Eksempel: Iskioskerne og Tændstikhemmeligheder - 3. klassetrin
Iskioskerne og Tændstikhemmeligheder er to aktiviteter, der er afprøvet i 3. klasse i forbindelse med et forskningsprojekt om algebra på de yngste klassetrin. (Kilde 1)
Iskioskerne
Iscenesættelse
Læreren iscenesætter aktiviteten gennem en fælles samtale om isvafler. Hun spørger, om eleverne kender nogle gode steder at købe isvafler:
Kender de prisen på isvafler? Hvad kan en vaffel med 2 kugler koste? Hvad med 3 kugler?
Hun fortsætter ved at fortælle om to iskiosker, der findes i nærheden af der, hvor hun bor.
I den ene iskiosk (Isboden) sælger de isvafler, hvor hver kugle koster 5 kr.
I den anden iskiosk (Ishuset) sælger de isvafler, hvor hver kugle kun koster 3 kr., men der skal man også betale for vaflen. Den koster 8 kr.
Læreren tegner de to iskiosker på tavlen, mens hun fortæller og skriver oplysninger om priserne ved hver kiosk. Hun synes, at isvaflerne er lige gode begge steder, men hun vil gerne finde ud af, hvor det bedst kan betale sig for hende at købe isvafler. Det bliver elevernes opgave at hjælpe hende.
Eleverne arbejder med problemstillingen
Mens eleverne arbejder enkeltvis eller i par med problemstillingen, går læreren rundt i klassen og taler med dem, hjælper og udfordrer. Fx siger en elev, at hvis læreren kun vil købe en vaffel med 1 kugle, vil det helt klart bedst kunne betale sig at købe i Isboden. En anden siger, at det kommer an på, hvor mange iskugler læreren vil have. Læreren svarer, at det er forskelligt, hvor mange iskugler hun kan spise.
I klassen er eleverne vant til at bruge tabeller til at beskrive sammenhænge. De fleste elevgrupper går ret hurtigt i gang med at udfylde en tabel i stil med den herunder.
Fælles samtale
I en efterfølgende fælles samtale i klassen konkluderer eleverne, at det er lige dyrt at købe en isvaffel med 4 kugler i de to iskiosker. Hvis læreren vil købe færre end 4 kugler, kan det bedst betale sig for hende at købe i Isboden, men hvis hun vil købe flere end 4 kugler, kan det bedst betale sig for hende at købe i Ishuset.
Tændstikhemmeligheder
Iscenesættelse
Læreren præsenterer en 'tændstikhemmelighed' ved at fortælle, at hun har taget noget hemmeligt med til klassen, og at eleverne skal prøve at gætte hendes hemmelighed.
På et bord anbringer hun 2 lukkede tændstikæsker og 5 løse tændstikker. På et andet bord anbringer hun 3 lukkede tændstikæsker. Hun siger:
”Det er hemmeligt, hvor mange tændstikker der er i hver æske, men I må godt få at vide, at der er lige mange tændstikker i hver æske, og der er lige mange tændstikker på hvert bord. Kan I finde ud af min hemmelighed, altså hvor mange tændstikker der er i hver æske?”
Figur 3. Tændstikhemmeligheder
Elevernes selvstændige arbejde
Nogle elever forsøger at gætte og ræsonnere sig frem.
En elev siger fx:
”Der kan ikke være 3 i hver æske, for så vil der være flere tændstikker på det ene bord end på det andet bord. Der ville nemlig være \(3 + 3 + 5 \) på det ene bord og \(3 + 3 + 3\) på det andet.”
Ret hurtigt argumenterer en anden elev for, at der må være 5 tændstikker i hver æske:
”Hvis de 5 tændstikker var i en æske, ville der jo være 3 æsker på hvert bord, og hvis der er 5 i den æske, er der jo også 5 i de andre, for der er lige mange.”
Da eleverne bliver enige om, at 5 må være det rigtige svar, åbner de æskerne og konstaterer, at de har ret.
De næste faser
Læreren præsenterer flere 'tændstikhemmeligheder' med stigende sværhedsgrad. I næste hemmelighed er der 2 æsker og 4 løse tændstikker på det ene bord mod 3 æsker og 1 løs tændstik på det andet bord.
