Hvordan kan man anvende modellering i praksis?

Hvor begynder man som lærer?

Nogle gange kan man som lærer blive bekymret, når man hører om ideer med at anvende modellering: Det tager længere tid at anvende modellering, og der er et pensum, der skal nås. Vi mener dog ikke, at man behøver at køre hele modelleringsprocessen, men man kan måske lade sig inspirere til at lave ”løsere” opgaver og så søge inspiration i modelleringsprocessen.

De tre modeller har forskellig detaljeringsgrad. Man kan evt. begynde med at bruge PISA-modellen, som er den simpleste og så få erfaring med matematiske modeller og elevernes reaktioner. Senere kan man tage fat i den næste model.

Fra konkret til abstrakt eller omvendt

Der er også spørgsmålet om, om man går fra konkret til abstrakt, eller omvendt: Fra abstrakt til konkret.

Fra konkret til abstrakt: En tilgang kan være at starte med de fire regnearter baseret på konkrete forestillede situationer og så bygge teorien på ud fra dette. Dette giver mere mening end at begynde med at manipulere variable uden en underliggende forståelse for variablene eller de bogstaver, der bruges. For eksempel at begynde med a2-b2 = (a+b)(a-b) eller at begynde med ligningen y = 4x – 8. På samme måde med andre matematiske emner, hvis de fire regnearter ikke er i fokus i undervisningen.

Fra abstrakt til konkret: En anden tilgang kan være, at elever kan arbejde med mere generiske relationer, men også blande dem med relationer, der anvendes i håndværket eller i håndbøger fra erhvervet (eller fra hverdagen). Læreren kan også skabe læringsforløb, der afhænger af relationens kompleksitet.

Maass m. fl. stiller også spørgsmålet om, hvor realistiske modellerne i undervisningen skal være og besvarer det med at slå fast, at ingen problemstilling givet af en lærer er fuldstændig realistisk for hver eneste elev. Som regel er det bedst for det meste at have fokus på ”troværdige” problemstillinger, frem for ”tvivlsomme” (dubious) der er fuldstændig kunstige, eller ”aktion” problemstillinger, som virkelig har indvirkning på elevens eget liv. Men generelt er det vigtigt med en balance mellem forskellige typer af opgaver, og disse skal også udvælges baseret på læringsmålene. Der må også være en balance mellem modellering og selve det matematisk indhold, der skal læres. Kilde 1

Det er ofte mere vanskeligt at udvikle en model end at anvende en given model. Dvs. forløb hvor eleverne starter ”fra bunden” med data, som de så kan udvikle en matematisk model for (punkt 2 neden for) vil være vanskeligere end at arbejde med udgangspunkt i en model, som de derefter lærer at kende, behandle og arbejde med i fagene (punkt 1 nedenfor).

  1. Du kan begynde med en given situation, tabel, graf, formel eller funktion og så søge at fortolke med eleverne eller få dem til at løse problemer med disse. Her kan man diskutere med eleverne hvilken virkelighed en given model passer til?

I den del af processen behandler man modeller.

  1. Senere I processen kan du bede eleverne lave grafer, tabeller og evt. former til at beskrive situationen.

I den del af processen foretager man modellering.

Værktøjer

Excel er et virkningsfuldt værktøj til at lave grafer fra tabeller, og eleven kan lære hvordan formler virker, når man indtaster dem i cellerne. Eleverne kan eksperimentere med former, evt. på forhånd indtastet på en excel-side. Excel er desuden et værktøj, som mange også vil komme til at bruge i deres fremtidige erhverv.

Uanset hvilken proces man kører, er det fordelagtigt at snakke med eleverne om det at fokusere på processen, som skal kunne forklares. Når man får svaret, skal eleverne ræsonnere over, om svaret er korrekt. Kan det være korrekt i forhold til de andre oplysninger, de har fået.

Eksempler

Neden for er en række eksempler til inspiration, men det er også nemt at google opgaver om modellering for at få mere inspiration.

Beregning af trækkraftbehovet for at kunne vælte et træ 

Beregning af trækkraftbehovet for at kunne vælte et træ.

Hvordan beregnes trækkraftbehovet for at kunne vælte et træ modsat træets hæld? Det kan f.eks. være, hvis et havetræ hælder ind over en carport eller træer på jernbaneskråninger, der er blevet for store.

