Et eksempel på en matematisk modellering

Der er ingen ende på arten og mængden af eksempler på modelleringssituationer, som kan illustrere de grundlæggende begreber og processer. Der er heller ingen ende på variationen af forbindelser og samspil mellem ekstra-matematiske domæner og matematiske domæner. I nogle tilfælde er der tale om en høj grad af matematisk kompleksitet og sofistikation, i andre er de matematiske teknikaliteter endog meget beskedne. Vi vil her præsentere et eksempel af den sidste type, hvor hele modelleringsprocessen er meget tydelig.

En simpel modelleringsopgave

Opgaveformulering: Hvor høj er bygningen i forgrunden af billedet?


Om opgaven

Opgaven handler om at bestemme højden på bygningen ved at gennemføre en modelleringsproces baseret på analyse af fotoet og realkendskab til fx højden af mennesker, bygningsetager eller bygningselementer. Der er flere forskellige rimelige modelleringsveje.

Der er tale om en modelleringsopgave, hvor man på elementær vis kommer hele vejen rundt i modelleringscyklussen. Opgaven har været stillet til mange hundrede danske gymnasieelever på STX, HHX, HTX, EUX og HF. Ud af ca. 300 blandede gymnasieelever svarede ca. 45% utilfredsstillende på denne opgave. (Kilde 1)

 

Modellering baseret på skalering af nøgleobjekter i billedet omfatter alle de forskellige processer i modelleringscyklussen:

  • Præ-matematisering:
    Vi skal bruge en målestok i billedet. Pga. perspektivforvrængningen vælger vi personen i den røde trøje, da han står tæt på huset. Vi antager, at han har en højde på 1,8 m.
  • Matematisering:
    Vi sætter bygningens højde i billedet ved den valgte person til $b$ og dens rigtige højde til $B$. Ligeledes mandens billedhøjde til $h$ og hans rigtige højde til $H$. Der gælder nu, at $B/H = b/h$. Og det er en ligning i fire variable, hvor $B$ er den vigtige ubekendte!
    Så vi isolerer $B$ , altså $B = (b/h) ⋅ H$
  • Problemløsning:
    Vi måler os frem til, at $h$ går ca. 10 gange op i $b$, og indsætter nu vores antagne værdier. Med $b/h = 10$ og $H=1,8$ m får vi:
    $B = 10 ⋅ 1,8$ m $= 18$ m. Modellen forudsætter, at $b$ og $h$ måles i samme enheder, og den beregner $B$ i den enhed, som $H$ er angivet i.
  • Afmatematisering:
    I dette tilfælde er denne meget simpel, idet vi blot skal konstatere, at vi har beregnet bygningshøjden $B$ til $18$ m.
  • Validering:
    Dette kan evt. foregå ved at sammenholde det fundne resultat med antallet af etager i bygningen og se, om det virker fornuftigt ud fra almindeligt kendskab til bygningers højde.

Det er også muligt at gennemføre en modellering baseret på realkendskab til etagehøjder og -dæk i bygninger.

til: GYMNASIER
emne: MATEMATISK MODELLERING

UDGIVET: 2021

Forfattere

Mogens Niss

Professor emeritus
Roskilde Universitet

Uffe Thomas Jankvist

Professor
Aarhus Universitet


Udgiver

Temaer på matematikdidaktik.dk udvikles i tæt samarbejde mellem forskere og praktikere og udgives af NCUM.
Se redaktionen og vores redaktionelle retningslinjer

Kilder

  1. Jankvist, U. T., & Niss, M. (2020). Upper secondary students’ difficulties with mathematical modelling. International Journal of Mathematics Education in Science and Technology, 51(4), 467-496.

Del tema Print