Modeller for samspil mellem matematik og erhvervsfag

I matematikdidaktisk forskning arbejdes der med at udvikle modeller, der kan bruges til at forstå og beskrive samspillet mellem matematik og erhvervsfag. På erhvervsskolerne bruges metaforen 'bro' ofte til at beskrive samspillet mellem matematikken og erhvervsfaget. Læs om, hvordan bro-begrebet kan anvendes som model til at gøre matematik til en alsidig kompetence hos eleven, der ikke alene anvendes på den konkrete erhvervsfaglige opgave, men også skaber en bro til øget mestring.

Samarbejde om udvikling af undervisning

De fleste undervisere i matematik på erhvervsskolerne producerer selv opgaver og indhold til matematikundervisningen og deler opgaver og materialer. Og der er mange gode grunde til at arbejde med at skabe forbindelse mellem matematik og relevante erhvervsfaglige problemstillinger.

Nedenstående model sigter mod at inspirere til udvikling og deling af opgaver, der skaber samspil mellem elevernes erhvervsfaglige praksislæring og deres matematiklæring. Det kan ske ved at finde aktiviteter og opgaver, der er typiske og eksemplariske for, hvordan matematik anvendes i erhvervsfaglig praksis. Derved kan elevernes motivation for matematik styrkes, og deres læring i matematik kan bidrage til deres erhvervsfaglige kvalificering.

Sådanne opgaver og aktiviteter kan findes og skabes i samarbejde mellem underviserne i matematik og underviserne for et erhvervsfag. Samarbejdet kan tage udgangspunkt i elevernes erhvervsfaglige arbejde og vise, hvordan praksis kan beskrives og kvalificeres ved hjælp af matematik. Der kan også tages udgangspunkt i centrale begreber og metoder fra matematik, som kan forbindes til elevernes arbejde i erhvervsfaglige sammenhænge. I begge tilfælde er samarbejde mellem undervisere i matematik og erhvervsfag vigtig. Herved kan både underviser i matematik og fagunderviser drage nytte af elevens faglige og matematiske kunnen i undervisningen.

Samspil mellem matematik og erhvervsfag

Både for lærere og elever skaber praksis i undervisningen opfattelser af samspillet mellem matematik og erhvervsfag, og disse opfattelser virker tilbage på praksis. I matematikdidaktisk forskning arbejdes der med at udvikle modeller, der kan bruges til at forstå og beskrive samspillet. Opfattelserne og modellerne kan beskrives og forstås som forskellige metaforer for samspillet. Sigtet her er at præsentere og diskutere de forskellige synspunkter og modeller til at hjælpe lærere og skoler med at udvikle og anvende opgaver og aktiviteter, der kan fremme samspillet mellem matematik og erhvervsfag. Vi lægger op til refleksion over de enkelte synspunkter/modeller/metaforer, og hvad de tilbyder i forhold til at forstå udfordringen i matematikundervisningen og elevens behov for kobling til erhvervsfaglig praksis.

Der skal skabes en 'bro'

På erhvervsskolerne bruges metaforen 'bro' ofte til at beskrive samspillet mellem matematikken og erhvervsfaget. Vi siger for eksempel, at der skal bygges bro mellem matematikundervisningen og undervisningen i erhvervsfagene eller mellem matematikken og elevernes virkelighed.

Broen som ensrettet forbindelse

Figur 1: Ensrettet broforbindelse

Udgangspunktet herfor er, at mange elever oplever, at matematikundervisningen måske nok er vigtig for, at de kan gennemføre deres uddannelse, men at det, der foregår i matematikundervisningen er isoleret fra og uden betydning for deres kommende erhverv, eller liv i øvrigt.

Den situation er repræsenteret i billedet til højre, hvor matematik og elevernes virkelighed i udgangspunktet er to adskilte øer. Matematikundervisningen og elevernes virkelighed betragtes som øer, hvor der via en 'broforbindelse' kan ske overførsel af matematiske færdigheder, viden og kompetencer fra matematikundervisningen til elevernes virkelighed.  

Etablering af en 'broforbindelse' kan i denne sammenhæng betyde, at man i matematikundervisningen søger at tydeliggøre, hvor elevernes matematiske færdigheder, viden og kompetencer kan overføres og anvendes i deres kommende erhverv og i deres hverdags- og samfundsliv.

Den forståelse af samspillet, der er repræsenteret i billedet (figur 1), lægger op til at opfatte 'broforbindelsen som ensrettet'.

Udgangspunktet er indholdet i matematikundervisningen, og udfordringen er, at eleverne skal opleve, at matematiske færdigheder, viden og kompetencer kan bruges i erhvervsfaglige sammenhæng og i livet uden for matematikundervisningen i det hele taget.    

Broen som dobbeltrettet forbindelse

Som grundlag for udvikling af opgaver og aktiviteter, der styrker forbindelsen mellem matematik og erhvervsfag er der imidlertid en væsentlig pointe i en dobbeltrettet broforbindelse som vist i billedet nedenfor (figur 2).

Her er broen model for, hvordan der i erhvervs­uddannelses-sammenhæng kan skabes en dobbeltrettet broforbindelse mellem erhvervsfaglige praksisser og matematikken. Erhvervsfaglig praksis kan således også være udgangspunktet for etablering af forbindelse til matematikken. Autentiske erhvervsfaglige kontekster og problemer kan være motiverende for eleverne og samtidig støtte deres udvikling af matematiske færdigheder og kompetencer – i særdeleshed problembehandlings- og modelleringskompetencer. Som grundlag for tværfagligt samarbejde er det en kvalitet ved modellen, at udvikling af opgaver og temaer kan bidrage til at kvalificere undervisningen i såvel matematik som erhvervsfag.

