Eksempel: Undersøgende aktivitet om brøker - 4. og 5. klasse

 

I dette eksempel på undersøgende matematikundervisning skal eleverne sammenligne størrelsen af forskellige brøker. Den konkrete situation handler om, at de skal dele et antal sandwich i klassen i forbindelse med en klassetur.

Aktiviteten er afprøvet i en amerikansk 4.- og 5. klasse i forbindelse med et forskningsprojekt om introduktion af brøker. Eleverne har hidtil kun arbejdet ganske lidt med brøker og har derfor kun en svag begyndende forståelse af brøkbegrebet. De har derfor heller ikke umiddelbart faglige redskaber til at løse problemet, men må undersøge og eksperimentere for at finde løsninger. (Kilde 1)

Opgave: Deling af sandwich

Idéen med aktiviteten er at styrke elevernes forståelse af brøkbegrebet ved at behandle brøker i en meningsfuld sammenhæng. Eleverne skal bruge den konkrete situation til at ræsonnere og argumentere sig frem til løsninger. De kan støtte deres tænkning med tegninger og brøker, især stambrøker.    

AKTIVITETENS FAGLIGE FOKUSPUNKTER
  • Sammenligning af to brøkers størrelse:
    • Sammenligning af to brøker med samme nævner
    • Sammenligning af to brøker med samme tæller
    • Tællers og nævners betydning for en brøks størrelse.

1. Iscenesættelse

Læreren iscenesætter aktiviteten ved at fortælle en historie:

For nogle år siden havde jeg en anden 4.-klasse. Vi skulle på en tur rundt og
besøge forskellige steder i New York. Klassen var opdelt i grupper, som skulle
besøge forskellige steder i New York. Jeg fik kantinen til at lave sandwich til
grupperne. Kantinen lavede 17 store sandwich til de 22 elever.
Der var en forælder til hver gruppe, alt var fint. Desværre var der en forælder, der blev syg, så jeg måtte slå to grupper sammen.

Her er grupperne:

  • Gruppe 1 skulle til Museum of Natural History (MNH). Der var 4 elever, de fik 3 sandwich.  Figur 1, forløb om brøker
  • Læreren viser et A3-ark. Hun har lavet tilsvarende plakater, der illustrerer situationen i de følgende grupper. (Figur 1)
  • Gruppe 2 skulle til Museum of Modern Art (MOMA). Der var 5 elever. Da der var en ekstra elev, fik de en ekstra sandwich, så de fik 4 sandwich.
  • Gruppe 3 var de to grupper, som jeg tog. Vi skulle til Ellis Island og Statue of Liberty. Der var 8 elever, vi må hellere give dem 7 sandwich.
  • Gruppe 4 skulle til Planetariet. Der var 5 elever, og de fik de 3 sandwich, der var tilbage.

 

Da vi kom hjem, diskuterede vi, om fordelingen af sandwich var retfærdig. Det skal I hjælpe med at svare på. Var fordelingen af sandwich retfærdig? Jeg er ikke helt sikker.

For at læreren kan være sikker på, at alle elever har forstået problemet, skal eleverne først diskutere problemet parvis i nogle få minutter. Herefter diskuterer de i klassen. Læreren forsøger at få eleverne til at argumentere for deres udsagn ved at spørge: "Hvordan ved du det?" og "Hvorfor er det rigtigt?"

På et tidspunkt siger en elev:

"Men også fordi der på MOMA er 5 elever og 4 sandwich, og på Planetariet er der 5 elever og 3 sandwich."

Læreren griber dette udsagn, og spørger, i hvilken gruppe eleverne helst vil være. Alle elever er enige om, at eleverne på MOMA får mest. Fordelingen af sandwich er derfor ikke retfærdig.

Herefter siger en elev:
"Hvis Planetariet fik endnu en sandwich, vil det hele være fair. Alle ville have én sandwich mindre."

Læreren svarer, at det er hun ikke helt sikker på, men nu skal eleverne undersøge problemet.

Det skal de gøre ved at svare på to spørgsmål, som hun skriver op på tavlen:    

  1. Hvor meget af en sandwich fik hver elev i de forskellige grupper?
  2. I hvilken gruppe fik eleverne mest?

 

2. Undersøgelse

Eleverne arbejder i grupper på 2-3 elever. Alle grupper får udleveret et stort ark papir, hvor de skal tegne og skrive deres løsning.

Klassen har tidligere arbejdet med stambrøker, så de fleste elever bruger stambrøker som udgangspunkt. Når en sandwich fx deles i 5 stykker, er hvert stykke $\frac{1}{5}$ af en sandwich.

De fleste elever skriver også $\frac{2}{5}$, når der er 2 af disse stykker.

Eleverne har ikke lært at addere brøker med forskellige nævnere, men skriver $\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$ og ræsonnerer sig frem til, at det er mere end $\frac{1}{2} + \frac{1}{5}$ , fordi "stykkerne er større, når en sandwich er skåret i 4 stykker, end når den er skåret i 5 stykker."  

