Undersøgelsesbaseret matematik­­­­­­­­­­­­­­undervisning

Undersøgelsesbaseret matematikundervisning kan tjene forskellige formål og antage forskellige former. Formålet kan være at udvikle bestemte matematiske kompetencer hos eleverne som fx problembehandlingskompetence og modelleringskompetence, hvor en undersøgende tilgang er uomgængelig,  men også de andre kompetencer kan fremmes gennem undersøgelsesbaseret undervisning. Tilgangen kan i høj grad også tjene til at styrke elevernes begrebsforståelse og til at støtte læring af ny viden og nye begreber. Uanset læringssigtet er det en pædagogisk pointe ved den undersøgende tilgang, at der etableres motiver for elevernes arbejde, som retter sig mod at kunne overkomme udfordringerne i de problemstillinger og situationer, som er genstanden for elevernes arbejde.

Det er afgørende, at aktiviteten iscenesættes over for eleverne, så de får mulighed for at danne sådanne motiver, og at aktiviteten er designet, og at den styres, så eleverne faktisk kan overkomme udfordringerne på måder, der fremmer det faglige læringsmål. Dette bør også være eksplicit i modelleringsaktiviteter, hvor rammesætningen i lige så høj grad sættes af virkelighedskonteksten som af matematiske spilleregler for løsningen af problemet.

Endvidere er det en pointe ved en undersøgende tilgang, at eleverne erfarer, at det gennem selvstændig brug af og refleksion over deres matematiske viden er muligt individuelt eller i elevfællesskabet at overvinde de faglige udfordringer de stilles overfor, og at de herigennem udvikler deres matematiske færdigheder, viden og kompetencer.

Vi fokuserer her på fire typer af undersøgelsesbaseret matematikundervisning, der er relevante i gymnasiet:

1. Den interne matematiske undersøgelse styret af få sammenhørende opgaver. Se eksemplet med 'ab - ba'-scenariet
2. Matematisk problemløsning i en semiautentisk kontekst. Se eksemplet med regneregler for vektorer
3. Matematisk problemløsning i relation til en autentisk model. Se eksemplet med eksponentialfunktioner og logaritmer
4. Eksplicitte modelleringsprojekter. Se eksemplet med differentialligninger

På hver deres måde understøtter de elevernes konstruktion af kompetencer, viden og færdigheder i både mere ren matematisk form og i et anvendelsesorienteret perspektiv. Alle fire typer er relevante i forskellig udstrækning i alle de gymnasiale uddannelser, hvorfor det er en udfordrende og spændende læreropgave at fastlægge, hvor meget, hvor ofte og helt præcist hvornår de enkelte typer er vigtige at inddrage i undervisningen.

Som en del af svaret på dette spørgsmål kan der henvises til et konstruktivistisk læringssyn. Her fremhæves betydningen af, at eleverne tilbydes læringssituationer, hvor de kan få erfaringer og opnå resultater, der kan danne grundlag for deres konstruktion af centrale faglige begreber, metoder og sammenhænge. Dette bør de efterfølgende skulle bruge til at løse nye problemer, hvorved elevernes autonomi styrkes. (Kilde 11 og 12)     

I eksemplet om vektorregning giver den undersøgende tilgang mulighed for, at eleverne kan konstruere begreber, der direkte eller med mindre korrektioner svarer til definitionerne af centrale begreber inden for vektorregningen. Samtidig giver læringsmiljøet eleverne mulighed for at erfare sig til forskellen på at addere længden af givne vektorer og at finde længden af summen af vektorerne. Det at have erfaret sådanne faglige pointer frem for at få dem fortalt, giver ejerskab. Når eleverne først én gang har oplevet, at begreberne kan forstås og anvendes i en konkret problemsituation, har de nemmere ved at huske dem og bringe dem i spil i nye sammenhænge, sammenholdt med hvis eleverne skal genkalde sig argumenter formuleret af læreren eller i lærebogen.

