Eksempel: Negativ black box-effekt
I eksemplet fra 3. g løser en elev en opgave, der er en matematisering af et observeret fænomen, der kan beskrives ved lineære funktioner. I eksemplet viser eleven forståelse for de enkelte handlinger, der indgår i ligningsløsning, men vælger den forkerte strategi til løsning af den givne ligning og anvender 'solve'-funktionen i CAS til at løse opgaven. Eksemplet belyser, hvilke huller der kan være i begrebsdannelsen, når CAS anvendes som black box.
I opgaven ses, hvordan ligningsbegrebet indgår som del af en på forhånd opstillet matematisk model.
Opgave: Sammenhæng mellem hjertefrekvens og alder
Før i tiden antog man, at sammenhængen mellem en persons maksimale hjertefrekvens og personens alder (målt i år) kunne beskrives ved følgende formel (hvor der ses bort fra enheder):
Maksimal hjertefrekvens = 220 – alder
Senere forskning viste, at denne formel burde ændres en smule. Den nye formel er som følger:
Maksimal hjertefrekvens = 208 – (0,7 ∙ alder)
En avisartikel skrev:
"Et resultat af at benytte den nye formel i stedet for den gamle er, at det maksimale antal hjerteslag per minut for yngre mennesker nedsættes en smule, mens det for ældre mennesker forhøjes en smule."
Avisens påstand er korrekt.
Opgave:
Fra hvilken alder og frem forhøjes den maksimale hjertefrekvens ved overgang til den nye formel? Begrund dit svar.
(PISA-opgave - M537Q01)
Opgaven kan beskrives ved hjælp af lineære funktioner
Begge modeller af den maksimale hjertefrekvens er en matematisering af et observeret fænomen, der kan beskrives ved lineære funktioner.
Her skal eleven kunne gennemskue, at den maksimale hjertefrekvens er en funktion af alderen. For at løse opgaven skal eleven kunne oversætte opgavens spørgsmål til, at det er alderen for, hvornår de to udtryk for den maksimale hjertefrekvens er ens, der er relevant at finde. Det vil sige, eleven skal kunne opstille den relevante ligning, løse den og derefter afmatematisere det matematiske resultat, så det igen angives som en alder målt i år, for hvornår den maksimale hjertefrekvens forhøjes ved brug af den nye model.
En erfaren ligningsløser med et velfunderet skema af begrebet lineær ligning, hvor ligningsbegrebet både kan opfattes som proces og objekt, alt efter den givne situation, vil i denne situation ofte opstille og løse ligningen
$220 - x = 208 - 0,7x$
$0,3x = 12$
$x = 40$
hvor $x$ er alderen angivet i år. Således er det fra alderen 40 år og frem, at den maksimale hjertefrekvens forhøjes i forhold til den gamle model.
Eksempel: Elevbesvarelse (3. g)
Følgende er en besvarelse af en 3.g-elev, der udmærket formår at tolke opgaven og opstille den ønskede ligning, men oplever vanskeligheder med det involverede talbegreb, da han skal løse ligningen.
Betragter vi elevens ligningsløsning ud fra et begrebsdannelsesperspektiv med brug af APOS, ses det, at han har et skema, der består af en begrebsforståelse af ligning som en proces tilknyttet en specifik ligningstype.
Eleven følger slavisk en proces for løsning af ligning. Han følger den proces, der er illustreret ved lineær ligning som proces, men det hjælper ham desværre ikke i denne situation.
- Først samler eleven de konstante led, så han får $12 - x = 0,7 ⋅ x$.
- Derefter dividerer han i gennem med $0,7$ i alle led, så han får, at $-17 + \frac {x}{0,7} = x$.
- Her går eleven i stå og tyer til CAS-værktøjets 'solve'-funktion, som giver resultatet $40$.
Af eksemplet ses det, at eleven vælger den forkerte strategi til løsning af den givne ligning. Han viser dog forståelse for de enkelte handlinger, der indgår i ligningsløsning, så som forståelse af lighedstegnet, og hvordan man deler en flerleddet størrelse med et tal.
Dette kan tyde på, at eleven har en begrebsforståelse af ligning som proces 'at skulle isolere $x$' og som objekt 'en ligning beskriver en lighed mellem to størrelser, og løsningen er et tal.'
Dog viser det sig, at de enkelte handlinger i processen 'at isolere $x$' tilsammen ender med at være unyttige for ham. Det kunne tyde på, at det er på grund af decimaltallet $0,7$ og dermed elevens talbegreb, at han oplever problemer med netop denne ligning.
Fuck det, jeg solver...
I eksemplet bruges CAS ikke erkendelsesorienteret og hjælper hverken eleven med at forstå, hvorfor han brugte en forkert løsningsstrategi, eller hvordan han skal håndtere leddet, hvori decimaltallet $0,7$ indgår. Derimod ses det, at eleven kan bruge CAS som et instrument til løsning af ligninger ved brug af funktionen 'solve'. Han bruger CASværktøjet løsningsorienteret til at få resultatet, som han derefter godt kan afmatematisere til opgavens kontekst.
Med udtrykket "Fuck det, jeg solver" giver eleven udtryk for en frustration, hvilket CAS som black box afhjælper. Han bruger CAS som løftestang til løse ligningen for at koncentrere sig om at besvare opgaven og viser hermed at han kan indgå i de dele af matematisk modellering, denne opgave lægger op til. Strengt taget svarer eleven ikke helt præcist på det stillede spørgsmål, dvs. ved at anføre, at for folk over 40 år giver den nye model en højere maksimal hjertefrekvens end den gamle model.
til: GYMNASIER
emne: DIGITALE TEKNOLOGIER
UDGIVET: 2021
Forfatter
Mathilde Kjær Pedersen
Ph.d.-studerende
DPU, Aarhus Universitet
Uffe Thomas Jankvist
Professor
Aarhus Universitet
Udgiver
Temaer på matematikdidaktik.dk udvikles i tæt samarbejde mellem forskere og praktikere og udgives af NCUM.
Se redaktionen og vores redaktionelle retningslinjer
APOS-teorien
APOS står for:
- Action (Handling)
- Process (Proces)
- Object (Objekt)
- Schema (Skema).
APOS-teorien beskriver begrebsdannelse ud fra, at vi i læringsprocessen af et matematisk begreb kan opfatte begrebet som en handling, en proces eller et objekt, hvilket vi organiserer i kognitive skemaer.
Forskellen i at opfatte begrebet lighed og dermed lighedstegnet som handling, proces eller objekt kan ses i et simpelt udtryk som $2 +5 = 7$. Udtrykket kan læses som handlingen at lægge 5 til 2, som en proces, hvor regnestykket $2 + 5$ bliver $7$ eller som et objekt, hvor ligningen udtrykker, at $2 + 5$ er $7$.