Denne opgave er eleverne længere tid om at komme med forslag til. Én elev siger:
”Det er fordi, der er (løse) tændstikæsker på begge bordene.”
Det giver læreren anledning til at introducere en ide:
”Lige nu er der jo lige mange tændstikker på hvert bord. Vil der stadig være lige mange, hvis jeg tager 1 tændstik væk fra hvert bord?”
Det er eleverne enige i, at der vil være, og læreren flytter en tændstik fra hvert bord, så der nu er 2 æsker og 3 løse på det ene bord og 3 æsker på det andet bord. Læreren spørger:
"Er det lettere at finde frem til hemmeligheden nu?”
Nu kan flere elever se, at der må være 3 tændstikker i hver æske.På den måde får læreren for første gang introduceret ideen om at trække det samme antal fra på begge sider af lighedstegnet i en ligning.
På et tidspunkt introducerer læreren en overgang fra brugen af de konkrete materialer (tændstikkerne) til tegninger på klassens tavle. En af opgaverne ser sådan ud:
Klassen diskuterer også, hvordan de på 'matematiksprog' kan skrive, at der er lige mange tændstikker i de to grupper på tavlen, og hvordan de kan vise deres løsninger af tændstikhemmelighederne. En typisk løsningsmåde kommer til at se sådan ud:
TIL OVERVEJELSE I FAGTEAMET
-
I hvilket omfang tænker I, at en aktivitet som den beskrevne kan støtte elever i (senere) at løse ligninger, hvor den ubekendte er beskrevet med bogstaver?
Hvad arbejder eleverne med i eksemplerne?
Begge eksempler involverer tænkning i nogle situationer, hvor der optræder en ubestemt talstørrelse. I eksemplet med iskiosken er det antallet af kugler, der er ubestemt. I tændstikhemmelighederne er det antallet af tændstikker i æskerne, der er ubestemt.
Eksemplerne involverer også - på forskellige måder - en proces, hvor eleverne oversætter en situation til et sprog, der kan støtte deres tænkning. I iskioskerne oversætter eleverne situationen til tal i en tabel. I tændstikhemmelighederne hjælper læreren først med at oversætte sin fortælling til konkrete materialer. Senere oversætter eleverne tændstikhemmeligheder til tegninger.
I løbet af mellemtrinnet og udskolingen er det hensigten, at også bl.a. ligninger bliver et sprog, som kan støtte elevernes tænkning. Man kan fx forestille sig, at eleverne kommer til at løse problemstillinger som den med iskiosken ved at oversætte til en ligning:
\[5 ⋅ n = 3 ⋅ n+8\]
I forbindelse med eller efter oversættelsesarbejdet indgår der beregninger. Det kræver fx beregninger at opstille tabellen, og det kræver beregninger at løse en ligning. Hvis opgaven bygger på en kontekst, må resultaterne af regnearbejdet tolkes i forhold til denne kontekst. I eksemplet med iskiosken må resultaterne af elevernes beregninger i tabellen fx tolkes i forhold til priserne på isvafler.
Processen med at oversætte til matematiksprog, beregne inden for matematiksproget og tolke beregninger i forhold til den oprindelige problemstilling er karakteristisk for dele af arbejdet algebra.
TIL OVERVEJELSE I FAGTEAMET
Har I ideer til andre problemstillinger med en ubestemt talstørrelse, der kan give anledning til:
- at eleverne oversætter til et matematiksprog, de kan tænke i,
- at de beregner inden for dette sprog og
- at de tolker resultatet af deres beregninger i forhold til den oprindelige problemstilling?
til: GRUNDSKOLE - 3. klasse
emne: ALGEBRA
UDGIVET: 2021
Forfatter
Thomas Kaas
Lektor, ph.d.
Professionshøjskolen Absalon
Udgiver
Temaer på matematikdidaktik.dk udvikles i tæt samarbejde mellem forskere og praktikere og udgives af NCUM.
Se redaktionen og vores redaktionelle retningslinjer
Kilder
- Kaas, T. (under udarbejdelse). Tidlig algebra i grundskolens matematikundervisning. Ph.d.-afhandling Aarhus Universitet og Københavns Professionshøjskole.