At ræsonnere matematisk i grundskolen

Når elever ræsonnerer i matematik, kan det beskrives som den proces, hvor de undersøger, opstiller hypoteser og argumenterer for matematiske påstande, resultater eller mulige sammenhænge. Læs om ræsonnementsprocessen, og se et eksempel på elever, der arbejder problemløsende i ræsonnementscyklussen.

Der er bred enighed om, at ræsonnementer og det at ræsonnere er en vigtig del af matematikundervisning. For nogle udgør det at ræsonnere ligefrem 'sjælen' af matematikundervisningen. (Kilde 1)

At ræsonnere anses ofte som det, der giver elever mulighed for at se mening i matematikken og for at komme til at stole på deres egen matematiske dømmekraft.

Begrundelser for vigtigheden af at ræsonnere i matematik

I forskningen beskrives flere forskellige begrundelser for vigtigheden af at ræsonnere i matematikundervisningen. For det første er det vigtigt, at elever forstår, hvad der kendetegner forskellige matematiske ræsonnementer, således at de selv kan både udtænke og gennemføre, følge og forholde sig til disse. Men matematiske ræsonnementer har også en anden vigtig begrundelse i matematikken. Matematiske ræsonnementer hjælper også med forklaringer på, hvorfor en påstand er sand - de kan dermed også skabe mening og sammenhæng i forståelsen af matematiske områder. (Kilde 2)

Når elever ræsonnerer i matematik, kan det beskrives som den proces, hvor de både opstiller og argumenterer for matematiske påstande, resultater eller mulige sammenhænge. (Kilde 3)

Det kan fx være, at elever undersøger forskellige problemstillinger, som giver anledning til, at de formulerer og opstiller hypoteser og påstande om forskellige sammenhænge, hvorefter de forsøger at udfordre eller retfærdiggøre hypoteserne ved hjælp af matematiske argumenter og evt. når frem til, under hvilke betingelser de er holdbare.

Et ræsonnement kan ses som resultatet eller produktet af denne proces, dvs. et argument eller en kæde af argumenter, elever formulerer for at retfærdiggøre påstanden eller hypotesen. (Kilde 3)

Læs også om Matematiske ræsonnementer i grundskolen

 

At ræsonnere matematisk - processen

I grundskolen kan elever få mulighed for at ræsonnere matematisk i mange forskellige situationer. Det kan fx være, når de arbejder undersøgende eller i forbindelse med løsningen af matematiske problemer. Det er vigtigt at sætte fokus på, at den ræsonnerende proces allerede kan starte i det arbejde, der ligger forud for, at eleverne opstiller deres hypoteser eller påstande. Det, at eleverne selv kommer med idéer til løsninger på et problem, bliver i denne sammenhæng essentielt, og denne idégenereringsfase betragtes som en vigtig del af ræsonnementsprocessen. (Kilde 4)
Processen kan beskrives som en ræsonnementscyklus, som beskrevet i figur 1.  

Ræsonnementscyklussen består af 3 faser 

  1. Undersøgelsesfasen, hvor elever undersøger en faglig situation. 

    Eksempel: Elever undersøger, hvordan man kan regne arealet ud af en cirkel ved at klippe en cirkel ud i mange små 'lagkagestykker' og placere dem i en lang række. (se figur 2)
  2. Formuleringsfasen, hvor elever opstiller en hypotese eller påstand.

    Eksempel: Eleverne fortæller om deres opdagelser med 'lagkagestykkerne', der kan have form som hypoteser eller påstande. Det kan fx være en elev, der siger: "Hvis lagkagestykkerne bliver meget små, vil rækken næsten få form som et rektangel". "Den ene side af rektanglet er lige så lang som halvdelen af cirklen".
  3. Argumentationsfasen, hvor hypotesen eller påstandens holdbarhed begrundes, og der udføres en argumentation.

    Eksempel: Eleverne bidrager til, at klassen i fællesskab formulerer en kæde af argumenter, som kan begrunde formlen til beregning af en cirkels areal:

    1. Jo flere stykker, cirklen er inddelt i, jo mere kommer figuren (figur 2) til at ligne et rektangel.
    2. Da hvert af stykkerne har en sidelængde, der svarer til cirklens radius, så vil rektanglets bredde blive cirklens radius.
    3. Rektanglets længde består af en masse små buer, der tilsammen svarer til halvdelen af cirklens omkreds.

Pointen i denne cyklus er, at den matematiske argumentation ikke skal løsrives fra de andre to faser, men indgå som en del af helheden for at gøre processen meningsfuld for eleverne. Hensigten er således, at eleverne skal opleve, at den opstillede påstand eller hypotese er relevant ud fra egne undersøgelser, inden de begynder at opstille argumentationen. Eleverne ræsonnerer på den måde i en vekselvirkning mellem en mere induktiv undersøgelse og evt. en mere deduktiv tilgang til selve argumentationen.

 

Et eksempel på elever, der arbejder problemløsende i ræsonnementscyklussen

Elever i en 4.-klasse skal undersøge, hvor stor vinkelsummen er i en trekant.

Den undersøgende fase

Eleverne starter med at måle mange forskellige typer af trekanters vinkler og lægge trekanternes tre vinkler sammen. Eleverne kommer frem til summer, der går lige fra 170 grader til 190 grader. Men der er en overvægt af målinger, der ligger tæt på 180 grader.

Formulering af påstand 

I klassen bliver de enige om, at vinkelsummen højst sandsynligt må være 180 grader.

Den undersøgende fase (igen) 

Eleverne afprøver nu deres hypotese i geometriprogrammet GeoGebra, hvor de lader programmet måle vinklerne på deres trekanter, mens de på skift trækker i hjørnerne for at afprøve mange forskellige trekanter. Deres hypotese gælder stadig.

Argumentation

Eleverne argumenterer nu ud fra deres indsamlede data for, at deres hypotese holder.

Mange elever er tilfredse med dette resultat, men læreren udfordrer efterfølgende eleverne videre: 

"Kan vi være sikre på, at det altid vil være sådan?"

"Kunne vi ikke have glemt en bestemt type trekant?"

(Cyklussen fortsætter derefter).

TIL OVERVEJELSE I FAGTEAMET

  • Har I gode idéer til aktiviteter, der kan give jeres elever mulighed for at arbejde i alle faserne af ræsonnementscyklussen?

til: GRUNDSKOLE 
emne: RÆSONNEMENTER

Forfatter

Dorte Moeskær Larsen

Lektor, ph.d.
UCL Erhvervsakademi og Professionshøjskole


Del tema Tag med

Udgiver

Temaer på matematikdidaktik.dk udvikles i tæt samarbejde mellem forskere og praktikere og udgives af NCUM.
Se redaktionen og vores redaktionelle retningslinjer

Kilder

  1. Schoenfeld, A. H. (2010). Series editor’s foreword: the soul of mathematics, In D.A. Stylianou M. L. Blanton & E.J. Knuth (Eds), Teaching and learning proof across the grades: a k-16 perspective (pp. xii-xvi). New york/London: routledge.
  2. Hanna, G. (2000). Proof, explanation and exploration: An overview. Educational studies in mathematics44(1), 5-23.
  3. Niss, M., & Jensen, T. H. (2002). Kompetencer og matematiklæring: Idéer og inspiration til udvikling af matematikundervisning i Danmark (Vol. 18). Danmark: Undervisningsministeriet.
  4. NCTM. (2008). Navigating through reasoning and proof in grades 9-12. Reston, VA: NCTM

Del tema Tag med