Matematiske ræsonnementer i grundskolen

Det særlige ved at ræsonnere i matematikfaget er, at det at argumentere deduktivt lægger op til nogle helt andre regler og kriterier for at afgøre, om noget er sandt eller ej, end dem, der bruges i hverdagen. Men også de empiriske argumenter giver store muligheder for at udforske omverdenen. Læs om ræsonnementets opbygning, og se et eksempel på et ræsonnement på mellemtrinnet.

Et ræsonnement kan ses som resultatet eller produktet af den proces, hvor elever opstiller og argumenterer for påstande eller hypoteser. Se også teksten om At ræsonnere matematisk i grundskolen.

Produktet er et argument eller en kæde af argumenter, elever formulerer for at retfærdiggøre en hypotese. (Kilde 1)

Matematiske ræsonnementer i grundskolen - produktet

Der kan være store forskelle på, hvilke argumenter elever anvender for at overbevise andre og store forskelle på, hvilke argumenter der skal til, for at elever føler sig overbevist.

I forskningen beskrives tre forskellige måder at overbevise på. (Kilde 2)

  • Empiriske argumenter er argumenter, hvor elever begrunder deres påstande ud fra et eller flere eksempler, som de selv har efterprøvet, der opfylder påstanden, eller som de har set demonstreret, der opfylder påstanden. Hvad enten det er af læreren, i lærebogen, af en anden elev eller i anden sammenhæng.
    Eksempel: Hvis elever fx ser på, om summen af to ulige tal er et ulige eller et lige tal, undersøger de ofte mange eksempler, fx $3 + 5 = 8$, $3 + 7 = 10$, $1 + 7 = 8$. Herefter kan de få til opgave at formulere en hypotese, der generaliserer deres fund, fx "Summen af to ulige tal giver altid et lige tal - det kan man se i mine eksempler". Sådanne undersøgelser kan både give elever mulighed for at blive aktivt engageret i at lave og teste generaliseringer, og de kan opleve glæden ved at opdage mønstre og regler.
  • Deduktive argumenter er argumenter, hvor eleverne skal mere end at ræsonnere på baggrund af eksempler. De skal nu argumentere logisk på baggrund af definitioner og/eller kendte sætninger for, at en hypotese er gyldig/sand for alle de tilfælde, den omfatter.
    Eksempel: Elever kan fx ift. eksemplet med hypotesen om, at summen af to ulige tal altid er et lige tal, opbygge en argumentationsrække ud fra en definition af ulige tal (at et ulige tal er et multiplum af 2 minus 1, sådan at $(2n - 1)$ repræsenterer følgen af de ulige naturlige tal, når n gennemløber de naturlige tal) i stedet for ’bare’ at vide, at 1, 3, 5, 7 er ulige tal.
  • Autoritative argumenter er ikke et egentligt matematisk argument, men det indfanger en tendens til at autoriteter, som fx en lærer, afgør, om en påstand er korrekt.
    Eksempel: Det kan være, når eleverne stoler på lærerens viden uden andre grunde end "Min lærer sagde det, så det må være korrekt". Eller hvis eleverne blindt tror på matematikbogens facitliste: "Det er korrekt, fordi det står der i facitlisten". Det skal her tydeliggøres, at en af hensigterne med undervisning i matematik netop er, at både elever og lærere arbejder hen imod ikke at anvende autoritative argumentationer i deres måder at overbevise sig selv og andre på.

Se flere eksempler på, at elever arbejder med forskellige tilgange til at argumentere i undervisningen:

Fra autoritative argumenter til mere matematiske deduktive argumenter

Det særlige ved at ræsonnere i matematikfaget er, at det at argumentere deduktivt lægger op til nogle helt andre regler og kriterier for at afgøre, om noget er sandt eller ej, end dem, der bruges i hverdagen og i andre discipliner. Fx i naturfag, hvor det ofte handler om at afprøve og teste hypoteser ift. fysiske genstande. Opgaven i matematikundervisningen er derfor netop, at elever skal opnå en forståelse for at adskille disse forskellige måder at argumentere på, og et af målene er at få eleverne til at gå fra især de autoritative og til dels de empiriske til de mere deduktive og matematiske argumenter. (Kilde 3)

Det er imidlertid vigtigt at påpege, at især de empiriske argumenter hænger tæt sammen med virkeligheden og giver store muligheder for at udforske omverdenen - også i matematik. Empiriske undersøgelser kan netop hjælpe eleverne med at organisere deres matematiske observationer i meningsfulde matematiske generaliseringer, så de får en baggrund for efterfølgende evt. at gå i gang med at opstille mere deduktive matematiske argumentationsrækker. Det skal også fremhæves, at det især på de yngre klassetrin netop er et mål for undervisningen, at elever også anvender og udvikler empiriske argumenter.

På den ene side er anvendelsen af empiriske argumenter derfor generelt en accepteret måde at ræsonnere på i matematikundervisningen i visse sammenhænge. På den anden side er der også bred enighed om, at elevernes empiriske udforskning og argumentation ikke bør behandles i matematikundervisningen som et alternativ til eller en erstatning for matematiske beviser. En sådan praksis modsiger nemlig konventionelle forståelser omkring bevisførelse i matematik.

