Modelleringscyklussen

Matematisk modellering omfatter en række væsentlige ingredienser, der ofte beskrives i en såkaldt modelleringscyklus. Modelleringscyklussen består af et sæt af processer, der nødvendigvis må indgå i modelleringsarbejdet.

Modelleringscyklussen skal forstås som en analytisk rekonstruktion af disse processer, ikke som et rutediagram for, hvad man faktisk foretager sig. De enkelte stationer i modelleringscyklussen kan besøges ad mange forskellige ruter eller i nogle situationer ligefrem springes over. Ruten for en konkret modellering afhænger ikke mindst af de(t) ekstra-matematiske spørgsmål, der behandles, og af modellørens viden og erfaring.

Der findes i litteraturen adskillige udgaver af denne modelleringscyklus, hvor de indgående processer er vægtet forskelligt alt efter formålet med cyklussen. (fx i Kilde 1)

En simpel modelleringscyklus (til brug i undervisningen)

Hvis man koger sagen helt ind til benet, vil en simpel modelleringscyklus omfatte fire processer, som illustreret på figur 1 nedenfor. I figuren er der et forløb, der beskriver en oversættelse af situationen, som vi kalder $f$, problemstillingen i det ekstra-matematiske domæne (eller virkelighedsdomænet), som kaldes $D$, og det matematiske domæne, som kaldes $M$ (fx algebra, funktioner, infinitesimalregning, geometri, sandsynlighedsregning og statistik osv.).

I det matematiske domæne foretages en matematisk problemløsning af det oversatte problem, hvorefter løsningen fortolkes tilbage som svar i virkelighedsdomænet. Endelig sker der en validering af de fundne svar og en evaluering af modellen i forhold til det oprindelige problem. Hvis det fremkomne resultat ikke er tilfredsstillende, kan cyklussen gennemløbes igen. Den simple model anbefales til brug i undervisningen ved en indledende diskussion af matematisk modellering med elever – både før og efter deres arbejde med modellering.

Processerne 'oversættelse' og 'fortolkning' omtales ofte som henholdsvis 'matematisering' og 'afmatematisering'.

 

Figur 1 

Den simple modelleringscyklus beskrevet i figur 1, har fx tidligere optrådt som del af rammeværket bag designet af opgaver og evalueringer af besvarelser heraf i den internationale undersøgelse PISA. (Kilde 2)

En udfoldet modelleringscyklus

I den udfoldede model af modelleringscyklussen, se figur 2 nedenfor, er der mere fokus på de indledende processer, der kommer før selve oversættelsen.

Samlet set omtales disse som præ-matematisering. I venstre side af figuren illustrerer ’amøben’ den ofte lidt uldne virkelighed. Indeni har vi derimod en mere tilskåret, såkaldt idealiseret, situation inden for det ekstra-matematiske domæne, repræsenteret ved en sekskant. Selve tilskæringen finder sted ved såvel ’specificering’ som ’idealisering’ af det ekstra-matematiske domæne. Disse består i at træffe en mængde valg og gøre en række antagelser i forhold til de aspekter af den virkelige situation, som tænkes afgørende for selve modelleringen.

Formålet hermed er at reducere kompleksiteten af det virkelige problem, så dette kan bringes på en form, som kan matematiseres. Den idealiserede situation er også af relevans for den senere afmatematisering, når de svar, modellen giver, skal fortolkes og valideres.

Hver pil i modelleringscyklussen repræsenterer en for modelløren krævende proces. Processerne er krævende på forskellige måder – og i undervisningssammenhænge vil hver enkelt proces give anledning til forskellige udfordringer og/eller vanskeligheder for eleverne.

Figur 2 illustrerer en udvidet udgave af modelleringscyklussen. (Kilde 3)

Processer i modelleringscyklussen

Præ-matematisering

En fælles betegnelse for de processer, herunder specificering og idealisering, der foregår inden en virkelig situation oversættes til matematik, altså inden matematisering foretages.    

Matematisering

Den egentlige oversættelse af den idealiserede situation til matematik, fx gennem valg af funktioner, opstilling af algebraiske ligninger, differens- eller differentialligninger, geometriske objekter mv.    

Problemløsning

Den matematiske aktivitet, der består i at bestemme matematiske løsninger til og svar på den matematiserede problemstilling.    

Afmatematisering

Processen med at fortolke det matematiske resultat i termer af den virkelige kontekst, i første omgang måske den idealiserede situation.    

Validering

Den proces, hvor svarene fra den opstillede model valideres i forhold til svar vedrørende den virkelige situation.

til: GYMNASIER
emne: MATEMATISK MODELLERING

UDGIVET: 2021

Forfattere

Mogens Niss

Professor emeritus
Roskilde Universitet

Uffe Thomas Jankvist

Professor
Aarhus Universitet


Udgiver

Temaer på matematikdidaktik.dk udvikles i tæt samarbejde mellem forskere og praktikere og udgives af NCUM.
Se redaktionen og vores redaktionelle retningslinjer

Kilder

  1. Niss, M., & Blum, W. (2020). The learning and teaching of mathematical modelling. Milton Park, UK: Routledge.
  2. Lindenskov, L., & Jankvist, U. T. (2012). Matematik (Danish results of PISA 2012). PISA, 16-70.
  3. Niss, M. (2010). Modeling a crucial aspect of students’ mathematical modeling. In Lesh, R., Galbraith, P. L., Haines, C. R., & Hurford, A. (Eds.) Modeling Students’ Mathematical Modeling Competencies: ICTMA 13 (pp. 43-59). New York: Springer.

Del tema Print