Eleverne bruger forskellige metoder til at afgøre, hvor meget hver elev i grupperne får. Eksempler på metoder:

  • Gentagen halvering. Hver elev får en halv sandwich. Herefter halvdelen af en halv. Metoden fortsættes, til stykkerne kan fordeles, eller til man til sidst må dele det sidste stykke i lige så mange stykker, som der er elever.
  • Alle sandwich skæres i lige så mange stykker, som der er elever. Alle elever får et stykke fra hver sandwich.


Figur 2, forløb om brøkerNår eleverne skal afgøre, i hvilken gruppe eleverne får mest sandwich, er de nødt til at ræsonnere og argumentere for deres løsninger. Eksempler på forskellige ræsonnementer:

  • Når en halv sandwich bliver skåret i 5 lige store stykker, er det det samme som at skære en hel sandwich i 10 lige store stykker, så hvert stykke er $\frac{1}{10}$. (Figur 2)
  • Det er bedre at få $\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$ (gruppe 1) end det er at få $\frac{1}{2} + \frac{1}{10}$ (gruppe 4), fordi $\frac{1}{4}$ er mere end $\frac{1}{10}$.
  • Jo større stykke hver elev mangler i at få en hel sandwich, jo mindre får de (se deres sammenligning nederst til højre i figur 4 nedenfor).

 

3. Fællesgørelse

Fællesgørelsen starter med, at nogle grupper præsenterer deres arbejde ud fra deres plakat. Figur 2 er et eksempel.

De øvrige elever stiller opklarende spørgsmål, når der er noget, de ikke forstår. Læreren forsøger at inddrage de øvrige elever ved at spørge:

- Forstår I alle det, hun sagde?
- Er der en af jer, der vil gentage, det hun sagde, med sine egne ord?
- Er det rigtigt, hvad hun siger? Hvorfor er det rigtigt?
- Var det, hun sagde, det samme som det du sagde?

Eleverne forklarer både, hvor meget af en sandwich hver elev i de forskellige grupper får (spørgsmål 1), og i hvilken gruppe eleverne får mest (spørgsmål 2).

En gruppe argumenterer for, at de helst vil være i gruppe 3 ved at sammenligne stykkerne i gruppe 3 med de tre øvrige gruppers stykker og hver gang argumentere for, at gruppe 3 får mest. (Figur 3)

Gruppe 1$\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$
Gruppe 2$\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{10}$
Gruppe 3$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}$
Gruppe 4$\frac{1}{2} + \frac{1}{10}$

Figur 3

Det sværeste er at argumentere for, hvorfor gruppe 3 får mere end gruppe 2.

Det klarer gruppen ved at sammenligne de to små stykker og argumentere for at:

  • $\frac{1}{4}$ er mere end $\frac{1}{5}$
    og
  • $\frac{1}{8}$ er mere end $\frac{1}{10}$ 


Figur 4, forløb om brøkerEn anden gruppe har delt alle sandwich i lige så mange stykker, som der er elever i gruppen. (Figur 4)

Denne gruppe kommer frem til at:

  • eleverne i gruppe 1 får $\frac{3}{4}$ af en sandwich hver.
  • eleverne i gruppe 2 får $\frac{4}{5}$ af en sandwich hver.
  • eleverne i gruppe 3 får $\frac{7}{8}$ af en sandwich hver.
  • eleverne i gruppe 4 får $\frac{3}{5}$ af en sandwich hver.

For at sætte fokus på tællerens og nævnerens betydning for størrelsen af brøken, som er en hel central pointe, spørger læreren:

"Kan I se et mønster I jeres resultater?"

En af eleverne peger på brøken og svarer:
"Ja, 4 sandwich til 5 elever giver $\frac{4}{5}$. Sandwich kommer op og elever kommer ned (under brøkstregen)."

Læreren spørger, om det altid gælder, og eleverne forsøger med andre tal, fx 12 sandwich til 3 elever.

Igennem samtale, eksempler og argumenter bliver eleverne overbevist om, at det altid gælder.

Til sidst siger en elev:
"Når det største tal står øverst får de mere end en sandwich hver."

TIL OVERVEJELSE I FAGTEAMET

  • Hvad kan eleverne lære om brøker ved at arbejde med aktiviteten?
  • Er aktiviteten velegnet til 3. eller 4. klasse?
  • Hvor ser I de største udfordringer som lærer, hvis man skal gennemføre denne type undervisning?
til: GRUNDSKOLE - 4. og 5. klasse
emne: UNDERSØGENDE MATEMATIKUNDERVISNING

Forfatter

Kaj Østergaard 

Lektor, ph.d.
VIA, Læreruddannelsen i Aarhus


Udgiver

Temaer på matematikdidaktik.dk udvikles i tæt samarbejde mellem forskere og praktikere og udgives af NCUM.
Se redaktionen og vores redaktionelle retningslinjer

Kilder

  1. Catherine Twomey Fosnot & Maarten Dolk. (2002). Young Mathematicians at Work - Constructing Fractions, Decimals, and Percents. Heinemann Educational Books.

Del tema Tag med