Elever har naturligvis stadig glæde af andres præsentation (læreren, lærebogen, videomaterialer, stærkere elever etc.) af matematiske begreber og sammenhænge, men det skal helst være i en sammenhæng, hvor de kan koble dette til egne erfaringer og situationer, hvor de har brug for denne nye viden, og hvor den straks kan bruges til at konstruere svar på spørgsmål, der aktuelt optager eleverne. 

Det minder om forskerens arbejde

Får eleverne succes med at konstruere matematiske sammenhænge og begreber, vil det styrke deres sikkerhed i at formulere samt til at følge og spørge ind til andres matematiske argumenter. På flere måder vil elevernes arbejdsmåde komme til at minde om forskerens arbejde i den forstand, at de drives af at ville løse et problem, der kræver, at de forstår problematikken, forsøger at løse den med velkendte begreber og metoder, der må kombineres på nye måder, og som til tider vil kræve, at eleverne tilegner sig ny viden via lærebøger, internetopslag, andre bøger, klassekammerater eller læreren. En sådan problemdrevet elevvirksomhed rækker langt ud over sædvanlig opgaveløsning, hvor eleverne forventes at følge fremgangsmåder, som de tidligere har set anvendt på tilsvarende opgaver.

Når eleverne arbejder undersøgende med mere åbne problemer, må det forventes, at deres første tilgange og svar vil være ufuldendte og ikke nødvendigvis delbare med alle andre elever i klassen, men gennem formuleringer til eksempelvis gruppemedlemmer eller andre i klassen forbedres svaret til noget, der kan formidles og godtages af hele klassen. Dette har ligheder til en forskningspraksis, hvor løsning af problemer leder til foreløbige hypoteser om løsninger, der afprøves, understøttes af yderligere argumenter og præciseres, med det formål at besvare forskningsspørgsmålet gennem udvikling af ny viden, der til sidst fagfællebedømmes for at blive godtaget som nyvunden og officiel viden.

Eleverne i gymnasiet skal dog ikke engageres i undersøgelsesbaseret matematikundervisning med det formål at kende eller efterligne en forskningspraksis. Formålet er, at de i lighed med forskeren skal skabe sig sammenhængende begrebsapparater, et sikkert fundament og en reel autonomi ift. at bruge, gøre og tænke matematik.

Det nævnes i læreplanerne for de gymnasiale uddannelser

Ovenstående pointer genfindes ydermere i læreplanerne for de gymnasiale uddannelser. For STX matematik B står der således under didaktiske principper, at:

"Gennem en undersøgende tilgang til matematiske emner og problemstillinger skal elevernes matematiske begrebsapparat og innovative kompetencer udvikles."

Dette skal afspejles i arbejdsformer, der indledningsvist beskrives, ved at:

"Elevernes mulighed for selvstændig tilegnelse og anvendelse af matematiske begreber samt problemløsnings- og modelleringsstrategier skal stå i centrum for ethvert valg af arbejdsform."

Tilsvarende formuleringer findes for de øvrige uddannelser.

I vejledningen til læreplanerne står der videre for alle tre niveauer, at:

"De teoretiske dele af matematikken opbygges gennem undersøgende spørgsmål og eksperimenterende aktiviteter, postulater, formodninger og beviser for endeligt at konsolideres som en del af elevens værktøjskasse gennem anvendelser i opgaveregning og i projekter i arbejdet med større og mere åbne problemstillinger eventuelt hentet fra andre fagområder. Indgangen til at forstå matematiske begreber og mestre matematiske procedurer går ad forskellige veje for forskellige elevtyper, og en meningsfuld undervisning tilrettelægges derfor med varierende udgangspunkt, så den enkelte elev bliver bevidst om, hvilken vej ind i faget der er mest velfungerende for netop ham eller hende." (Kilde 16 og 17) 

