Eksempel: Forløb om differentialligninger

Udgangspunktet for det tværfaglige samspil er følgende problem:

Hvordan kan en patient smertedækkes med et stof som paracetamol - hvordan virker depotmedicin, og hvordan kan det modelleres matematisk?

Forklar de biologiske effekter af at tage medicinen hhv. oralt og intravenøst, opstil en matematisk model baseret på differentialregning, der illustrerer de to processer, og løs ligningerne i det generelle tilfælde. Giv et konkret eksempel, hvor en patient smertedækkes med paracetamol, og angiv hvor ofte medicinen bør doseres – hvilke parametre (absorption, eliminationsfaktor, biotilgængelighed) er væsentlige i denne sammenhæng? Hvilken forskel gør det, om medicinen doseres oralt eller intravenøst? Brug din model i dit svar.

Eleverne havde ikke tidligere arbejdet med smertebegrebet eller nervefysiologi i biologi. I matematik havde klassen haft et enkelt modul om differentialligninger, hvor de havde udledt eller gættet løsninger til ligninger på formen

Eleverne havde tjekket, hvorvidt deres gæt var korrekte ved at 'gøre prøve', og de fik udleveret kapitlet om differentialligninger fra A-niveau-bogen i samme serie som deres B-niveau-bog.

Det undersøgende arbejde i elevhandlingerne

Da SRO’en skal træne elevernes selvstændige arbejde med et givet stofområde og deres udforskning af dette, valgte lærerne til opstarten af projektet blot at udlevere det overordnede spørgsmål:

Hvordan kan en patient smertedækkes med stof som paracetamol - hvordan virker depotmedicin, og hvordan kan det modelleres matematisk?

Herefter skulle eleverne lave en note til dem selv som de samtidig sendte til lærerne, hvor de beskrev, hvilken viden fra matematik og biologi de skulle bruge for at besvare spørgsmålet, samt hvad de ville søge mere viden om.

Elevernes umiddelbare overvejelser

Elevernes umiddelbare svar, før de havde haft adgang til at søge inspiration på internettet, var, at de kendte til anbefalingerne om at indtage maksimalt 1000 mg paracetamol hver 6. time, men at de ellers kendte for lidt til stoffets funktioner til at kunne besvare spørgsmålet. De ville derfor søge viden om stoffets omsætning i maven og funktion videre ud i kroppen. Desuden vidste eleverne intet fagligt om smertebegrebet, hvorfor det skulle undersøges. Endelig mente nogle elever, at de skulle finde stoffets halveringstid i blodet for at kunne sige noget om smertedækningen. Heri ligger en reference til klassens arbejde med eksponentialfunktioner, hvilket eleverne senere erfarede var en løsning til differentialligningen \(= k ⋅ y\), der er model for stofmængden i blodet som funktion af simpel biologisk nedbrydning.

Eleverne søger viden

Eleverne blev herefter sendt hjem med den lektie, at de skulle søge materialer, de kunne forestille sig ville være relevante for deres SRO, og lave et første udkast til en litteraturliste, der blev afleveret til lærerne elektronisk. Desuden havde eleverne fundet et kapitel om nervefysiologi i deres biologibog, de havde fundet hjemmesider om medicinudvikling fra medicinalindustrien, Wikipedia-opslag, og enkelte havde fundet materialer på biblioteket, herunder kapitlet 'Matematik i medicinudviklingen', der havde inspireret SRO-problemet. (Kilde 1)

Nogle elever fandt det for svært selv at læse disse tekster, og navnlig at bruge dem som grundlag for afgrænsning og præcisering af problemet. Andre elever fik selv formuleret brugbare underspørgsmål. Som opsamling på elevernes indledende undersøgelser fik alle elever udleveret den udfoldede formulering af problemet.

Midtvejs i projektet blev eleverne igen bedt om at skrive ned, hvilke faglige elementer de brugte fra hhv. matematik og biologi til at besvare problemet, samt hvad de nu manglede at få svar på, samt hvor de ville lede efter svar.

Elevernes spørgsmål til lærerne

Hvis eleverne ville spørge lærerne om hjælp, så skulle de have sendt deres spørgsmål på forhånd til lærerne. Dette sikrede at eleverne faktisk formulerede deres udfordringer som spørgsmål, hvilket hjalp dem til selv at besvare dem og gjorde dem skarpere på, hvad de havde problemer med.

Det drev desuden eleverne til at spørge hinanden først, fx om hvordan dele af lærebogsmaterialet skulle forstås og kunne bruges, og de sammenlignede deres modeller og forklaringer, inden de gik til lærerne. Denne organisering var frugtbar for deres besvarelser, læring af det faglige indhold og for elevernes selvstændighed i processen.

