Eksempel: Mate­­matiske ræsonnementer i udskolingen

I eksemplet erfarer eleverne i udskolingen gennem arbejdet med aktiviteterne 'Kvadratproblemet', 'Cirkel og punkt-problemet' og 'Monstrous modeksempel' forskellen mellem det at føle sig overbevist og det at argumentere matematisk deduktivt.

Det er et eksempel på, hvordan elever i udskolingen erfarer de begrænsninger, der kan være ved empiriske argumenter, og derfor oplever et behov for at argumentere deduktivt. Der ses ofte en tendens til, at mange elever i grundskolen gerne vil anvende og acceptere empiriske argumenter som beviser for generaliseringer. (Kilde 1)

En udfordring, der ikke er blevet mindre med brug af dynamiske geometriprogrammer. I udskolingen skal der derfor sættes ekstra fokus på at hjælpe elever til at indse forskellen mellem empiriske argumenter og matematiske beviser. Det er her også vigtigt at skelne mellem det, at elever føler sig overbevist, og det at argumentere matematisk deduktivt.

Nedenfor beskrives et forløb, hvor 14-15-årige elever arbejdede med en sammensætning af fire opgaver (se figur 1), som specifikt havde til formål at give eleverne en større forståelse for det problematiske, der kan være i alene at argumentere empirisk. (Kilde 2)

Opgave: Kvadratproblemet


  1. Hvor mange forskellige 3 x 3-kvadrater er der i 4 x 4-kvadratet?
  2. Hvor mange forskellige 3 x 3-kvadrater er der i et 5 x 5-kvadrat?
  3. Hvor mange forskellige 3 x 3-kvadrater er der i et 60 x 60-kvadrat?
    1. Hvordan vil I finde ud af, hvor mange forskellige kvadrater der er?
    2. Hvordan vil I være sikre på, at I har fundet dem alle?  

Eleverne blev først introduceret til 'Kvadratproblemet', som beskrevet ovenfor.

Den sværeste del af kvadratproblemet var spørgsmål 3, hvor det i 60 x 60-kvadratet blev vanskeligt for eleverne at tælle sig frem.

I små grupper identificerede eleverne efterhånden et mønster:

  • Antallet af forskellige 3 x 3-firkanter i en $n x n$-firkant kan beregnes med formlen $(n - 2)^2$.
  • De fandt ud af, at formlen holdt for $n = 4$ og $n = 5$, og nogle af dem også for $n = 6$.
  • Baseret på disse empiriske fund konkluderede de, at mønsteret holder for alle værdier af $n$ , inklusive $n = 60$.

Således validerede eleverne mønsteret empirisk på grundlag af deres egne eksempler.

Efter nogle diskussioner om betydningen af ​​formlen skulle eleverne hver især skrive, hvorvidt og hvorfor de kunne være sikre på, at deres formel ville give korrekt svar på spørgsmål 3:

  • Bob svarer:

"Fordi vi har fundet en formel og prøvet den på mindre firkanter, så har vi sikret os, at formlen er korrekt."

  • Calvin svarer:

"Jeg er sikker på, at denne løsning fungerer, fordi den fungerede for alle de kvadrater, vi afprøvede".

Calvin tænkte altså, at det empiriske argument var tilstrækkelig argumentation for formlen. Der er mange elever, der tænker på samme måde som Calvin. Disse elever ser derfor sandsynligvis ikke noget behov for at argumentere deduktivt. (Kilde 2)

Opgave: Cirkel og punkt-problemet

  • Placér et antal punkter (start med 3) på en cirkel, og forbind alle punkterne med linjestykker.
  • Undersøg, om der er en sammenhæng mellem antallet af punkter og det maksimale antal ikke-overlappende områder, som cirklen kan blive opdelt i.
  • Er der en nem måde at finde det maksimale antal ikke-overlappende områder, når der er 15 punkter omkring cirklen?

Læreren introducerede 'Cirkel og punkt- problemstillingen' (se figur) og bad eleverne om at arbejde på problemet i små grupper.

Forventningen til denne problemstilling svarede til, hvad eleverne havde gjort i 'Kvadratproblemet': at de ud fra enkelte eksempler identificerede et mønster og anvendte dette mønster, når $n = 15$ (hvor $n$ står for antallet af punkter).

Imidlertid var der en forskel mellem de to problemer: i modsætning til generaliseringen, der blev fundet i kvadratproblemet, så ville generaliseringen, der typisk bliver fundet, ikke gælde for $n = 6$.

 

Efter ca. 10 minutter spurgte læreren eleverne, om de troede, de havde et svar på $n = 15$. En elev mente, at det handlede om potenser af 2. Læreren tegnede en tabel på tavlen:

Antal punkter $n = 3$ $n = 4$ $n = 5$
Områder4816

  • Læreren præciserede elevens idé ved at skrive følgende på tavlen:

$2^2$ for $n = 3$, $2^3$ for $n = 4$ og $2^4$ for $n = 5$.

  • Læreren spurgte efterfølgende: 

"Så hvad vil det være for 15 punkter?"

Flere elever havde allerede nedskrevet dette $2^{n-1}$. Men i stedet fremkom følgende dialog:

  • Ken:

"Må jeg lige sige, at det er forkert, for ved 6 [punkter], der er kun 30 [områder]".

