Eksempel: Matematiske ræsonnementer på mellemtrinnet
I dette generiske eksempel arbejder eleverne med generaliseringer i opgaven 'Sekskant-tog'.
På mellemtrinnet lægges der i læseplanen op til, at der gradvis skal arbejdes mod en mere og mere formel tilgang til matematiske ræsonnementer. De fleste ræsonnementer vil dog stadig bygge på enten intuitive eller empiriske fundamenter og mere visuelle repræsentationer (fx baseret på specifikke optællinger, udregninger eller tegninger).
Nogle forskere foreslår, at overgangen fra mere intuitive eller empiriske ræsonnementer kan støttes gennem såkaldte generiske eksempler. (Kilde 1)
Det betyder, at elever får mulighed for at se generelle måder at argumentere på ved hjælp af nøje udvalgte eksempler. Et generisk eksempel kan således beskrives som ét eksempel, hvor man tænker på den generelle sammenhæng og opererer med et centralt og generaliserbart aspekt i den konkrete situation.
I det følgende beskrives et eksempel på en opgave, der udnytter idéen med det generiske eksempel til at få eleverne på mellemtrinnet til at arbejde med generaliseringer. Opgaven kaldes 'Sekskant-tog', og den giver elever mulighed for at begrunde en generel sammenhæng. (Kilde 2)
Opgave: Sekskant-tog
Mønsteret herunder er et 'tog', der består af sekskanter (figur 1). Det første tog i mønsteret består af en almindelig sekskant. Hvert efterfølgende tog tilføjes en ekstra sekskant. De første fire tog i mønsteret er vist nedenfor.
- Beregn omkredsen af hver af de første fire tog, og bestem derefter omkredsen af det tiende tog uden at tegne det.
- Lav en beskrivelse, der kan bruges til at beregne omkredsen af ethvert tog i mønsteret. Find gerne forskellige måder, du kan udregne (og begrunde) denne omkreds.
Der er lavet forskellige nedslag i elevers arbejde med denne opgave. (Kilde 2)
I denne tekst vil disse nedslag blive beskrevet med konstruerede udfoldninger til en sammenhængende beskrivelse.
Efter eleverne har fået udleveret opgaven, begynder de først i en undersøgende fase jf. ræsonnementscyklussen (figur 2), hvor flere skriver deres resultater ned i en slags tabel:
| Tog 1 | Tog 2 | Tog 3 | Tog 4 |
|---|---|---|---|
| 6 | 10 | 14 | 18 |
Imens eleverne tæller togenes omkreds, er der flere elever, der taler om, at der hele tiden bliver sat en ekstra sekskant på, men at der jo også forsvinder nogle af siderne i den sekskant, der sættes på.
- En elev siger:
"Der sættes hele tiden 5 ekstra på, når der tilføjes en sekskant."
Eleverne arbejder videre, og enkelte afprøver idéen med at gange med 5. Men de bliver hurtigt enige om, at det ikke rigtig passer. En anden elev laver en ekstra række i tabellen, hvor hun skriver, hvor meget talrækken stiger mellem de forskellige tog:
| Tog 1 | Tog 2 | Tog 3 | Tog 4 |
|---|---|---|---|
| 6 | 10 | 14 | 18 |
| 6 | 4 | 4 | 4 |
- Herefter siger hun til sin gruppe:
"Den stiger altså ikke med 5, men den stiger med 4, hver gang der kommer en ny vogn på, undtagen ved tog nr. 1, der er den jo steget med 6."
- Læreren opfordrer nu alle eleverne i de forskellige grupper til at indtænke dette i deres videre undersøgelser:
"Hvad betyder det, at rækken hele tiden stiger med 4?"
- En elev siger,
"at så må det være noget med 'plus 4', men det er der ikke enighed om... Hvad skal du så plusse de 4 til?... Det må være noget med at gange med 4."
- Efter noget tid udbryder en elev
"Man skal gange det med 4 og plusse 2 til, så passer det!"
Efter denne formulering af en hypotese udfordrer læreren eleverne til at undersøge dette forslag $(4n + 2)$ med flere togvogne. Flere elever prøver at tælle omkredsen, hvor der er flere togvogne, og der bliver enighed i klassen om, at formlen holder i alle deres tællinger.