Man løser det ved at sætte et spil i træet og trække det i den rigtige retning, mens det vælter. Spil fås i forskellige størrelser og kapacitet, og det er naturligvis afgørende, at man vælger et spil, der er kraftigt nok.  Den model, man derfor giver til eleverne, er følgende:

Dvs. på dette tidspunkt i en undervisning, handler det om at behandle og forstå en given model. Variablen A angiver, hvor langt der er vandret fra centrum af træstubben til balancepunktet af træet. V angiver træets vægt. Man kan naturligvis ikke putte træet på en vægt, så vægten må estimeres. Det giver nogle gode spørgsmål i klassen (og ude i felten): Hvor meget vejer alle grenene i forhold til en træstamme? Hvor alvorligt er det, hvis jeg gætter lidt for lavt eller lidt for højt? Her er den modsatte modelleringsproces – hvor eleverne rent faktisk skal modellere denne vægt.  Man kan bruge sådanne eksempler på mange måder, og da eksemplet indeholder en faktisk modelleringssituation – hvad vejer et træ – kunne man i undervisningen måske opdele eleverne i grupper, som hver skulle komme med et bud på vægten, som man så kan sammenligne og diskutere.

Shelter (niveau E-D – evt. repetition af areal, rumfang, målestok Pythagoras, trigonometri, prisberegning).

Opgaven lyder på, at eleverne skal ud og måle på en konkret shelter for at beregne salgspris (materialepris + fortjeneste i Excel), hvor mange kan ligge i shelteret, hvor meget plads har de? De skal tegne shelteret i selvvalgt målestoksforhold (skitse eller tegneprogram). Shelteret har et skråt tag, beregn skrå længde og vinkel. Opgaven skal præsenteres på tavlen eller i powerpoint for også at øve den mundtlige præsentation. Man kan med fordel lade eleverne arbejde i grupper. Opgaven kan bruges til tømrer/teknisk design.

Trekanter med små pinde – undersøgelsesopgave (niveau F-E)

Hvor mange trekanter kan du lave med omkreds/areal på 24 cm/24 cm2. (kan bruges til alle uddannelser)

Vi er i et lokale, som vi gerne vil have delt i to (niveau F-E)

Hvor mange m2 er hvert lokale bagefter, hvor meget gulvtæppe/maling skal bruges for at køre lokalerne klar? Hvor mange elever kan sidde i hvert lokale? Tegn hvert lokale i målestoksforhold. Kan bruges til alle uddannelser.

Grill (niveau F-E)

I skal fremstille en grill til max. 300 kr. Du skal udregne materialeforbrug og pris med og uden moms. Kan bruges til smede og teknisk designer.

Overfladeareal af en elektromotor (Geometri, niveau E)

Hvilke antagelser tager/bruger vi for at kunne beregne overfladearealet af en elektromotor? Dette kan udvides til større maskiner (med flere typer af figurer) og fabrikshaller (antagelsernes størrelses betydning).

Rumfang af et bagagerum i en personbil (Matematik, niveau E – for mekanikerelever)

Eleverne skal beregne rumfanget af et bagagerum i en personbil ude i værkstedet. Alt efter hvilken bil den enkelte elev/gruppe vælger, er der nogle valg, der skal tages for at beregne bagagerummet.
- Hælder bagsædet? Og hvilken betydning har det for mine beregninger?
- Hvornår stopper bagagerummet?
- Hvad med pladsen til baghjulene, hvordan tager man højde for dem?

Erfaringen er, at de fleste elever ender med at beregne bagagerummet som et prisme samt en kasse og derved ser bort for baghjulene. Det ”sjove” kommer så, når eleverne sammenligner deres beregninger med Databladet for den valgte bil. Dette kan give anledning til nye samtaler om de valg, eleverne foretager.

(Tak til Lone Hørup og Jan Kaufmann Kringstad for flere af opgaverne)


Kilder

1. Maass, K., Artigue, M., Burhardt, H., Doorman, M., English, L. D., Geiger, V., Krainer, K., Potari, D. & Schoenfeld, A. (2022). Mathematical modelling – a key to citizenship education. I: N. Buchholtz, B. Schwarz & K. Vorhölter (Red.), Initiationen mathematikdidaktischer Forschung (pp. 31-50). Springer Spektrum, Wiesbaden.

til: ERHVERVSUDDANNELSER
emne: MATEMATISK MODELLERING PÅ ERHVERVSSKOLER

UDGIVET: 2022


Forfatter

Bettina Dahl Søndergaard

Lektor, ph.d. i matematikdidaktik
Aalborg Centre for Problem Based Learning in Engineering, Science and Sustainability under the auspices of UNESCO,
Aalborg Universitet/AAU

Udgiver

Temaer på matematikdidaktik.dk udvikles i tæt samarbejde mellem forskere og praktikere og udgives af NCUM.
Se redaktionen og vores redaktionelle retningslinjer
Del tema Print