Udfordringen er derfor, hvordan dette grundlæggende kendetegn ved matematisk argumentation kan indgå i skolen på forskellige trin i indskolingen, mellemtrinnet, udskolingen og ungdomsuddannelserne.

Et ræsonnements opbygning

Overordnet indeholder et ræsonnement tre forskellige karakteristika: (Kilde 4)

  1. Et ræsonnements argument bygger på et fundament. Dette fundament angår udgangspunktet for argumentationen, dvs. hvad der er enighed om i klassen forvejen. Det kan være elevers erfaringer ud fra eksempler (jf. empiriske argumenter), eller det kan være kendte definitioner eller tidligere fundne resultater (jf. deduktive argumentationer).
  2. Et ræsonnement afhænger af måden, der argumenteres på. Argumenter kan være opbygget på forskellige måder. Det kan eksempelvis være udtømmende beskrivelser og systematiske opskrivninger af alle muligheder. Det kan være modstridsbeviser eller den klassiske hvis-så- argumentation.
  3. Et ræsonnement har en repræsentation. Den måde, et argument eller en kæde af argumenter bliver fremført, vil altid være ud fra en repræsentation. Det kan være en mundtlig repræsentation, en algebraisk repræsentation, en mere visuel repræsentation eller i elevernes eget hverdagssprog.

Et ræsonnement har desuden en social dimension. Det er vigtigt at tydeliggøre, at det, der ses som et overbevisende argument af én elev, ikke nødvendigvis er det for andre - det, der er lødige argumenter i indskolingen, er det ikke nødvendigvis på mellemtrinnet eller i udskolingen. Når eleverne arbejder med ræsonnementer i matematikundervisningen, er det hensigtsmæssigt at de argumenter, der anvendes, bygger på et fundament og en argumentationsmåde, der er accepteret i den pågældende klasse, dvs. er forståelig for den konkrete målgruppe. Ligesom det er hensigtsmæssigt at ræsonnementerne bliver kommunikeret med udtryksformer (repræsentationer), der er passende og kendt inden for elevernes begrebsmæssige rækkevidde.

 

Eksempel på et ræsonnement på mellemtrinnet

Et ræsonnement, der kunne kvalificere som matematisk lødigt på mellemtrinnet, findes i denne episode fra en 5.-klasse. (Kilde 4)

Eleverne skulle omskrive potenser til tal i positionssystemet. I den forbindelse skulle de uden beregninger - bl.a. prøve at forudsige, hvad der ville blive det sidste ciffer i omskrivningen af 54 og argumentere for, at deres formodning er korrekt, uden at de nødvendigvis skulle udføre alle beregningerne.

En elev påstod, at det sidste ciffer ville blive 5.

Følgende samtale fulgte:

Harriet: "Når man ganger med 5, skal det altid ende med et 5 eller nul."

Theresa: "Men det skal være 5, for når du ganger 5 med 5, får du 5 [for det sidste ciffer]."

Martha: "Du ganger kvadratet på 5 med 5 igen og igen, og så vil du få 625."

Carl: "Du behøver ikke at gøre det. Det er let, det sidste ciffer vil altid være 5, fordi du altid ganger de sidste cifre på 5, og 5 gange 5 slutter altid med et 5-tal."

  • Fundamentet i Carls argument skal forstås i sammenhæng med standardmultiplikationsalgoritmen: Altså hvis man har en liste over femmere og udfører multiplikationen fra venstre mod højre, således at du hele tiden ganger dit produkt med fem, så er det sidste ciffer for hvert nyt produkt 5. Carls argument behandler her det generelle tilfælde og er derfor en uudviklet version af den mere formelle deduktive argumentation.
  • Måden, Carl argumenterer, på er ikke en (formel) matematisk induktionsmetode, men Carl anvender ræsonnement ved gentagelse, hvilket ligger i hjertet af induktionsmetoden. 
  • Repræsentationen er ikke symbolsk eller algebraisk, men argumentet repræsenteres forståeligt ved hjælp af et mundtligt sprog.

TIL OVERVEJELSE I FAGTEAMET

  • Har I gode idéer til, hvordan I kan arbejde med ræsonnementer i jeres egne klasser?
  • Hvad kan være hensigtsmæssige fundamenter, måder og repræsentationer i jeres elevers ræsonnementer? 
til: GRUNDSKOLE 
emne: RÆSONNEMENTER

Forfatter

Dorte Moeskær Larsen

Lektor, ph.d.
UCL Erhvervsakademi og Professionshøjskole


Del tema Tag med

Udgiver

Temaer på matematikdidaktik.dk udvikles i tæt samarbejde mellem forskere og praktikere og udgives af NCUM.
Se redaktionen og vores redaktionelle retningslinjer

Kilder

  1. Niss, M., & Jensen, T. H. (2002). Kompetencer og matematiklæring: Idéer og inspiration til udvikling af matematikundervisning i Danmark (Vol. 18). Danmark: Undervisningsministeriet.

  2. Harel, G., & Sowder, L. (1998). Students’ proof schemes: Results from exploratory studies. American Mathematical Society7, 234-283

  3. Hanna, G. (2000). Proof, explanation and exploration: An overview. Educational studies in mathematics44(1), 5-23.

  4. Stylianides, A. L. (2007). Proof and proving in school mathematics. Journal for research in Mathematics Education38(3), 289-321.

Del tema Tag med