Hvad er undersøgende matematikundervisning?
Eleverne engageres i matematikfagets processer
Gennem de seneste 20 år er undersøgende matematikundervisning blevet et stadig mere anvendt begreb i læseplaner og i diskussioner om matematikundervisning. Søger man på 'undersøg' i faghæftet fra 2019, får man ikke mindre end 230 hits.
Lidt overordnet kan man definere undersøgende matematikundervisning som en undervisning, hvor eleverne bliver inviteret til at arbejde på måder, der ligner de måder, matematikere arbejder på. Det betyder, at eleverne engageres i matematikfagets processer såsom at modellere, at problembehandle, at ræsonnere osv. (Kilde 1)
Det giver følgende faglige udbytte:
- Eleverne får mulighed for at lære fagets processer (kompetencer), samtidig med at de kan udvikle mere robuste forståelser af fagets produkter i form af centrale matematiske begreber og sammenhænge.
- Eleverne får indsigt i karakteristika ved matematisk tankegang, herunder hvad der kendetegner spørgsmål og svar i matematik, fordi det at undersøge er en fundamental arbejdsform i matematik.
Ved undersøgende matematikundervisning undersøger og systematiserer eleverne fænomener enten fra deres omverden eller internt fra matematikken. Det indeholder mange forskelligartede elementer, fx at stille og præcisere spørgsmål, at matematisere, at søge efter viden og mening, at udforske, at analysere dokumenter og data, at eksperimentere, at forklare, at ræsonnere og at bevise. (Kilde 1)
De tre faser
Det er ofte naturligt at organisere undersøgende matematikundervisning i tre faser. (Kilde 2)
De tre faser er:
- En iscenesættelse, hvor læreren introducerer eleverne til et problem eller en udfordring.
- En undersøgelsesfase, hvor eleverne arbejder med problemet eller udfordringen enkeltvis eller i grupper. Læreren vejleder, støtter og udfordrer.
- En fællesgørelse, hvor:
- eleverne præsenterer og diskuterer deres undersøgelser og resultater for/med hinanden.
- læreren starter en dialog, hvor elevernes resultater systematiseres og gøres til fælles viden.
- læreren opsummerer den erhvervede viden og kæder den sammen med det, klassen i forvejen ved og kan.
Forud for aktiviteten formulerer læreren et eller flere faglige fokuspunkter. Fokuspunkterne bruges både til at planlægge aktiviteten og til at styre lærerens handlinger igennem den undersøgende aktivitet.
Didaktiske problemstillinger i de tre faser inkl. eksempel (5.klasse)
I det følgende præsenteres nogle af de centrale didaktiske problemstillinger i de tre faser og et konkret eksempel på en undersøgende aktivitet i 5. klasse. Aktiviteten om rebtrekanterne er bl.a. afprøvet i forbindelse med et stort dansk forskningsprojekt (KIDM) om undersøgende matematikundervisning. (Kilde 3)
Aktivitetens faglige fokuspunkter: (kopi 3)
- Trekantuligheden:
I en trekant er længden af hver af siderne mindre end summen af to øvrige sidelængder. - Kongruenssætning:
To trekanter, hvor siderne er parvis lige lange, er kongruente.
Aktivitetens faglige fokuspunkter:
- Trekantuligheden:
I en trekant er længden af hver af siderne mindre end summen af to øvrige sidelængder. - Kongruenssætning:
To trekanter, hvor siderne er parvis lige lange, er kongruente.
1. Iscenesættelse
Arbejdet igangsættes ved, at læreren iscenesætter problemstillingen, det vil sige, at hun 'overdrager' problemet eller udfordringen til eleverne. Det er vigtigt, at læreren sikrer, at eleverne forstår problemet eller udfordringen, at de kan se, hvad der forventes af deres arbejde, og at de er motiverede for at gå i gang.
