Eksempel: Rektangler med fast sidelængde 4 - 2. klassetrin

Rektangler med fast sidelængde 4 er en aktivitet, der er afprøvet i 2. klasse i forbindelse med et forskningsprojekt om algebra på de yngste klassetrin. (Kilde 1) 

Tegn rektangler

I aktiviteten skal eleverne tegne rektangler på kvadratnet.

Den ene side af rektanglet skal have længden 4 (enheder på kvadratnettet). Eleverne kan selv bestemme, hvor lang den anden side af rektanglet skal være.

Deres første opgave er at tegne sådan nogle rektangler og finde arealet af dem. Eleverne har dog ikke tidligere arbejdet med areal, og over for eleverne formulerer læreren opgaven som: 

"Hvor mange tern bliver der inde i hvert rektangel?"

Find antal tern

Hver elev udfordrer sig selv på forskellige måder ved at tegne større eller mindre rektangler, og de bruger forskellige metoder til at finde antallet af tern.

Læreren opfordrer dem til at finde på ’gode fiduser’, så de ikke behøver at tælle alle ternene.

  • Nogle elever forklarer, hvordan de ’skiptæller’, fx med tælleremser som 2, 4, 6, … eller 5, 10, 15,
  • Andre elever forklarer, at de bruger plusstykker til at finde antallene. Når højden på rektanglet er 8, finder de fx antallet ved at regne 8 + 8 + 8 + 8.
  • Der er også nogle elever, der forklarer, at man ’bare’ kan gange. Hvis højden er 8, er det fx \(8 + 8 + 8 + 8\). Klassen har for nylig lært om ’gange’, og nogle af eleverne har allerede taget regningsarten så meget til sig, at de kan anvende den i en ny sammenhæng.

Figur 2 viser én af elevernes arbejde med opgaven.

Tabel på tavlen

Efter et stykke tid samler læreren nogle af elevernes resultater i en tabel på tavlen. De fortæller på skift, hvor lang de har valgt at lave den frie side i et af deres rektangler, og hvilket antal tern de har fundet inden i.

Begyndelsen af tabellen kommer til at se ud som på figur 3.

Samtale i klassen

Samtalen i klassen fokuserer nu på, hvordan eleverne nemmest kan finde det samlede antal kvadrater, når de kender rektanglets frie sidelængde.

  • Nogle elever fortæller, hvordan de kan ’plusse sig frem'.
  • Andre elever fortæller, hvordan de kan ’gange sig frem’ til resultatet.

Læreren tilføjer elevernes beregningsforslag (se figur 4). Og klassen taler om, hvordan plusstykkerne og gangestykkerne hænger sammen.
\(6 + 6 + 6 + 6\) kan fx skrives som \(4 ⋅ 6\)

                         

Fokus på mønstre

Læreren drejer nu samtalens fokus ved at stille spørgsmål som:

"Kan I se et mønster i de regnestykker, I har brugt?"

"Har stykkerne noget tilfælles?"

"Er der en måde, I altid kan bruge, når I skal finde ud af, hvor mange firkanter der er inden i?"

Eleverne byder ind med svar som:

"Man kan plusse det samme tal fire gange" eller "Man kan altid gange med 4."

Disse svar udfordres af læreren:

"Ja, hvad er det for et tal, der er fire af i plusstykket, eller som man skal gange med 4?"

"Hvordan hænger tallet sammen med de rektangler, I har tegnet?"

Eleverne bliver enige om, at det ’vigtige’ tal, svarer til den længde, de har givet rektanglets frie side, og læreren beder dem om at forklare, hvorfor de altid kan bruge dette tal i et plusstykke eller i et gangestykke, når de vil finde antallet af firkanter ’inden i’.

Én af eleverne forklarer:

"Det er fordi, man tager det tal 4 gange. Der er jo 4 på den anden led."

Tal om den generelle sammenhæng

Til sidst beder læreren eleverne om at fortælle, hvordan de ville forklare deres dansklærer (som ikke har været i timen) om, hvordan hun altid kan finde antallet af firkanter inden i et rektangel, der har en side, som er 4 lang.

TIL OVERVEJELSE I FAGTEAMET

  • Overvej, hvad eleverne i aktiviteten får mulighed for at lære.
  • Er der ideer i episoden, som I ville kunne bruge i jeres egen undervisning, eller noget, som I ville gøre anderledes?

Hvad arbejder eleverne med i eksemplet?

Generalisering

I eksemplet generaliserer eleverne den sammenhæng, der er mellem rektanglets højde og areal. Mere specifikt retter undervisningen sig mod, at eleverne identificerer denne generelle sammenhæng, at de repræsenterer sammenhængen, og at de begrunder, hvorfor den gælder.

Eleverne i eksemplet repræsenterer konkrete tilfælde af sammenhængen med en tabel og med regneudtryk. Læreren inviterer dem desuden til at repræsentere den generelle sammenhæng i deres naturlige sprog ved at spørge, hvordan de vil forklare deres dansklærer om den.

I løbet af mellemtrinnet og udskolingen er det hensigten, at eleverne lærer at repræsentere den generelle sammenhæng som denne med grafer i et koordinatsystem og med algebraisk symbolsprog, fx med udtrykket

\[f (h) = 4h\]

hvor \(h\) er rektanglets højde.

Funktionstænkning

Tanken er, at brugen af de mere uformelle repræsentationer sammen med selve problemstillingen kan støtte eleverne til senere at skabe mening i de mere formelle repræsentationsformer, som de skal lære.

I eksemplet er den sammenhæng, eleverne skal generalisere, en funktionel sammenhæng. Derfor kaldes den tilgang til algebra, som eksemplet repræsenterer, for ’funktionstænkning’.

TIL OVERVEJELSE I FAGTEAMET

Har I ideer til, hvilke andre funktionelle sammenhænge eleverne på de yngste klassetrin kan komme til at identificere, repræsentere og begrunde?

til: GRUNDSKOLE - 2.klasse
emne: ALGEBRA
 

Forfatter



Begreber i artiklen

Funktionstænkning
At identificere, repræsentere og begrunde generelle, funktionelle sammenhænge og at ræsonnere med sådanne sammenhænge. Det kan fx dreje sig om sammenhængen mellem sidelængde og omkreds i et kvadrat.    
 

Udgiver

Temaer på matematikdidaktik.dk udvikles i tæt samarbejde mellem forskere og praktikere og udgives af NCUM.
Se redaktionen og vores redaktionelle retningslinjer

Kilder

 

  1. Kaas, T. (under udarbejdelse). Tidlig algebra i grundskolens matematikundervisning. Ph.d.-afhandling Aarhus Universitet og Københavns Professionshøjskole.

Del tema Tag med