Et ændret syn på algebra i grundskolen

For årtier siden handlede algebra i grundskolen mest om bogstavregning. Fokus var på manipulationer med bogstavudtryk, herunder omskrivning og reduktion af udtryk, og på løsning af ligninger og uligheder.

Udfordringer med bogstavregning

Der er bred enighed om, at det stadig er vigtigt for elever at møde bogstavregning i skolen, men forskning fra 1980'erne og 1990'erne viste, at det tilsyneladende er vanskeligt at lære. Det blev bl.a. dokumenteret, at mange elever verden over ikke forstod brugen af bogstaver for ubekendte eller variable, og at de havde vanskeligt ved ligningsløsning. (Kilde 1)

I midten af 1990'erne forklarede en gruppe amerikanske forskere disse problemer med, at grundskolens undervisning i algebra var for overfladisk og usammenhængende. Ifølge disse forskere opstår der problemer, hvis det først og fremmest forventes, at eleverne lærer regler for bogstavmanipulation udenad og ikke får støtte til at forbinde betydningen af de algebraiske tegn og regler med viden, som de har fra andre af matematikkens fagområder. Desuden bør eleverne få mulighed for at opleve algebra som et redskab til at løse meningsfulde problemstillinger. (Kilde 1)

Eksempel: Elevers udfordringer med algebra

Nogle forskere har peget på, at elever på de ældste klassetrin i skolen kan have vanskeligt ved at forstå lighedstegnets betydning i ligninger og funktioner. De forklarer disse vanskeligheder med, at eleverne gennem flere års undervisning i aritmetik kan komme til at opfatte lighedstegnet som et signal til, at man skal regne noget ud. Denne forståelse harmonerer ikke med lighedstegnets betydning i bl.a. ligninger og funktioner, som derved kan risikere at forekomme meningsløse for disse elever. 

Det er derfor en stor fordel, hvis elever i første del af skoleforløbet lærer at tolke lighedstegnet som et tegn, der viser, at to udtryk har samme værdi.

Opgaver om lighedstegnet

Her er en opgave, der i flere sammenhænge er blevet brugt til at diagnosticere elevers forståelse af lighedstegn - og til at sætte gang i klassesamtaler om, hvad lighedstegnet betyder:


(Kilde 2)

Blandt de elever, som opfatter lighedstegnet som et signal til, at man skal regne noget ud, er det mest typiske svar 12, og det næstmest typiske svar er 17.

En måde at støtte elevers forståelse af lighedstegn som ’samme værdi’ kan være at arbejde med ’talsætninger’, som \( 8 + 4 = 7 + 5 \). Kan eleverne finde på andre sande talsætninger på følgende form? 

Er den følgende talsætning sand: \( 8 + 4 = 12 + 5 = 17 \) Hvorfor eller hvorfor ikke?


Denne type opgaver kan med lærerens støtte hjælpe eleverne til at udvikle en mere holdbar forståelse af lighedstegnet og give dem mulighed for at tænke i retning af: "Når \( 8 + 4 = 7 + 5 \), så er  \( 8 + 3 = 7 + 4 \), for jeg gør begge sider 1 mindre."

Læreren kan fx illustrere betydningen af lighedstegnet med en vippe, der skal balancere.

TIL OVERVEJELSE I FAGTEAMET

Hvilke erfaringer har I med læring af og undervisningen i algebra på de forskellige trin?

Tidlig algebra

De amerikanske forskere foreslog, at undervisning i algebra skal:

  1. begynde allerede i 1. klasse og strække sig igennem hele skoleforløbet,
  2. flettes sammen med andre af matematikkens fagområder,
  3. ses som et fagligt område, der, ud over bogstavmanipulation, omfatter de faglige ideer, der har båret fagområdet frem historisk set. Især bør generaliseringer spille en betydelig rolle. (Kilde 3)

Den nye tilgang skal bidrage til at skabe sammenhæng og dybde i skolematematikken. Den skal ikke alene give eleverne bedre forståelse for algebra, men også - omvendt - bidrage til, at eleverne får bedre forståelse for andre fagområder. Tilgangen bliver kaldt for ’tidlig algebra’. (Kilde 3)

Eksempel: Tidlig algebra (1. klasse)

I en 1. klasse kan man forestille sig, at nogle elever lægger mærke til, at når de lægger to tal sammen, er det tilsyneladende lige meget, hvilken rækkefølge de gør det i - resultatet bliver det samme. Læreren kan sætte fokus på denne opdagelse. Gælder den nogle gange, eller gælder den altid? Hvorfor?

Der vil være mange elever i 1. klasse, som er i stand til at sætte ord på en sådan opdagelse og argumentere for, at den gælder generelt (inden for de naturlige tal) - fx ved at repræsentere to tal med hver sin bunke centicubes og forklare, at hvis man skal tælle dem alle, er det lige meget, ’hvilken ende man begynder i’.

