Bogstavers rolle i algebra på de yngste klassetrin

I matematikdidaktiske kredse er der bred enighed om, at det er en vigtig del af grundskolens algebra, at eleverne bliver i stand til at opstille, anvende og tolke udtryk med variable. Det skyldes bl.a., at variable er et stærkt redskab til at udtrykke generaliseringer, til at modellere og til at løse problemer.

Tre holdninger til bogstavers rolle i algebra på de yngste klassetrin

Der er imidlertid ikke enighed om, hvordan og hvornår elever bør introduceres for variable i skolen. Denne tekst introducerer forskellige forskeres holdninger og forskningsresultater knyttet til de yngste elevers forståelse og anvendelse af variable.

Begrebet 'variable'

 

’Variable’ dækker her over flere forskelle betydninger:

  • I en ligning som \(40=5x\) kan variablen \(x\), fx opfattes som en ubekendt.
  • I en funktion som fx \(f(x) = 5x+2\), kan variablen, \(x\), fx opfattes som den mængde af tal, funktionen gælder for.

Holdning 1 - Vi bør vente

Nogle forskere argumenterer for, at elever bør have solide erfaringer med aritmetik, før de bliver introduceret for variable. De skal med andre ord have arbejdet i flere år med ’almindelige’ beregninger, før de er klar til fx at regne med ubekendte. (Kilde 1)

Mange undervisere har erfaringer med, at elever tidligt i skoleforløbet løser ligninger som:

I sådanne ligninger kan de nemlig bygge på deres erfaringer fra aritmetik og fx tælle sig frem til det tal, der skal stå i boksen. Det går som regel også godt med at erstatte det tomme felt med et bogstav, hvis man fortæller, at bogstavet står for et ’hemmeligt tal’. Det bliver imidlertid væsentligt sværere, når eleverne møder ligninger med ubekendte i flere led, fx

\[4 ⋅ x + 9 = 7 ⋅ x\]

Problemerne bliver større, hvis det ikke er let at gætte sig frem til en løsning ved at erstatte hvert \(x \)  med et konkret tal og ’prøve efter’.

En kognitiv kløft

Ifølge forskere, som er fortalere for at vente med at introducere variable, skyldes det, at der er en ’kognitiv kløft’ mellem aritmetik og det at regne med variable.

Hvis det fx skal være meningsfuldt at løse ligningen \(4 ⋅ x + 9 =7 ⋅ x\) ved først at subtrahere  \(4 ⋅ x\) på begge sider af lighedstegnet, kræver det bl.a., at eleverne kan opfatte \(4 ⋅ x\) som et generaliseret tal - og det er krævende.

Normalt er eleverne vant til at tænke på \(4\) gange 'et eller andet’ som en beregning, de skal udføre. Nu skal de opfatte \(4 ⋅ x\), som et objekt, de kan regne med. Og ikke nok med det - objektet, \(4 ⋅ x\), skal de ikke opfatte som et konkret tal, men som et tal i mere generel forstand.

Forskerne peger på, at det tager mange år at udvikle en begrebsmæssig opfattelse af variable som noget, man kan foretage beregninger med, og at det kræver, at man først har arbejdet indgående med at manipulere ’almindelige’ tal, før man er klar til at ’springe over kløften’.  

Holding 2 - Vi bør bygge bro til variabelforståelse ved skolens start

Andre forskere argumenterer for at bygge bro fra almindelige beregninger med plus og minus til beregninger med variable allerede fra skolestart. Et redskab til at bygge en sådan bro kan fx være brugen af ’talsætninger’ og ’quasi-variable’. (Kilde 2)

Brug af talsætninger

Talsætninger er udtryk med tal og andre symboler, som kan være sande eller falske, fx

\[78 − 49 + 49 = 78\] Elever på de yngste klassetrin kan afgøre, om denne talsætning er sand eller falsk ved at regne efter, men eleverne kan også guides til at afgøre, om talsætningen er sand eller falsk ved at se på strukturen i stykket. En elev i 2. klasse kan fx forklare:

"Den er sand, for når du trækker 49 fra og lægger 49 til igen, så er du tilbage på det samme."

Læreren kan efterfølgende spørge: "Er den kun sand, når du trækker 49 fra og lægger 49 til igen?" Det er sandsynligt, at flere elever i 2. klasse vil kunne argumentere for, at man også vil få 78, hvis man trækker et andet tal fra og lægger det til igen. Talsætningen er sand for en hel mængde af tal.

Arbejde med quasi-variable

På den måde kan elever på de yngste klassetrin bevæge sig væk fra konkrete beregninger og i retning af generelle regler for aritmetik ved at bruge tallene som ’quasi-variable’, dvs. som repræsentationer for vilkårlige tal. Quasi-variable ser altså ud som almindelige tal og ikke som variable, men de bliver brugt lidt på samme måde som variable - til at tale om egenskaber eller sammenhænge, der gælder generelt.