Begrundelserne for, at undersøgelsesbaseret matematikundervisning indgår i læreplanerne for faget i gymnasiet, kan således i vid udstrækning hentes i den matematikdidaktiske og pædagogiske litteratur refereret ovenfor. Hertil kommer, at arbejdsmarkedet i stadig højere grad efterspørger personer, der kan formulere og løse problemer fremfor at være hurtige til standardprocedurer, der lige så godt kan løses af en computer. (Kilde 13)

Hvad angår den undersøgende tilgang afspejler læreplaner og vejledninger i faget således i vidt omfang både aftagerønsker, og den matematikdidaktiske forskning på området. Udfordringen består i at få omsat intentionerne til undervisningspraksis under de givne rammer. 

Kernen i undersøgelsesbaseret matematikundervisning er – uanset om den teoretiske ramme er TDS, ATD, RME, problemløsning eller noget helt andet – et godt problem.

Et godt problem er et problem, som eleverne kan relatere sig til, noget der er virkeligt i den forstand, at de kan se for sig, hvad problemet er.

Det betyder, at eleverne straks kan handle på det, uden dog at kunne løse problemet. At løse problemet skal kræve, at eleverne prøver nogle forskellige strategier af, hvor de anvender viden, færdigheder og kompetencer, de allerede har opbygget. Nogle gange vil det være tilstrækkeligt, at eleverne bruger deres matematiske redskaber på nye måder, andre gange vil problemerne skabe behov for, at de genbesøger tidligere præsenteret materiale eller opsøger nogle helt nye og bringer disse i spil med eksisterende metoder og begreber. Ofte vil gode problemer kunne angribes fra mange forskellige vinkler, hvor man kan udnytte, at forskellige elevgrupper vil vælge og udvikle forskellige strategier. Det er værd at bemærke, at strategier, der for læreren synes ens eller variationer over den samme strategi, for eleverne kan fremstå som væsensforskellige. Det kan fx være, at de bygger på variable, der er navngivet forskelligt, der er byttet om på rækkefølger af led osv. Derfor er det vigtigt, at læreren eksplicit adresserer ligheder og forskelle i elevernes bidrag. (Kilde 14)

Situationer, hvor flere strategier er i spil, vil muliggøre samtaler i plenum eller grupper, hvor elever kan argumentere for, hvilke strategier der er smartere, mere præcise eller generelle end andre. Herved får eleverne udbygget deres viden, kompetencer og færdigheder med udgangspunkt i deres egne umiddelbare og konkrete svar. Det gør, at eleverne bedre kan relatere deres læring til den officielle viden om emnet, som den er præsenteret i fx lærebøger.  

Gennemgang af teori ved læreren, hvor der ikke skabes forbindelse til de enkelte elevers udgangspunkt, kan risikere ikke at bidrage til elevernes opbygning af en sammenhængende begrebsforståelse. For nogle elever kan det betyde, at udvidelser af kendte begreber og emner bliver opfattet som nye elementer, der hver især skal huskes.

Det er en pointe ved undersøgelsesbaseret matematikunder­visning, at den kan være med til at skabe sammenhæng og mening for eleverne og styrke deres mulighed for integration af ny læring.

Design af problemer

Når vi taler om undersøgelsesbaseret matematikundervisning, er det væsentligt at holde sig for øje, at gode problemer kan være vanskelige at designe og udvikle.

Mange af problemerne designet til dansk gymnasieundervisning tager udgangspunkt i opgaver eller problemer hentet fra eller inspireret af forskningslitteratur, egen undervisning eller lærebøger. De originale designs er her blevet omformet og videreudviklet med afsæt i TDS og RME, men andre teorier eller idéer kan naturligvis også bruges. (Kilde 10 og 14)

Den væsentlige pointe er at basere sin undervisning på rige problemer, hvor eleverne kan udvikle en række forskellige strategier, der på forhånd kan formuleres af lærerne – velvidende at der altid opstår variationer og strategier, man ikke har forudset. Som led i forberedelsen kan man som lærer overveje, hvordan man kan sammenholde forskellige strategier og metoder fra elevernes undersøgende arbejde, og hvordan det kan understøtte elevernes læring af den tilsigtede viden.

