den ene side af lighedstegnet. Og eleverne kan arbejde med at forfølge denne strategi ved at udføre de samme algebraiske manipulationer på begge sider af lighedstegnet. Uden CAS kan vanskelighederne ved at udføre de algebraiske manipulationer korrekt være blokerende for nogle elever. Både at forstå den algebraiske struktur af en ligning, og at lægge en strategi for, hvad der skal gøres for at løse ligningen. Her kan CAS være en hjælp, men de faglige pointer i elevernes arbejde skal løftes frem af læreren.

"Den vigtigste grund til at bruge CAS for læreren er det opløftningspotentiale, der er for eleverne, som man på engelsk kalder for the lever potential. Det handler om, at man kan komme mere i dybden med algebra. For eksempel kunne man studere, hvad en ligning er,” siger Louise.

'Grimme' ligninger

Når eleverne anvender CAS til løsning af ligninger, kunne man f.eks. vælge at fokusere på at lave 'grimme' ligninger, dvs. uoverskuelige ligninger med mange led og måske flere variable.  Hvordan laver man en grimmere ligning end den anden i eksemplet ovenfor? Hvilke metoder kan man anvende, så den fortsat har samme løsning? En sådan aktivitet vil ikke kun inddrage alle de traditionelle (og fundamentale) papir og blyant metoder, men også koble dem sammen med at ligningens løsning skal forblive den samme.   

Det mener hun ofte kan være en mangelvare i og med at undervisning fortsat i dag er fokuseret på metoderne, der bliver anvendt. Eleverne arbejder meget med ligninger, men uden måske egentligt at have viden til at forklare, hvad det er, og koble metoder med teori. Og på den måde synes Louise, at der er mange gode eksempler på, hvordan man kan prøve at gå mere i dybden med algebra.

I en aktivitet, beskrevet i afhandlingen, bliver tre 8. klasser bedt om at beskrive hvad en ligning er. Til at videreudvikle deres beskrivelser undersøger eleverne en række, tilsyneladende almindelige, eksempler på ligninger. Nogle af eksemplerne er: (x - 1)(x - 2)= 0, en ligning uden løsning, en ligning uden variable, flere forskellige typer af ligninger med uendelig mange løsninger.

I begge aktiviteter formulerer eleverne et mere solidt fundament for at arbejde med ligninger. Derudover ligger det naturligt for eleverne at stille spørgsmål ved og diskutere algebraen fx hvilken betydning, det har for en ligning, når man substituerer.  

Tiltrængt kreativitet

”Man kan også arbejde mere udforskende inden for matematik, hvilket er noget vi efterstræber meget i undervisningen i øjeblikket. Og hvis man implementerer CAS, kommer det virkeligt til sin ret her, fordi man kan bruge det til at eksperimentere med i sit eget lille laboratorium,” siger hun.

Louise Meier Carlsen pointerer også, at eleverne får en både sjovere og bedre oplevelse af undervisningen, hvis de i højere grad kan sidde og eksperimentere med tingene og anvende deres kreativitet, hvilket hun i øvrigt synes, er særligt tiltrængt ved undervisning i algebra.

Eksempelvis i aktiviteten hvor eleverne videreudvikler (gør grimmere) en ligning. Her lægger eleverne sig i selen og graver en palet af algebraiske metoder frem som bruges på kryds og tværs og i nye sammensætninger til at vinde konkurrencen om den grimmeste ligning. 

Stiller store krav til læreren

Den største udfordring er dog, ifølge forskeren, at der ikke findes en veletableret praksis for, hvordan man benytter CAS i undervisningen. Derfor kræver det også meget af underviseren at implementere.

”Som lærer i udskolingen er man her tæt på at skulle opfinde den dybe tallerken selv. Og det gælder lige fra undervisningsmaterialer, over at tilegne sig viden og teknikker omkring computerprogrammer, der også skal med ind i undervisningen, og til i det hele taget at finde balancen mellem, hvornår CAS skal bruges og hvornår CAS ikke skal bruges,” forklarer hun.

”For at komme i gang skal der, som nu være de entusiastiske og reflekterende frontløbere. De gør et stort stykke arbejde i form af at konkretisere potentialet ved CAS for kollegaerne. Det ser jeg som første skridt i at vække interessen” mener Louise og supplerer, at der også er behov for strukturel støtte til lærerne, f.eks. i form at lektionsstudier, som også blev anvendt til at studere anvendelse af CAS i forbindelse med afhandlingen.

Hun mener desuden at det vidner om, hvor svært det er, når man i gymnasiet der har benyttet CAS i undervisningen i over 20 år, endnu diskuterer grundlæggende didaktiske spørgsmål om anvendelse af CAS, bla. om hvor lidt og hvor meget.

Louise Meier Carlsen er ansat som forsker på Færøernes Universitet i Thorshavn, hvor hun bor sammen med sin familie.    

