Hvad er undersøgende matematikundervisning?

Læreren har medbragt et reb, som er bundet sammen til en ring. Hun fortæller, at rebet er 12 meter langt, og at der på rebet er bundet 12 knuder med 1 meters mellemrum.

Herefter viser læreren sammen med to elever, hvordan rebet kan bruges til at danne trekanter, sådan at rebet er stramt, og der er en knude i hvert hjørne.

Eleverne opdeles i grupper på minimum 4 deltagere. Problemet introduceres og skrives på tavlen/whiteboardet:

Hvor mange forskellige trekanter kan man danne med rebet?
I skal tegne skitser af alle jeres trekanter.

Arbejdet kræver noget plads, så eleverne skal enten være i skolegården, en aula, eller lignende. I starten prøver eleverne sig frem og danner forskellige trekanter, som de tegner skitser af. Husk at medbringe reb til den fællesgørende aktivitet.

Et eksempel:

• En gruppe danner en trekant, hvor hver side er 4 meter.
• Herefter flytter en af eleverne sig ’en tak’, hvorefter de har dannet en trekant med sidelængderne 3 m, 4 m og 5 m.
• Når eleven flytter sig en tak mere, dannes ’trekanten’ med sidelængderne 2 m, 4 m og 6 m. Måske kan det faktisk godt lade sig gøre, fordi afstandene mellem knuderne ikke er helt præcise, eller fordi rebet er lidt elastisk, eller det ikke er lige stramt alle steder.
• Læreren kan for eksempel spørge eleverne, om de kan tegne en præcis tegning af en trekant med sidelænderne 2, 4 og 6, eventuelt med brug af GeoGebra, men hun kan også vente med at omtale problemet til fællesgørelsen.

I dialogen med eleverne fokuserer læreren på de faglige fokuspunkter:

• Eleverne skal først erfare de to sammenhænge.
• Herefter skal de formulere dem.
• Til sidst skal de argumentere for, at de gælder.

Læreren er med til at støtte denne proces.

På et tidspunkt skal eleverne afgøre, hvor mange trekanter der kan dannes af rebet. Læreren kan for eksempel stille spørgsmål som:

Har I fundet alle trekanter? Hvordan kan I være sikre på det?

For at kunne argumentere for, at de har fundet alle løsninger, skal eleverne bruge en eller anden form for systematik i deres undersøgelse. En gruppe kan for eksempel skrive sidelængderne op i en tabel:

Der er tre væsentlige spørgsmål, som kan behandles ved fællesgørelsen:

• Kan man danne en trekant med sidelængderne 2, 4 og 6 (eller et andet tilsvarende eksempel)?

Elev:
”De to sider på 2 og 4 kan kun lige nå sammen på den lange side, så det bliver bare en linje.”

Læreren:
"Hvad skal der så til, for at man kan tegne en trekant?"

Dette munder ud i en uformel formulering af trekantuligheden:
Når man lægger de to korte sider sammen, skal det være mere end den længste side.

• Er der forskel på en 2-5-5-trekant og en 5-2-5-trekant?

Læreren kan eventuelt bede to grupper danne de to trekanter og stille spørgsmålet:
”Hvad vil det sige, at to trekanter er ens (eller forskellige)?”

Elev:
”Man skal bare dreje den trekant rundt, så er de ens”.

Dialogen munder ud i en uformel formulering af en kongruenssætning:
Når sidelængderne i to trekanter er lige lange, er de ens.

• Hvordan kan vi vide, at vi har fundet alle løsninger?

En gruppe elever fortæller, at de har prøvet sig frem med tabellen, som er vist i afsnittet undersøgelse.
De forklarer, at 2-4-6 ikke dur fordi den ”ikke kan nå sammen” og at 5-5-2 er den samme som 2-5-5.

En anden gruppe starter med at sige, at alle sidelængder er mindre end 6, fordi der ellers ikke er nok reb tilbage til de to sidste sider. Derefter kan de prøve sig frem med sidelængder fra 5 og derunder.

 Dialogen munder ud i en fælles forståelse af, at alle mulige løsninger er fundet.

Ud over disse tre spørgsmål, kan læreren også vælge at inddrage kategorisering og navngivning af de tre trekanter, der kan dannes: ligesidet, ligebenet og retvinklet trekant.

Reflekter gerne over:

• Hvordan forestiller I jer, at elever på forskellige klassetrin vil løse 'Rebtrekanten'?
• Hvilke forskellige didaktiske udfordringer ser I i de tre faser?
• Har I eksempler på gode problemstillinger til undersøgende matematikundervisning?