Opgavejagt

Nye opgaver i matematikundervisningen findes ofte via de konkrete projekter, eleverne arbejder med i deres erhvervsfaglige undervisning, i samarbejde med underviseren i det pågældende fag. Og i jagten på nye opgaver kan det være hensigtsmæssigt at skabe eksemplariske opgaver, hvor opgavernes form og indhold bliver genkendelige i sprog, teknik og tema. Læs om en model for læring: Fremspirende modellering (Emergent Modelling), der er baseret på at støtte elevernes gradvise matematisering af virkelige fænomener, som de enten har erfaringer med, eller som de kan gøre sig konkrete erfaringer med i undervisningen.

Jagten og refleksionen

Det er essentielt, når vi søger efter nye opgaver (eller temaer til at understøtte eksisterende opgaver), at vi søger inspiration i de konkrete projekter, eleverne arbejder med i deres erhvervsfaglige undervisning. Dette skal desuden ske i et samarbejde med en underviser for det pågældende fag. Der kan i det samarbejde skabes eksemplariske opgaver, hvor opgavernes form og indhold bliver genkendelige i sprog, teknik og tema, for derigennem at skabe virkelighed (fagfagligt, virkeligt og med en god chance for bred transfer til andre situationer).

Læs mere om transfer i Modeller for samspil mellem matematik og erhvervsfag.

En vigtig pointe er altså, at vi som matematikundervisere ikke skal spørge om, hvilken matematik de bruger inden for et fag (abstrakt og generisk), men spørge ind til, hvilke opgaver og aktiviteter eleverne rent praktisk udfører som en del af den faglige undervisning (fagligt og virkeligt) og så analysere, hvordan matematik indgår eller kan indgå heri. Det handler om at finde eksemplariske eksempler for faget, der kan fungere som fundament for broer til matematikken. 

Fremspirende modellering

Modellen nedenfor (figur 1) viser, hvordan virkelig livserfaringer og praktiske eksempler fra håndværk eller andet erhvervsfag kan være en base for elevernes matematiske viden og færdigheder. Denne model for læring kaldes fremspirende modellering (Emergent Modelling) og henviser til en læringsteori, der ser viden som en personlig konstruktion baseret på egne erfaringer, men guidet af læreren og påvirket af socialt samspil i klassen. (Kilde 1 og 2)

Modellen er baseret på at støtte elevernes gradvise matematisering af virkelige fænomener, som de enten har erfaringer med, eller som de kan gøre sig konkrete erfaringer med i undervisningen.

Figur 1: Fremspirende modellering med udgangspunkt i en parkeringsplads

Ønsket er, at eleverne ender med at mestre toppen af isbjerget. Der er imidlertid stor forskel på om der tages udgangspunkt i traditionel undervisning, hvor der oftest startes med det matematiske emne først for derefter at anvende det på noget virkeligt. For fremspirende modellering er endemålet en almen matematisk kunnen, og starten er elevernes erfaringer af noget virkeligt. I fremspirende modellering er udgangspunktet at lade eleverne opleve, observere og undersøge et konkret fænomen eller problem for derigennem at skabe broen til en generisk og almen matematisk viden.

1. Modellens 'stueetage' er elevernes oplevelser og erfaringer fra virkeligheden.
2. I modellens 'første sal' bliver disse repræsentationer til objekter i sig selv, hvilket kan sammenlignes og begrundes som 'repræsentationer af … (oplevelser og erfaringer)'.
3. Modellens 'anden sal' er mere strukturerede modeller for disse oplevelser og erfaringer fra virkeligheden. Se også illustration af broen som dobbeltrettet forbindelse.
4. På den 'øverste etage'/ 'toppen af isbjerget' er disse modeller formuleret i generisk matematisk sprog.

Den grundlæggende idé er, at det vil gavne erhvervsskoleelever at skabe en veldesignet læringsbane fra stueetagen til toppen, der repræsenterer matematiske færdigheder og kompetencer, som er relevante i forhold til elevernes erfaringer og oplevelser med virkelige problemer, og som er centrale for deres videre matematiklæring. Det er elevernes konkrete oplevelser og erfaringer af virkelighed, der er fundamentet til at skabe broen til almene matematiske færdigheder og kompetencer.

Fra uformel repræsentation til matematisk formel kunnen

Modellen nedenfor (figur 2) beskriver den samme isbjergmodel af elevens læring som figur 1. Derudover er den et eksempel på, hvordan forskellige elever tilgik en konkret opgave. Med denne udgave af modellen tager vi udgangspunkt i grader af formelle og uformelle repræsentationer af virkeligheden i matematikundervisningen.     

Figur 2: Formel vs. Uuormel. Figuren viser, hvordan eleverne kan bruge uformelle repræsentationer af matematik til en formel kunnen.

Til forskel fra figur 1, hvor vi anvender elevernes egne erfaringer, tager vi her udgangspunkt i at give eleverne erhvervsfagligt tematiserede opgaver. Her er fundamentet til at skabe en bro for/til en almen matematisk færdighed igen, hvad eleven vil opfatte som virkeligt, altså uformelle repræsentationer, som er genkendelige fra den erhvervsfaglige undervisning. Særligt hvis et matematisk emne umiddelbart ikke er anvendeligt ift. erhvervsfaget, kan uformelle repræsentationer anvendes til at skabe broen. Det kan hjælpe eleverne med at opleve et behov for mestring.

Brug modellen til niveauinddeling

Når der i opgavejagten er fundet gode opgaver for eleven, kan modellen bruges til niveauinddeling i undervisningen og til at placere opgaver ift. lærerens tidsplan. Læreren kan på den måde korrigere aktiviteter og opgaver på elevens læringsbane og skabe bro ud fra, om eleven har brug for uformelle/virkelige eksempler, eller om eleven kan komme videre via repræsentationer/modeller og præformelle eksempler.