  • Lærer:

"Vi var lige ved at sige, at svaret ville være $2^{14}$ til de 15 punkter. Men du fortæller mig, at det for 6 punkter ikke gælder. Hvis vi anvendte den opstillede formel, så ville vi ved 6 punkter få $32$ $(2 ^{(6-1)})$, men er der nogen, der klarede at finde dette antal områder?"

  • Elev:

"Vi fandt 31."

  • Lærer:

"I kvadratproblemet fandt vi, at vores mønster fungerede for nogle af de forskellige kvadrater for 5 x 5-kvadratet, 6 x 6-kvadratet, og så var vi villige til at stole på det til 60x60 kvadratet, men denne gang har vi vist, at formlen fungerer for 3, den fungerer for 4, den fungerer for 5, men faktisk, Ken, du har ret: Hvis vi havde 6 punkter på en cirkel, og vi forbinder dem, så vil antallet af ikke-overlappende områder, som vi får, ikke være det, vi forventer - det er ikke 32. Det er faktisk 31."

  • Eleverne skulle igen skrive, hvad de havde lært af dette problem, og en elev [Bob] skrev:

"Du kan ikke altid stole på en formel, før du har testet den mange gange for mange forskellige eksempler."

  • Dertil svarer Calvin:

"Denne test har lært os, at hvis du ser et mønster, skaber det ikke altid det korrekte."

Eleverne begyndte nu så småt at ændre deres syn på empiriske argumenters holdbarhed.

Opgave: Monstrous modeksempel

Overvej følgende udsagn:

Udtrykket: $1 + 1141n^2$, hvor $n$ er et naturligt tal, giver aldrig et kvadrattal.

Tidligere er der brugt computere til at kontrollere udtrykket, og man fandt ud af, at det ikke giver et kvadrattal for ethvert naturligt tal fra 1 til

30 693 385 322 765 657 197 397 207.

MEN:

Det giver et kvadrattal for det næste naturlige tal!   

Den tredje opgave var specielt udviklet til at provokere eleverne til en kognitiv konflikt og derved hjælpe dem til at begynde at overveje holdbarheden af forskellige typer af argumenter.

Eleverne fik udleveret ovenstående udsagn. De skulle bruge deres computere til at undersøge udtrykket, og efter afprøvning af enkelte tal fandt de frem til, at udsagnet umiddelbart var sandt.

Men eleverne var forbløffede og oplevede en kognitiv konflikt, for de havde ikke forventet, at et mønster, der holdt i så mange tilfælde i sidste ende kunne mislykkes.

  • Lærer:

"Vi sagde i den anden opgave, at okay, det er ikke nok bare kontrollere et par tilfælde, du skal prøve mange forskellige tilfælde. Men hvad fortæller dette os nu?":

  • Joan:

"[Det lærer dig, at] du aldrig kan kontrollere nok eksempler."

  • Laura:

"Kunne du sige, at fordi tallene ... fordi du siger, at man ikke kan tælle til uendelig…  så du kan derfor aldrig være helt sikker?"

Lærerne går nu tilbage til opgave 1 og genbesøger 'Kvadratproblemet':

  • Lærerne:

"Kan vi være sikre på det svar, vi fandt her?"

  • Victor:

"Jeg antager, at du aldrig rigtig kan være sikker på noget i matematik. Jeg mener, efter at have set det sidste problem [Monstrous modeksempel] vil jeg sige 'nej' - jeg mener, jeg synes stadig, det er rigtigt [refererer til første opgave med 60 x 60-kvadratet]".

  • Emily: 

"Hvis du fortsatte med at prøve, er du muligvis nødt til at gå så højt op, indtil du finder en [et modeksempel]."

  • Lærer:

"Men jeg kan forestille mig, at det tog computeren lang tid at kontrollere alle disse tal  [i Monstrous modeksempel], og hvornår skal du så holde op med at tjekke?"

  • Larry:

" Når du har fundet en!" [Flere studerende ler.]

  • Lærer:

"Og hvornår stoler du så på et mønster?"

  • Adam:

"Du skal blive ved, til du dør…"

 

Diskussionerne i eksemplerne illustrerer, at eleverne gennem forløbet begyndte at udvikle mistillid til deres foreslåede empiriske argumenter og generelt at indse begrænsningerne ved empiriske argumenter. Eleverne indså med andre ord, at der i matematik kan være behov for at argumentere på andre måder end de rent empiriske.

TIL OVERVEJELSE I FAGTEAMET

  • Hvordan forestiller I jer, at jeres elever vil arbejde med de tre problemstillinger i forløbet?
  • Hvad kræver det af læreren og eleverne at kunne gennemføre et forløb som dette i 8. eller 9. klasse?
  • Vil I kunne gøre det på jeres egen skole?
til: GRUNDSKOLE - udskoling
emne: RÆSONNEMENTER

Forfatter

Dorte Moeskær Larsen

Lektor, ph.d.
UCL Erhvervsakademi og Professionshøjskole


Del tema Tag med

Udgiver

Temaer på matematikdidaktik.dk udvikles i tæt samarbejde mellem forskere og praktikere og udgives af NCUM.
Se redaktionen og vores redaktionelle retningslinjer

Kilder

  1. EMS. (2011). Do theorems admit exceptions? Solid findings in mathematics education on empirical proof schemes. Newsletter of the European Mathematical Society, 81, 50–53.
  2. Stylianides, G. J., & Stylianides, A. J. (2009). Facilitating the transition from empirical arguments to proof. Journal for Research in Mathematics Education40(3), 314-352.

Del tema Tag med