Det kan være værdifuldt at være fælles med kollegaer om at udvikle de gode problemer – og også afprøve dem i fællesskab, så man sammen kan vurdere, hvordan forskellige dele af designet understøttede elevernes læring, og hvilke dele der måske nok kræver justeringer i fald, det skal bruges igen.

Det at arbejde undersøgende med egen praksis for undersøgelsesbaseret matematikundervisning er temaet i Timeprojektet. Projektet bygger på idéen om praksisfællesskaber som udgangspunkt for udvikling af egen undervisningspraksis. (Kilde 15)

Se også Tema om lektionsstudier, om udvikling af egen undervisningspraksis.

Ovenstående kan lyde attraktivt og interessant, men måske også som en luksus, der kan være svær at finde plads til i en dagligdag, hvor tiden i forvejen er presset, hvis man skal nå alle dele af læreplanernes målbeskrivelser. Det er således ikke realistisk eller ønskværdigt at lægge al undervisning om til en undersøgelsesbaseret tilgang. Tværtimod skal dette ses som et redskab, der kan trækkes frem, når der byder sig et rigt problem, der skaber behov for faglige begreber og metoder, der ligeledes er del af målbeskrivelserne. Dette kan være for at overkomme et undervisningsproblem (et emne, begreb eller metode, hvor al erfaring viser, at eleverne er stærkt udfordrede) eller for at dække de målbeskrivelser, der omhandler denne tilgang til faget. Ofte vil et enkelt problem både kunne dække konkrete begreber eller metoder og samtidig videreudvikle elevernes brug af givne matematiske områder som fx skolealgebraen samt udvikle deres matematiske kompetencer generelt.

Man kan med fordel benytte sig af undersøgelsesbaserede metoder som introduktion til nye emner. Særligt, hvis det skal kobles til elevernes eksisterende viden, uden det er et emne, man selv har undervist i. Herved sker der en kobling til elevernes eksisterende viden om emnet, der kan opbygges et fælles sprog i klassen, og læreren kan få en vigtig indsigt i elevernes forudsætninger.

Dette sker til dels i eksemplet med introduktion af vektorer og i eksemplet, hvor første spørgsmål i undervisningen skal koble rentesregning formlen med eksponentiel vækst. Man kan også vælge at arbejde undersøgende med centrale metoder eller begreber i et emne for at støtte, at eleverne får et solidt begrebsgrundlag at arbejde videre med. Dette er demonstreret med hovedspørgsmålet, der skal lære eleverne om fordoblingskonstanten for eksponentiel vækst. Tilsvarende handler modelleringsprojektet om, at eleverne skal udvikle dybere indsigt i opstillingen af 1. ordens differentialligningsmodeller.

Det eksemplariske princip

Undersøgelsesbaseret matematikundervisning lægger således op til anvendelse af det eksemplariske princip. Princippet er, at eleverne vil opnå indsigt i centrale begreber, metoder, gyldige argumenter og relevante repræsentationer inden for et givet emneområde gennem dybdegående arbejde med udvalgte problemer. I forlængelse heraf kan man tænke på udvikling af undersøgende forløb som en investering i ens fremtidige undervisning. Når man først har udviklet og afprøvet et velfungerende forløb, der er eksemplarisk i forhold til centrale læringsmål, kan det genbruges, hver gang man underviser en ny klasse i det pågældende emne. Gennem deling af forløb udviklet i praksisfællesskaber, fx i faggruppen på skolen, kan man endvidere opbygge et arsenal af undersøgende forløb. Herved kan det blive, om ikke nemmere, så i hvert fald overkommeligt og under alle omstændigheder mere interessant at undervise i matematik.