Der kan være aktiviteter, hvor eleverne selv skal opstille problemet. Formulering af problemet bliver så en del af det undersøgende arbejde.
Eksempel på iscenesættelse: Rebtrekanter i 5. klasse
Læreren har medbragt et reb, som er bundet sammen til en ring. Hun fortæller, at rebet er 12 meter langt, og at der på rebet er bundet 12 knuder med 1 meters mellemrum.
Herefter viser læreren sammen med to elever, hvordan rebet kan bruges til at danne trekanter, sådan at rebet er stramt, og der er en knude i hvert hjørne.
Eleverne opdeles i grupper på minimum 4 deltagere. Problemet introduceres og skrives på tavlen/whiteboardet:
Hvor mange forskellige trekanter kan man danne med rebet?
I skal tegne skitser af alle jeres trekanter.
2. Undersøgelse
Det er ofte mest hensigtsmæssigt, at eleverne arbejder flere sammen i undersøgelsesfasen, så de har mulighed for at diskutere metoder, hypoteser, resultater og ræsonnementer med hinanden.
I denne fase er læreren typisk fokuseret på at støtte og udfordre elevgrupperne og på at lægge mærke til, hvilke elevgrupper der har diskussioner, hypoteser, resultater og/eller ræsonnementer, som det vil være hensigtsmæssigt at inddrage i den næste fase.
Eksempel på undersøgelse: Rebtrekanter i 5. klasse
Arbejdet kræver noget plads, så eleverne skal enten være i skolegården, en aula, eller lignende. I starten prøver eleverne sig frem og danner forskellige trekanter, som de tegner skitser af. Husk at medbringe reb til den fællesgørende aktivitet.
Et eksempel:
- En gruppe danner en trekant, hvor hver side er 4 meter.
- Herefter flytter en af eleverne sig ’en tak’, hvorefter de har dannet en trekant med sidelængderne 3 m, 4 m og 5 m.
- Når eleven flytter sig en tak mere, dannes ’trekanten’ med sidelængderne 2 m, 4 m og 6 m. Måske kan det faktisk godt lade sig gøre, fordi afstandene mellem knuderne ikke er helt præcise, eller fordi rebet er lidt elastisk, eller det ikke er lige stramt alle steder.
- Læreren kan for eksempel spørge eleverne, om de kan tegne en præcis tegning af en trekant med sidelænderne 2, 4 og 6, eventuelt med brug af GeoGebra, men hun kan også vente med at omtale problemet til fællesgørelsen.
I dialogen med eleverne fokuserer læreren på de faglige fokuspunkter:
- Eleverne skal først erfare de to sammenhænge.
- Herefter skal de formulere dem.
- Til sidst skal de argumentere for, at de gælder.
Læreren er med til at støtte denne proces.
På et tidspunkt skal eleverne afgøre, hvor mange trekanter der kan dannes af rebet. Læreren kan for eksempel stille spørgsmål som:
Har I fundet alle trekanter? Hvordan kan I være sikre på det?
For at kunne argumentere for, at de har fundet alle løsninger, skal eleverne bruge en eller anden form for systematik i deres undersøgelse. En gruppe kan for eksempel skrive sidelængderne op i en tabel:
3. Fællesgørelse
Formålet med fællesgørelsen, og den helt centrale didaktiske udfordring, er, at elevernes erfaringer fra undersøgelsen samles sammen og udmøntes i de faglige fokuspunkter, således at eleverne opnår indsigt i de faglige fokuspunkter ud fra deres erfaringer i undersøgelsen.
Herudover skal læreren, eventuelt i dialog med eleverne, kæde den nyerhvervede viden/indsigt sammen med det, klassen i forvejen ved og kan.
Struktur for fællesgørelsen
- Fællesgørelsen indledes med, at eleverne præsenterer deres undersøgelse. Læreren kan eventuelt i undersøgelsesfasen udvælge nogle grupper til at præsentere. Det kan være grupper, som har brugt forskellige metoder, repræsentationer eller argumentationer. Ud over resultaterne er det vigtigt at inddrage processen, væsentlige hypoteser, ræsonnementer og argumenter.