Brobygningen består i, at eleverne i en vis forstand allerede tænker i generaliserede tal, når de fokuserer på strukturen i talsætningerne frem for på de konkrete beregninger, som er indeholdt i sætningerne. Brugen af talsætninger og quasi-variable underbygger derfor forståelsen af variable som generaliserede tal.

Holdning 3 - Vi bør introducere variable fra skolens start

 

I de senere år har nogle grupper af forskere eksperimenteret med at introducere variable for elever helt fra 1. klasse. Et af projekterne har vist, at det er muligt for elever helt ned til 1. klasse - på forskellige niveauer -  at opstille, anvende og tolke udtryk med variable. (Kilde 3)

Konklusionen i et andet projekt var bl.a., at en gruppe elever, der var blevet undervist i brug af variable igennem 3. klasse, blev bedre til at beskrive funktionelle sammenhænge med variable end med deres egne ord.       

Eksempel: Elevarbejde med variable i 2. klasse

Til højre er en elevs arbejde med at undersøge sammenhængen mellem antal klip og antal snore, når klippene foregår, som tegningen til venstre antyder. Eleven har bl.a. identificeret og beskrevet sammenhængen som \(k ⋅ 2 + 1 = s\).

'Halv-forståede' objekter kan give læringsmuligheder

Projekterne bygger på den grundtanke, at elever nødvendigvis må introduceres for ideen med variable og involveres i at bruge dem for at udvikle begrebsmæssig forståelse for dem. I begyndelsen vil de nok ikke kunne se hele ideen og dybden i at anvende variable. Nogle af dem vil måske mest af alt tænke på bogstaverne som betegnelser for navne eller ting, men det er netop ved at bruge disse ’halv-forståede’ objekter sammen med andre repræsentationer i meningsfulde kontekster, at eleverne får mulighed for at udvikle begrebsmæssig forståelse for dem. Det er derfor ikke sådan, at eleverne udelukkende skal tænke i variable, men snarere sådan, at variable skal eksistere i undervisningen side om side med andre repræsentationer som tabeller, regneudtryk og elevernes mundtlige sprog.

Problemet er ikke udviklingsmæssig parathed

Forskere med denne tilgang til algebraundervisning er klar over, at det igennem mange år har været ’god latin’ blandt undervisere, at elever først skal være udviklingsmæssigt parate, før de er klar til at lære algebra med brug af variable. Når man nu i forvejen ved, at det er vanskeligt - selv for teenagere - at forstå variable, hvordan skulle det så gøre det bedre at begynde undervisningen tidligere?

Til det siger disse forskere, at der ikke er meget, der tyder på, at vanskelighederne skyldes manglende udviklingsmæssig parathed. Det skyldes snarere, at eleverne har haft for dårlige muligheder for at skabe mening i det algebraiske symbolsprog. De underbygger denne holdning med deres forskningsresultater.

TIL OVERVEJELSE I FAGTEAMET

Diskuter de tre holdninger:

  • Hvilke argumenter kan I se for hver af dem?
  • Hvad taler for, og hvad taler imod hver af de beskrevne holdninger?
til: GRUNDSKOLE
emne: ALGEBRA
 

Forfatter



Begreber i artiklen

Talsætninger
Talsætninger er udtryk med tal og andre symboler, som kan være sande eller falske, fx \( 78 − 49 + 49 = 78\)
Quasi-variable
Quasi-variable ser ud som almindelige tal, men de bliver brugt lidt på samme måde som variable - til at tale om egenskaber eller sammenhænge, der gælder generelt.    
 

Udgiver

Temaer på matematikdidaktik.dk udvikles i tæt samarbejde mellem forskere og praktikere og udgives af NCUM.
Se redaktionen og vores redaktionelle retningslinjer

Kilder

  1. Linchevsky, L. (2001). Operating on the unknowns: What does it really mean? I M.v.d. Heuvel-Panhuizen (red.). Proceedings of the 25th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 1). Utrecht, The Netherlands: Freudenthal Institute.
  2. Fujii, T., & Stephens,M. (2008). Using number sentences to introduce the idea of variable. I C. E. Greenes & R. Rubenstein (Red.). Algebra and algebraic thinking in school mathematics: Seventieth yearbook (127–140). Reston: National Council of Teachers of Mathematics.
  3. Blanton, M., Brizuela, M.B., Gardiner, A.M., Sawrey, K., Newman-Owens, A. (2017). A progression in first-grade children’s thinking about variable and variable notation in functional relationships. Educational Studies in Mathematics 95 (2): 181-202. 

Del tema Tag med