Et skridt ad gangen

Lige som der er potentiale ved at implementere CAS er der også udfordringer. Et eksempel fra forskningslitteraturen omkring implementering af CAS, der stod meget klar for Louise, var et lærerteam der så et potentiale ved at koble CAS til introduktion af eksponentialfunktioner. Men det betød, at en hel veletableret læringsprogression måtte omstruktureres.

”Hvis man skal lave så stort et arbejde hver gang, kan CAS ikke være med i matematikundervisningen hver dag. Implementeringen af CAS må til at begynde med så foregå stille og roligt og engang imellem,” mener hun.

Louise Meier Carlsen håber på, at hendes forskning kan være med til at inspirere og støtte udskolingslærere til, hvordan de kan gribe implementeringen af CAS an i matematikundervisningen.

The lever potential

Begrebet kan på dansk omskrives til opløftningspotentiale eller potentiale til faglig fordybelse, det muliggør matematiske aktiviteter på et begrebsmæssigt højere niveau. Eksempelvis kan man studere forskelle og ligheder mellem variable og parametre. 

Litteratur om emnet:

  • Dreyfus, T. (1994). "The role of cognitive tools in mathematics education." Didactics of mathematics as a scientific discipline: 201-211.
  • Winsløw, C. (2003). "Semiotic and discursive variables in CAS-based didactical engineering." Educational Studies in Mathematics 52(3): 271-288.

Lektionsstudier

Er en metode, hvor lærere kan samarbejde om at udvikle deres praksis og ny viden om undervisning og læring. I lektions-studier planlægger, gennemfører, observerer, og reflekterer et team af lærere over en lektion – kaldet studielektionen.

 

Som en del af afhandlingen blev lektionsstudie-formatet anvendt. Louise fortæller om dette ” Jeg var imponeret over mængden og kvaliteten af den viden, som blev udviklet i forbindelse med planlægningen, og som viste sig at matche den allerede etablerede forskningsviden.”

Danske håndbøger om lektionsstudier:

  • Kaas, T., Kristiansen, H., Møller, H., Skott, C. K., Østergreen-Olsen, D. (2016). Lektionsstudiebogen. København: Hans Reizel.

Flere artikler om ny matematikdidaktisk forskning

23.06.2021 | Nyheder

Ny forskning: GeoGebra kan fremme elevernes ræsonnementskompetence

Ny phd om forskningsbaseret design af undervisning med dynamiske geometriprogrammer. Digitale teknologier som for eksempel GeoGebra har store potentialer for at fremme elevers matematiklæring, blandt andet kan de støtte elevers udvikling af ræsonnementskompetencen...

26.03.2021 | Nyheder

Matematikangst

Den nødvendige kulturændring i matematik­­­­­­undervisningen er krævende. Interview med ph.d.-studerende Maria Kirstine Østergaard.

19.01.2021 | Nyheder

Teoretiske perspektiver på læring af lineære funktioner

Hvordan kan jeg, som matematiklærer, forankre og styrke elevers forståelse af lineære funktioner? Læs uddraget fra tidsskriftet MATEMATIK

30.11.2020 | Nyheder

CAS gør algebraundervisningen mere kreativ

Brugen af CAS kan gøre algebraundervisningen i udskolingen undersøgelsesbaseret for eleverne og løfte deres vidensniveau, viser ny forskning. Men det kræver..

 

Artiklerne i afhandlingen - Teacher knowledge and practice on school algebra with CAS

  • Analyse af 10 års afsluttende skriftlige eksaminer fra 9. klasse. Undersøgte om algebraundervisning er kompatibelt med brugen af CAS, når hvor ligninger er det primære matematiske objekt. Analysen peger bl.a. på de mange elementære algebraiske teknikkers fundamentale betydning for elevernes viden om algebraiske strukturer og syntaks og viste at størstedelen af de elementære og fundamentale teknikker ikke længere er til stede ved brugen af CAS, når traditionelle algebra-opgaver anvendes.
  • Analyse af hvordan praxeologi-værktøjet kan anvendes til at designe aktiviteter, der støtter the lever potential for CAS. Artiklen konkluderer, at CAS bl.a. kan anvendes til at udvikle elevernes viden om algebra og få dem til at formulere deres viden om ligninger ved at studere forskellige typer af utraditionelle ligninger. Og at viden kan styrkes med de 'rigtige' opgaver via CAS. Og at man positivt vil kunne influere elevernes håndtering af en større række af problemer, der inkluderer ligninger.
  • Et kursus-design inspireret af japanske lektionsstudier. Analysen viste at specielt refleksionssamtalen, hvor observationer af en konkret lektion deles, var god til at generere viden om undervisning af algebra med CAS. 

Udover de tre artikler indeholder afhandlingen bl.a. en større litteraturgennemgang der systematisk gennemgår de potentialer og forhindringer for implementering af CAS, der er beskrevet i forskningslitteraturen.    

---

d. 30.11.2020 af journalist Dorte Dalgaard