- Det er herefter lærerens opgave at starte en samtale, hvor hele klassens resultater samles og systematiseres til en fælles, faglig viden.
- Denne viden kædes sammen med tidligere etableret viden og eventuelt den institutionaliserede matematiske viden, som fx findes i matematikbogen.
Eksempel på fællesgørelse: Rebtrekanter i 5. klasse
Der er tre væsentlige spørgsmål, som kan behandles ved fællesgørelsen:
- Kan man danne en trekant med sidelængderne 2, 4 og 6 (eller et andet tilsvarende eksempel)?
Elev:
”De to sider på 2 og 4 kan kun lige nå sammen på den lange side, så det bliver bare en linje.”
Læreren:
"Hvad skal der så til, for at man kan tegne en trekant?"Dette munder ud i en uformel formulering af trekantuligheden:
Når man lægger de to korte sider sammen, skal det være mere end den længste side.
- Er der forskel på en 2-5-5-trekant og en 5-2-5-trekant?
Læreren kan eventuelt bede to grupper danne de to trekanter og stille spørgsmålet:
”Hvad vil det sige, at to trekanter er ens (eller forskellige)?”
Elev:
”Man skal bare dreje den trekant rundt, så er de ens”.
Dialogen munder ud i en uformel formulering af en kongruenssætning:
Når sidelængderne i to trekanter er lige lange, er de ens.
- Hvordan kan vi vide, at vi har fundet alle løsninger?
En gruppe elever fortæller, at de har prøvet sig frem med tabellen, som er vist i afsnittet undersøgelse.
De forklarer, at 2-4-6 ikke dur fordi den ”ikke kan nå sammen” og at 5-5-2 er den samme som 2-5-5.
En anden gruppe starter med at sige, at alle sidelængder er mindre end 6, fordi der ellers ikke er nok reb tilbage til de to sidste sider. Derefter kan de prøve sig frem med sidelængder fra 5 og derunder.
Dialogen munder ud i en fælles forståelse af, at alle mulige løsninger er fundet.
Ud over disse tre spørgsmål, kan læreren også vælge at inddrage kategorisering og navngivning af de tre trekanter, der kan dannes: ligesidet, ligebenet og retvinklet trekant.
Reflekter gerne over:
- Hvordan forestiller I jer, at elever på forskellige klassetrin vil løse 'Rebtrekanten'?
- Hvilke forskellige didaktiske udfordringer ser I i de tre faser?
- Har I eksempler på gode problemstillinger til undersøgende matematikundervisning?
TIL OVERVEJELSE I FAGTEAMET
- Hvilke erfaringer har I med elevernes motivation ved undersøgende arbejdsformer? Er eleverne mere motiverede end ved andre arbejdsformer?
til: GRUNDSKOLE
emne: UNDERSØGENDE MATEMATIKUNDERVISNINGUDGIVET: 2021
Forfatter
Kaj Østergaard
Lektor, ph.d.
VIA, Læreruddannelsen i Aarhus
Udgiver
Temaer på matematikdidaktik.dk udvikles i tæt samarbejde mellem forskere og praktikere og udgives af NCUM.
Se redaktionen og vores redaktionelle retningslinjer
Kilder
-
Kaas, T. Tidlig algebra i grundskolens matematikundervisning. Ph.d. afhandling. Aarhus Universitet og Københavns Professionshøjskole.
-
Artigue, M., & Blomhøj, M. (2013). Conceptualizing inquiry-based education in mathematics. Zdm, 45(6), 797-810.
-
Blomhøj, M. (2017). Fagdidaktik I matematik. Frydenlund.
-
KIDM. (2018). Kvalitet i dansk og matematik. www.kidm.dk