Eleverne undrede sig over og undersøgte biologiske begreber og spørgsmål som:

• Akutte versus diffuse smerter.
• Nerveceller og signaler.
• Hvordan virker et stof som paracetamol på disse signaler?
• Hvordan transporteres det virksomme stof fra mavesæk eller blodbane til blokering af smertesignaler?
• Hvor meget stof skal der til i blodet, førend smertesignalet reduceres eller fjernes?
• Hvilke bivirkninger findes der ved indtag af stoffet?
• Hvilke effekter har det, hvis man tager for meget?
• Hvilke organer påvirkes, hvordan og hvorfor?

Behov for modellering

Da det ikke er muligt at lave eksperimenter med indtagelse af paracetamol og koncentrationsmålinger i blodet over tid blandt eleverne, skabte ovenstående spørgsmål behov for modellering af situationen og dermed et behov for differentialligninger.

Materialerne, som eleverne havde fundet til deres litteraturliste, gav dem idéen om compartment-systemer, hvor de brugte deres nyvundne og eksisterende biologiske viden til at forklare opstillingen af et- og to-compartment-systemerne samt forklare de biologiske mekanismer, der ligger bag 'hastighedsfaktoren', med hvilken metabolismen foregår.

Figur 1: Diagrammet til venstre viser et-compartment-systemet ved intravenøs dosering, diagrammet til højre viser to-compartment-systemet ved oral dosering. (Kilde 1)
Begge diagrammer beskriver en situation med én dosering, der er repræsenteret ved startværdien i henholdsvis A og A^mave. Koefficienterne K og K_a er beskrevet nedenfor.

Biologien blev desuden brugt til at forklare behandlingsvinduet, hvor stofkoncentrationen skal ligge for at sikre smertedækning uden at risikere bivirkninger gennem overdosering. Eleverne fandt koncentrationen ved at dividere funktionerne for mængden af stof igennem med den gennemsnitlige blodmængde for en voksen person.

Opstillingen af den matematiske model, der viser multipel oral dosering under de af biologien fastsatte rammer, gav svaret på, hvor ofte medicinen skulle doseres for at sikre smertedækning. På denne måde opstod der en helt naturlig vekselvirkning mellem biologi og matematik, hvilket understøttede faglige mål i begge fag.

Eleverne arbejdede i første omgang kun med enkelt dosering, hvor enten to piller sluges, eller en dosis gives intravenøst. Elevernes matematiske arbejde kom derfor i vid udstrækning til at omhandle ligningerne:

Hvor \(A(t)\) betegner stofmængden i blodet, $A^{mave}(t)$ er stofmængden i maven, \(F\) angiver, hvor stor en andel af det stof som kommer ned i maven, der kan måles i blodet (resten udskilles på anden vis), $k_a$ er absorptionskoefficienten, der angiver, hvor hurtigt stoffet absorberes fra maven til blodet, hvor \(k\) er eliminationskoefficienten, der siger, hvor hurtigt stoffet forsvinder fra blodet igen via nyrerne.

Elevernes diskussioner

Som udgangspunkt brugte eleverne de gennemsnitværdier, der forefindes i lærebogen (Kilde 1), men i en vekselvirkning med biologi begyndte de at diskutere betydningen af forskellige individuelle biologiske og medicinske forhold.

Hvordan kan man i modellen fx tage hensyn til, om patienten er en lille kvinde eller en stor mand, er overvægtig, er ung eller gammel og har kroniske sygdomme?

Eleverne diskuterede, hvilken indvirkning disse forhold kan have på parametrene i modellen og anvendte forskellige værdier i deres modelberegninger. Dette påvirkede særligt den funktion, eleverne opstillede for multipel dosering og den steady state-funktion, det fører til. Nogle elever gjorde dette ved at ændre på koefficienterne i modellen, hvilket gav dem nye grafer i deres CAS-værktøj. Andre elever gav en skriftlig redegørelse for, hvordan disse forhold ville ændre grafen og behandlingsmulighederne. Eleverne fik hermed et mere nuanceret billede af brugen og restriktioner på håndkøb af paracetamol.

Dele af ovenstående kan hentes i lærebogsmaterialet (Kilde 1), hvilket nogle elever blot refererede, andre gjorde prøve og argumenterede for, at de løsninger bogen eller CAS-værktøjet angav, faktisk løste differentialligningen. Endelig var der en del elever, der selv opstillede udtrykket, udledte en løsning ved at bruge, og enkelte viste, sætninger fra kapitlet fra A-niveau bogen.