Det særlige ved at ræsonnere i matematikfaget er, at det at argumentere deduktivt lægger op til nogle helt andre regler og kriterier for at afgøre, om noget er sandt eller ej, end dem, der bruges i hverdagen. Men også de empiriske argumenter giver store muligheder for at udforske omverdenen. Læs om ræsonnementets opbygning, og se et eksempel på et ræsonnement på mellemtrinnet.
Et ræsonnement kan ses som resultatet eller produktet af den proces, hvor elever opstiller og argumenterer for påstande eller hypoteser. Se også teksten om At ræsonnere matematisk i grundskolen.
Produktet er et argument eller en kæde af argumenter, elever formulerer for at retfærdiggøre en hypotese. (Kilde 1)
Der kan være store forskelle på, hvilke argumenter elever anvender for at overbevise andre og store forskelle på, hvilke argumenter der skal til, for at elever føler sig overbevist.
I forskningen beskrives tre forskellige måder at overbevise på. (Kilde 2)
Se flere eksempler på, at elever arbejder med forskellige tilgange til at argumentere i undervisningen:
Det særlige ved at ræsonnere i matematikfaget er, at det at argumentere deduktivt lægger op til nogle helt andre regler og kriterier for at afgøre, om noget er sandt eller ej, end dem, der bruges i hverdagen og i andre discipliner. Fx i naturfag, hvor det ofte handler om at afprøve og teste hypoteser ift. fysiske genstande. Opgaven i matematikundervisningen er derfor netop, at elever skal opnå en forståelse for at adskille disse forskellige måder at argumentere på, og et af målene er at få eleverne til at gå fra især de autoritative og til dels de empiriske til de mere deduktive og matematiske argumenter. (Kilde 3)
Det er imidlertid vigtigt at påpege, at især de empiriske argumenter hænger tæt sammen med virkeligheden og giver store muligheder for at udforske omverdenen - også i matematik. Empiriske undersøgelser kan netop hjælpe eleverne med at organisere deres matematiske observationer i meningsfulde matematiske generaliseringer, så de får en baggrund for efterfølgende evt. at gå i gang med at opstille mere deduktive matematiske argumentationsrækker. Det skal også fremhæves, at det især på de yngre klassetrin netop er et mål for undervisningen, at elever også anvender og udvikler empiriske argumenter.
På den ene side er anvendelsen af empiriske argumenter derfor generelt en accepteret måde at ræsonnere på i matematikundervisningen i visse sammenhænge. På den anden side er der også bred enighed om, at elevernes empiriske udforskning og argumentation ikke bør behandles i matematikundervisningen som et alternativ til eller en erstatning for matematiske beviser. En sådan praksis modsiger nemlig konventionelle forståelser omkring bevisførelse i matematik.
Udfordringen er derfor, hvordan dette grundlæggende kendetegn ved matematisk argumentation kan indgå i skolen på forskellige trin i indskolingen, mellemtrinnet, udskolingen og ungdomsuddannelserne.
Overordnet indeholder et ræsonnement tre forskellige karakteristika: (Kilde 4)
Et ræsonnement har desuden en social dimension. Det er vigtigt at tydeliggøre, at det, der ses som et overbevisende argument af én elev, ikke nødvendigvis er det for andre - det, der er lødige argumenter i indskolingen, er det ikke nødvendigvis på mellemtrinnet eller i udskolingen. Når eleverne arbejder med ræsonnementer i matematikundervisningen, er det hensigtsmæssigt at de argumenter, der anvendes, bygger på et fundament og en argumentationsmåde, der er accepteret i den pågældende klasse, dvs. er forståelig for den konkrete målgruppe. Ligesom det er hensigtsmæssigt at ræsonnementerne bliver kommunikeret med udtryksformer (repræsentationer), der er passende og kendt inden for elevernes begrebsmæssige rækkevidde.
Et ræsonnement, der kunne kvalificere som matematisk lødigt på mellemtrinnet, findes i denne episode fra en 5.-klasse. (Kilde 4)
Eleverne skulle omskrive potenser til tal i positionssystemet. I den forbindelse skulle de uden beregninger - bl.a. prøve at forudsige, hvad der ville blive det sidste ciffer i omskrivningen af 54 og argumentere for, at deres formodning er korrekt, uden at de nødvendigvis skulle udføre alle beregningerne.
En elev påstod, at det sidste ciffer ville blive 5.
Følgende samtale fulgte:
Harriet: "Når man ganger med 5, skal det altid ende med et 5 eller nul."
Theresa: "Men det skal være 5, for når du ganger 5 med 5, får du 5 [for det sidste ciffer]."
Martha: "Du ganger kvadratet på 5 med 5 igen og igen, og så vil du få 625."
Carl: "Du behøver ikke at gøre det. Det er let, det sidste ciffer vil altid være 5, fordi du altid ganger de sidste cifre på 5, og 5 gange 5 slutter altid med et 5-tal."
til: GRUNDSKOLE
emne: RÆSONNEMENTER
UDGIVET: 2021
Niss, M., & Jensen, T. H. (2002). Kompetencer og matematiklæring: Idéer og inspiration til udvikling af matematikundervisning i Danmark (Vol. 18). Danmark: Undervisningsministeriet.
Harel, G., & Sowder, L. (1998). Students’ proof schemes: Results from exploratory studies. American Mathematical Society, 7, 234-283
Hanna, G. (2000). Proof, explanation and exploration: An overview. Educational studies in mathematics, 44(1), 5-23.