Man kan sige, at eleverne i 1. klasse på den måde arbejder med den kommutative lov, samtidig med at de er i gang med at øve sig på at lægge tal sammen. De repræsenterer og begrunder reglen med deres naturlige sprog og får på den måde lagt et grundlag for senere at kunne se mening i udtrykket \(a + b = b + a\).

Algebraisk tænkning

Det er denne nye tilgang til algebra, der har vundet udbredelse i mange landes læseplaner i de senere år, heriblandt de danske. Men hvad er det for nogle faglige ideer, der bør karakterisere grundskolens algebra, og som kan bidrage til at skabe dybde og sammenhæng i matematikundervisningen?

Nogle forskere har foreslået, at vi ikke udelukkende skal se algebra som en samling af noget bestemt matematikfagligt stof, men også som en praksis - som noget, mennesker kan gøre, fx repræsentere eller begrunde. Dette perspektiv, der omtales som ’algebraisk tænkning’, giver mulighed for at beskrive algebra som bestemte måder at praktisere, tænke og tale om matematik. (Kilde 3)  

Karakteristikker af algebraisk tænkning

Flere af disse forskere har formuleret bud på en karakteristik af algebraisk tænkning i skolen. Et gennemgående træk er, at algebra på den ene side går ud på at identificere, repræsentere og begrunde generelle matematiske sammenhænge og på den anden side går ud på at ræsonnere med generaliseringer i situationer, hvori der indgår et ukendt tal. (Kilde 2 og 3)

Eksempel: Algebraisk tænkning (1. og 2. klasse)

 

Elever i en 1. eller 2. klasse kan fx få mulighed for at identificere, repræsentere og begrunde en generel sammenhæng, hvis de undersøger sammenhængen mellem et antal børn og det tilhørende antal hænder. (Kilde 4)

identificere

repræsentere

begrunde

ræsonnere

De kan begynde med at tælle efter i klassen, men gennem arbejdet med flere eksempler kan de identificere det generelle. Måske siger de: ’tallet for hænderne dobler’ eller ’man plusser 2 for hvert barn’.

På den måde repræsenterer de den generelle sammenhæng med deres naturlige sprog. 

Nogle elever kan begrunde sammenhængen ved at stille sig op foran klassen og demonstrere, at der hører to hænder til hvert barn, så ’når man tæller 1 barn, tæller man 2 hænder’.

Eleverne kan fx få mulighed for at ræsonnere med denne generalisering, hvis læreren spørger: "Hvor mange børn er der, hvis der er 16 hænder?" eller "Kan vi have et ulige antal hænder her i klassen?"    

Til OVERVEJELSE I FAGTEAMET

  • Hvad tænker I om ’algebraisk tænkning’ som en måde at beskrive, hvad algebraundervisning går ud på?
  • Kan I komme i tanke om andre eksempler, der kan give elever på de yngste klassetrin mulighed for at generalisere matematiske sammenhænge og ræsonnere med generaliseringer?

Læs mere om, hvornår algebra skal introduceres:

til: GRUNDSKOLE
emne: ALGEBRA
 

Forfatter



Begreber i artiklen

 
Tidlig algebra
En tilgang til algebraundervisning, der går ud på, at eleverne allerede fra skolestart arbejder med algebraisk tænkning i sammenhæng med det øvrige arbejde i matematik.
Algebraisk tænkning
De måder, vi tænker på, når vi arbejder med ubestemte talstørrelser, fx identificere, repræsentere og begrunde generelle sammenhænge.

Udgiver

Temaer på matematikdidaktik.dk udvikles i tæt samarbejde mellem forskere og praktikere og udgives af NCUM.
Se redaktionen og vores redaktionelle retningslinjer

Kilder

  1. Carraher, D.W. & Schliemann, A.D. (2007). Early algebra. I: F. Lester (red.). Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (s. 669-705). Charlotte, NC: Information Age Publishing.
  2. Stephens, A., Ellis, A.B., Blanton, M., Brizuela, B.M. (2017). I J. Cai (red.). Algebraic Thinking in the Elementary and Middle Grades. Compendium for Research in Mathematics Education (s. 386–420). Reston, VA, NCTM.
  3. Kaput, J. (2008). What is algebra? What is algebraic reasoning? I J. Kaput, D. Carraher, & M. Blanton (Red.). Algebra in the early grades (s. 5–17). New York: Lawrence Erlbaum Associates.
  4. Blanton, M. L (2008). Algebra and the elementary classroom: Transforming thinking, Transforming practice. New York: Pearson Education.

Del tema Tag med