Sigtet er ikke, at al undervisning i matematik skal tilrettelægges som praktisk relevant eller direkte anvendelige opgaver, men at opgaverne skal bruges til at skabe en bro til en mere generisk matematik og en mere alsidig matematisk kompetence i eleven, så eleven kan drage nytte af sine matematiske kompetencer i flere sammenhænge end det erhvervsfaglige. Ved at anvende metaforen 'en bro' (transfer) til at beskrive undervisning, lægger vi vægt på, at undervisning i matematik for den store majoritet af erhvervsskoleelever bliver en bro til øget mestring af elevens erhvervsfag. En faglig eksemplarisk opgave kan for eleven blive et vidnesbyrd om nødvendigheden af sine matematiske kompetencer.  

Fra abstrakt til konkret

Teoretisk kan man forstå bevægelserne på broen i hver sin retning som henholdsvis en abstraktionsproces og en konkretiseringsproces. I bevægelsen fra den erhvervsfaglige praksis til en matematisk praksis udføres en matematiseringsproces, hvor der ses bort fra en række træk i den erhvervsfaglige kontekst, og hvor der fokuseres på størrelser og sammenhænge, der kan beskrives matematisk. Bevægelsen i den modsatte retning er en konkretisering af matematiske sammenhænge, hvor begreber, repræsentationer og beregninger får mening i den erhvervsfaglige kontekst. I et undervisningsforløb kan de to processer naturligvis vekselvirke. Ved udvikling af opgaver og aktiviteter er der imidlertid en pointe i at være bevidst om, hvilken retning man ønsker, skal være styrende for udvikling af en opgave eller aktivitet.

Opdelingen i de to retninger udgør en vigtig dimension ved udvikling af opgaver og temaer, der sigter på at skabe forbindelse mellem matematik og erhvervsfag i erhvervsuddannelserne. En anden vigtig dimension angår, hvor specifikt der bygges op eller refereres til en erhvervsfaglig kontekst. De erhvervsfaglige spørgsmål, der arbejdes med, kan være mere eller mindre generiske. I forhold til denne dimension er der en didaktisk afvejning mellem, i hvilken grad der arbejdes med autentiske eksempler, som jo typisk er specifikke for et bestemt erhverv, i forhold til at arbejde med mere generiske eksempler, som er relevante i mange forskellige erhverv.

Begge typer af eksempler er beskrevet i Opgavejagt.       

De to dimensioner er sammenfattet i modellen i nedenfor (figur 3). Herved dannes fire kvadranter, der karakteriserer forskellige typer af opgaver og temaer i relation til at skabe forbindelse mellem matematikundervisning og erhvervsfag. I figuren bruger vi ordet 'virkelighed' som modsætning til abstraktion, da dette begreb typisk bruges af erhvervsskolelærere, alternativt kan ordet 'konkret' anvendes.

Figur 3: To dimensioner i udviklingen af opgaver og temaer.  

Modellen kan bruges til at anlægge et syn på vores egne opgaver og temaer, som anvendes i undervisningen, og den kan danne grundlag for samarbejde mellem undervisere i matematik og erhvervsfag om udvikling af opgaver og temaer. Den kan også bruges som udgangspunkt til at tale med eleverne om, hvordan de opfatter forskellige opgaver og temaer i forhold til de to dimensioner i modellen.

Målet er at udvikle opgaver, der belyser et virkeligt behov for brug af matematik inden for et erhvervsfag. Samtidig skal opgaven gøre det muligt for eleverne at arbejde inden for zonen for deres nærmeste udvikling i matematik. Opgavens narrativ skal også helst appellere til elevernes lyst til at mestre deres fag.

Generisk forståelse og mestring af matematikken

Med 'et virkeligt behov' mener vi, at eleven selv ser elementer af matematik som nødvendig for at mestre et fag, samt at fagets aktører (undervisere, arbejdsgivere, kollegaer m.fl.) har forventninger til matematiske aspekter til elevens mestring af faget. Det, at eleven kan genkende form/figurer, tegninger, instruktioner, sprog og/eller principper fra faglige discipliner, gør, at eleverne oplever et reelt behov for matematik. Det kan også give mulighed for, at opgaverne i matematikundervisningen kan blive eksemplariske for eleven, og at de kan danne grundlag for en mere generisk forståelse af, hvordan matematikken kan anvendes i erhvervsfaglige sammenhænge.

Aktiviteter og opgaver kan derfor kategoriseres inden for de fire kvadranter (figur 3), hvorved lærerne på skolen kan diskutere, hvilken slags transfer der er brug for til at understøtte elevens mestring inden for både matematikken og de erhvervsfaglige discipliner.

Der er tale om en form for imitation af elevens fag i matematikundervisning, hvor vi kan bruge metaforerne 'ø' og 'bro' som en hjælp i det tværfaglige samarbejde til at belyse overgange til erhvervsfaglige matematisk undervisning. En ren praktisk matematikundervisning er nok ikke ønskelig, da de erhvervsfaglige discipliner sandsynligvis vil overtage elevens fokus frem for den matematiske disciplin. Men det at opgavers genstand, tema og/eller narrativ er tydeligt imiteret ift. den erhvervsfaglige disciplin, eleven enten ved, at han/hun skal indgå i eller kan forestille sig at indgå i, skaber både motivation og behov for mestring.