Generelt at kunne gennemføre matematisk modellering kræver besiddelse af matematisk modelleringskompetence. Den udgør en af de otte matematikkompetencer i KOM-rapporten og har som de andre kompetencer både en analyserende og en udøvende side. (Kilde 1)
Den analyserende side af modelleringskompetencen dækker over at kunne analysere grundlaget for og egenskaberne ved foreliggende modeller og at kunne bedømme deres rækkevidde og holdbarhed. Hertil hører at kunne 'afmatematisere' (træk ved) foreliggende matematiske modeller, dvs. at kunne afkode og fortolke modelelementer og -resultater i forhold til det felt eller den situation, som er modelleret. (Kilde 1)
Den udførende side af modelleringskompetencen dækker derimod over at kunne udføre aktiv modelbygning i en given sammenhæng, dvs. at bringe matematik i spil og anvendelse til behandling af anliggender uden for matematikken selv. Dette dækker i alt væsentligt over at kunne gennemføre alle de forskellige processer i modelleringscyklussen. (Kilde 1)
Læs også om Modelleringscyklussen
Når man taler om at udvikle matematisk modelleringskompetence – fra et matematikdidaktisk synspunkt – skelner man ofte mellem en holistisk og en atomistisk tilgang til modellering. (Kilde 2)
Denne holistiske tilgang dækker over, at man i en undervisningssituation sørger for at eleverne gennemløber samtlige processer af modelleringscyklussen under ét.
Dette kan fx ske ved at stille meget åbne modelleringsspørgsmål a la "Hvor mange mennesker kan der bo på jorden?" eller "Hvad er den mest optimale form på en tandpastatube?"
I eksemplet, hvor højden af et hus skal bestemmes ud fra et fotografi, kræves også en holistisk tilgang til modellering. Tankegangen bag denne tilgang er, at autentisk modelleringsvirksomhed sædvanligvis er af holistisk natur.
Find øvrige eksempler i en dansk kontekst: Kilde 3
I denne tilgang søges én proces, eller et mindre antal af processer, i modelleringscyklussen udviklet ad gangen hos eleverne.
Fx kan man måske have foretaget centrale dele af præ-matematiseringen for eleverne, hvorefter deres opgave består i at oversætte problemet til matematik, altså at matematisere. På lignende vis kan en specifik problemløsning serveres for eleverne, såfremt fokus er på at træne fortolkningen af dennes resultater tilbage til den ekstra-matematiske kontekst, altså afmatematiseringen.
Tankegangen bag denne tilgang er dels, at nogle af processerne i modelleringscyklussen er uvante eller særligt kognitivt krævende for eleverne og derfor kan kræve særlig opmærksomhed, dels at modelleringssituationer, der indebærer hele cyklussen fra start til slut kan fremstå uoverskuelige og overvældende.
Forskningen peger i stigende grad på, at udviklingen af modelleringskompetence kræver en vekslen mellem holistiske og atomistiske tilgange til arbejdet med modelleringssituationer.
Et centralt begreb i forbindelse med modellering, uanset didaktisk kontekst eller ej, er ideen om iværksat foregribelse.
Iværksat foregribelse refererer til det faktum, at en modellør skal være i stand til konkret at foregribe såvel centrale dele af de næste skridt i den forestående modellering som mulige (matematiske og andre) konsekvenser af de modelleringsvalg, der træffes (i tidligere processer i modelleringscyklussen).
Fra en holistisk betragtning i forhold til modelleringscyklussen betyder dette, at modelløren skal kunne projicere sig selv ind i det næste, endnu ikke foretagne, skridt af cyklussen og iværksætte og justere sine valg herefter. Dette kan fx omfatte et hensigtsmæssigt valg af matematisk domæne, M, eller indførelsen af velvalgte variable i matematiseringsfasen.
Særligt udøves evnen til iværksat foregribelse i præ-matematiseringsfasen, idet den erfarne modellør vil kunne gennemskue mulige konsekvenser af foretagne specificeringer og idealiseringer. Fx kan den foretagne præ-matematisering give anledning til et system af koblede differentialligninger, som enten kan løses analytisk eller måske kun kan behandles numerisk i den matematiske problemløsningsfase. Endvidere vil den erfarne modellør kunne gennemskue konsekvenserne af den foretagne præ-matematisering for den efterfølgende validering af den opstillede models resultater og egenskaber. (Kilde 4)
Arbejdet med modellering kan både være et mål i sig selv og et middel til at fremme matematiktilegnelse.
Når man søger at udvikle elevers matematiske modelleringskompetence som et selvstændigt formål i egen ret, taler man modellering som mål. (Kilde 5)
Men fra et didaktisk synspunkt kan modellering også tjene som et middel til at fremme elevernes matematiktilegnelse, fx ved at øge deres motivation for beskæftigelse med matematik eller styrke deres matematiske begrebsdannelse. Det kan ske på flere måder, nedenfor nævnes to:
Hvor det i modellering som matematisk problemløsning ofte handler om at identificere og aktivere det/de matematiske begreb/er (objekt/er), der ved behandling kan føre til et matematisk korrekt og brugbart svar, handler det i MEA om at udvikle selve det matematiske begreb for eleverne. Derfor skabes der ekstra-matematiske situationer, hvori eleverne skal aktivere, adaptere, modificere og forfine de ideer, de allerede har angående et givet begreb, frem for at få dem til at tænke på en bestemt vis. (Kilde 6)
Som et eksempel kan et antal gennemløb af aktiviteter, der handler om skalering, ses som et middel til at fremkalde en model, der skaber eller konsoliderer elevers forståelse af det matematiske begrebs proportionalitet. Andre typiske eksempler angår virkelighedssituationer omhandlende hastighed og acceleration til udvikling af elevers forståelse af differentialkvotient.
Se også eksemplet om bestemmelse af højden på et hus.
Tilgangen bygger på den hollandske tradition vedrørende Realistic Mathematics Education (RME) og på Hans Freudenthals idéer om guided reinvention af matematiske begreber, metoder mv., altså det at eleverne under kyndig vejledning selv skal genopfinde/opdage (dele af) matematikken. (Kilde 7)
Der er i denne tilgang ikke så meget tale om en matematisk model i egentlig forstand, men derimod om en model for et begreb, som elever selv laver og udvikler til at understøtte deres situerede, uformelle strategier. Over tid forventes denne begrebsmodel at udvikle sig til en model for elevernes mere formelle matematiske betragtninger. Det centrale her er, at denne model er forankret i elevernes egne erfaringer og 'eksperimentelle' viden.
Det hele begynder med, at eleverne modellerer deres egen uformelle matematiske aktivitet, og også her er arbejdet med hastighed et yndet eksempel i litteraturen. (Kilde 8)
til: GYMNASIER
emne: MATEMATISK MODELLERING
UDGIVET: 2021