Grundlag – At finde sammenhænge mellem tal

Traditionelt har elever i den danske grundskole ikke arbejdet med generalisering af lineære sammenhænge så tidligt som 2. klassetrin, og bogstaver i matematik har typisk først spillet en rolle på de ældste klassetrin. En lang række studier inden for forskningsfeltet tidlig algebra har imidlertid vist, at elever er i stand til at generalisere og anvende bogstavudtryk meget tidligt i deres skoleforløb – helt ned til 1. klassetrin (fx Blanton et al. 2015, Brizuela et al. 2015, Cai & Knuth 2011, Carraher, Martinez & Schliemann 2008, Kieran, Pang & Ng 2016, Stephens et al. 2017).

Forskerne bag disse studier argumenterer for, at bestemte tilgange til tidlig algebraundervisning både vil berige indholdet i undervisningen og styrke elevernes muligheder for at lære algebra. Der findes også studier, som dokumenterer, at elever, der er blevet undervist med disse tilgange, udvikler sig fagligt stærkere på tværs af forskellige emner inden for tal og algebra end elever, der er blevet undervist på mere traditionelle måder (fx Brizuela, Martinez & Cayton-Hodges, 2013).

En af de tilgange til tidlig algebra, der har vist sig lovende, kaldes for funktionstænkning. Det er denne tilgang, læringssporet bygger på. Som beskrevet i afsnittet ’Tilgang’ tager funktionstænkning udgangspunkt i funktionssituationer, som giver mulighed for at generalisere en lineær funktionel sammenhæng gennem undersøgelser af konkrete eksempler, hvor eleverne genererer talpar, der hører til funktionen (fx Carraher, Schliemann & Schwartz 2008, Smith 2008). Funktionstabeller og regneudtryk er centrale værktøjer, som hjælper eleverne til at opdage generelle sammenhænge, fordi de tydeliggør mønstre, der går på tværs af de konkrete eksempler (fx Blanton et al. 2015). Funktionstabeller kan primært støtte opdagelser af rekursive sammenhænge og samvariation. Regneudtryk kan primært støtte opdagelser af korrespondancesammenhænge (Kaas 2022, 2024).

Inden for funktionstænkning er det bredt anerkendt, at koblinger mellem forskellige repræsentationer øger elevernes muligheder for at skabe mening i beskrivelser af generelle sammenhænge, herunder i brugen af algebraisk notation (fx Brizuela & Earnest 2008). Ud over tabeller, regneudtryk og bogstavudtryk spiller elevernes naturlige, talte sprog en central rolle. Radford (2011, 2014, 2018) har i den forbindelse peget på faktuelle og kontekstuelle generaliseringer, der er formuleret mundtligt, som muligheder for at danne bro til lærerens (senere) introduktion af algebraisk notation.

Blandt forskerne er der forskellige holdninger til, hvornår og hvordan algebraisk notation bør introduceres for eleverne. Nogle taler for, at bogstaver i matematik bør introduceres fra start (fx i 1. klasse) side om side med andre repræsentationer (fx Blanton et al. 2015). I andre studier introduceres algebraisk notation senere (fx på 4. klassetrin) som en bekvem skrivemåde for de øvrige repræsentationer, eleverne har arbejdet med, herunder naturligt, verbalt sprog (fx Carraher et al 2008, Radford 2018). Der er dog enighed om, at algebraisk notation må introduceres eksplicit, og at elevernes forståelser for bogstavudtryk bl.a. opstår ved at bruge sådanne udtryk – selv om de i begyndelsen kun forstår dem delvist (fx Brizuela et al. 2015).  


Kilder

  • Blanton, M., Brizuela, B. M., Gardiner, A. M., Sawrey, K. & Newman-Owens, A. (2015). A Learning Trajectory in 6-Year-Olds' Thinking about Generalizing Functional Relationships. Journal for Research in Mathematics Education, 46(5), 511-558.
  • Brizuela, B. M., Blanton, M., Sawrey, K., Newman-Owens, A. & Gardiner, A. M. (2015). Children’s Use of Variables and Variable Notation to Represent Their Algebraic Ideas. Mathematical Thinking and Learning, 17(1), 34-63. doi:10.1080/10986065.2015.981939
  • Brizuela, B. M., & Earnest, D. (2008). Multiple notational systems and algebraic understandings: The case of the "best deal" problem. In J. J. Kaput, D., Carraher, & M. L. Blanton (Red.), Algebra in the Early Grades (s. 273-301). New York: Lawrence Erlbaum Associates.
  • Brizuela, B. M., Martinez, M. V. & Cayton-Hodges, G. A. (2013). The Impact of Early Algebra: Results from a Longitudinal Intervention. REDIMAT - Journal of Research in Mathematics Education, 2(2), 209-241.
  • Cai, J. & Knuth, E. (2011). Early algebraization: A global dialogue from multiple perspectives. Berlin: Springer.
  • Carraher, D. W., Martinez, M. V. & Schliemann, A. D. (2008). Early algebra and mathematical generalization. ZDM, 40(1), 3-22.
  • Carraher, D. W., Schliemann, A. D. & Schwartz, J. (2008). Early algebra is not the same as algebra early. I J. Kaput, D. Carraher, & M. Blanton (red.), Algebra in the early grades (s. 235-272). New York: Lawrence Erlbaum Associates.
  • Kaas, T (2022). Tidlig algebra i grundskolens matematikundervisning. [Ph.d.-afhandling; DPU - Danmarks institut for Pædagogik og Uddannelse, Aarhus Universitet].
  • Kaas, T (2024). Tidlig algebra. Hvad, hvorfor, hvordan? Glostrup: Forlaget Matematik.
  • Kieran, C., Pang, J., Schifter D. & Ng, S. F. (2016). Early Algebra: Research into Its Nature, Its Learning, Its Teaching. doi:org/10.1007/978-3-319-32258-2
  • Radford, L. (2011). Grade 2 Students’ Non-symbolic Algebraic Thinking. I J. Cai & E. Knuth (red.), Early algebraization: A Global Dialogue from Multiple Perspectives (s. 303-322). Berlin: Springer.
  • Radford, L. (2014). The progressive development of early embodied algebraic thinking. Mathematics Education Research Journal, 26(2), 257-277.
  • Radford, L. (2018). The emergence of symbolic algebraic thinking in primary school. I C. Kieran (red.), Teaching and learning algebraic thinking with 5-to 12-year-olds (s. 3-25). New York: Springer.
  • Smith, E. (2008). Representational thinking as a framework for introducing functions in the elementary curriculum. I J. J. Kaput, D. Carraher & M. L. Blanton (red.), Algebra in the early grades (s. 133-160). New York: Lawrence Erlbaum Associates.
  • Stephens, A., Ellis, A. B., Blanton, M. & Brizuela, B. (2017). Algebraic Thinking in the Elementary and Middle Grades. I J. Cai (red.), Compendium for Research in Mathematics Education (s. 386-420). Reston, VA: NCTM.