- Efterfølgende vil læreren gerne vide, hvorfor denne formel overhovedet giver mening.
"Hvorfor giver det mening, at der skal ganges med 4, og hvor kommer de 2 fra?"
- Læreren udfordrer eleverne til at forklare og begrunde dette. I opsamlingen kommer eleverne med flere forskellige forklaringer - en af dem lyder:
"Når der bliver sat et ekstra vogn på kommer der altid 4 mere til - derfor skal der ganges med 4, men enderne er der fra start - derfor vil der altid være de 2 ekstra."
Afslutningsvis snakker de i klassen om, at den strategi, der handler om at se på, hvor meget den stiger, var en stor hjælp til løsningen af denne opgave, men at tegningen af togvognene var afgørende for argumentationen af formlen.
Læreren tydeliggør nu over for eleverne, at denne måde at generalisere eksemplet med talfølger også kan anvendes i andre talfølger.
Det generiske eksempel som mellemled i bevisførelsen
At anvende det generiske eksempel som mellemled mellem den empiriske og mere deduktive bevisførelse tjener ikke kun til at præsentere en bestemt formel eller bestemt talfølge, men det giver også en indsigt i, hvorfor formlen gælder for det enkelte objekt (opgave).
Elevernes generalisering af talfølger i dette eksempel skulle gerne være således, at analogien kan anvendes i andre tilfælde og derefter måske lettere kan opnås. I sidste ende kan eleverne sikkert ikke forestille sig noget muligt tilfælde af figurfølger, hvor analogien ikke kan anvendes. (Kilde 1)
Denne opgave illustrerer elevernes arbejdsproces, hvor de bevæger sig mellem de forskellige faser i ræsonnementscyklussen (figur 2). Det vil sige, at eleverne her først udforsker togvognenes omkreds og herefter kommer med en påstand, som dernæst udforskes igen. Processen kunne have taget en anden retning, hvis eleverne havde startet med at få præsenteret en hypotese, som dermed bliver genstand for udforskning, hvilket havde ført til en anden type udfordring.
I eksemplet her fortsatte processen med nye runder i ræsonnements-cyklussen, hvor den første forklaring blev et oplæg til diskussion i klassen og dermed også til videre udforskning, hvilket medførte, at processen fortsætter. Først efter den afsluttende formel blev undersøgt og forklaret, og der var enighed i klassen om en formel, der var holdbar, blev processen afsluttet med en afsluttende diskussion i klassen.
I opgaven er ræsonnementerne tæt koblet til en undersøgende tilgang til undervisningen, fordi både udforskning og hypoteser bliver vigtige elementer i både en undersøgende undervisning og i udviklingen af ræsonnementer. Man kan sige, at det er argumentationen, som kobler disse to sammen.
TIL OVERVEJELSE I FAGTEAMET
- Har I idéer til aktiviteter, der giver eleverne mulighed for at ræsonnere og generalisere på nogle måder, der ligner ovenstående eksempel?
- Hvordan tror I, jeres elever ville gribe løsningen af ovenstående opgave an?
til: GRUNDSKOLE - mellemtrin
emne: RÆSONNEMENTER
UDGIVET: 2021
Forfatter
Dorte Moeskær Larsen
Lektor, ph.d.
UCL Erhvervsakademi og Professionshøjskole
Udgiver
Temaer på matematikdidaktik.dk udvikles i tæt samarbejde mellem forskere og praktikere og udgives af NCUM.
Se redaktionen og vores redaktionelle retningslinjer
Kilder
Rowland, T. (1998). Conviction, explanation and generic examples. In Olivier, A., and Newstead, K. (Red.), Proceedings of the 22nd International Conference for the Psychology of Mathematics Education. Stellenbosch, S. Africa, University of Stellenbosch, 4, pp. 65–72.
Stylianides, G. (2008). An Analytic Framework of Reasoning-and-Proving. For the Learning of Mathematics, 28(1), 9-16. Lokaliseret d. 25. marts, 2021, på: www.jstor.org/stable/40248592