Hvad er undersøgelsesbaseret matematik­undervisning?

Undersøgelsesbaseret matematikundervisning er en undervisningsform, der tager udgangspunkt i et konkret problem. Se definitionen og eksemplet, der introducerer den distributive lov for 1. g i STX grundforløb.

Undersøgelsesbaseret matematik kan defineres som:

Undervisningsaktiviteter, der er tilrettelagt således, at eleverne arbejder med et problem, de kun kan besvare ved at bruge viden, færdigheder og kompetencer, de allerede har tilegnet sig, kombineret på nye måder, så ny viden og begreber udvikles.

Med det får eleverne mulighed for at styrke deres begrebsforståelse og at udvikle deres matematiske viden på måder, der understøtter deres læring af nye begreber.

Problemet vil som oftest være formuleret af læreren, da dette sikrer, at problemet adresserer eller bruger et givet matematisk indhold, der kan være fra læreplanen. Det er en selvstændig pædagogisk pointe ved den undersøgende tilgang, at der tages udgangspunkt i eller fremprovokeres en undren hos eleverne, som kan motivere arbejdet med problemet.

Eksempel

Et kort og konkret eksempel er \('ab - ba'\)-scenariet, der handler om, at introducere den distributive lov:

\(n(a + b) = na + nb\), hvor \(n,a,b ∈ \)$\mathbb{Z}$     

for gymnasieelever i 1. g som en del af deres arbejde med algebra i overgangen fra grundskolen til en gymnasial uddannelse. (Kilde 1)

I det undersøgende arbejde er det væsentligt at sikre sig, at alle elever ved, hvad problemet eller opgaven de stilles, går ud på. I dette tilfælde kan opgaven iscenesættes ved, at læreren siger:

"I dag skal vi arbejde med noget I kender fra grundskolen. I skal nemlig vælge to hele tal mellem 0 og 10. Det kan fx være 3 og 5. Sættes de sammen, kan de danne tallene 35 og 53. Hvis vi trækker det lille fra det store, hvad får vi så?"

De fleste elever vil kunne, om ikke andet så med hjælp fra en lommeregner, svare at \(53 - 35 = 18\)

Herefter stiller læreren den egentlige opgave:

"Vælg igen to hele tal i intervallet, dan igen to tal, og træk det lille fra det store, gentag dette et par gange. Hvad bemærker I?"

Eleverne vil her individuelt, i par eller grupper begynde at vælge tal og opdage, at differenserne de finder, danner et mønster, prøv gerne selv.

Afprøvning i forskellige danske gymnasieklasser viser, at eleverne bl.a. observerer følgende (formuleret på mange forskellige måder):

  • Jo større afstand mellem de valgte tal, desto større bliver differensen mellem de konstruerede tal.
  • Differensen mellem de valgte tal er divisor i differensen mellem de to konstruerede tal.
  • Der er en symmetri i, hvor meget 10’ere og 1’ere hhv. vokser og falder i de to konstruerede tal, hvilket er med til at give en differens mellem disse, der er delelig med 9.
  • Tværsummen af differensen mellem de konstruerede tal giver 9.
  • 9 går op i differensen mellem de konstruerede tal.
  • Differensen mellem de konstruerede tal ligger i 9-tabellen.

Læreren spørger herefter, om der er nogle af de oplistede udsagn, der siger det samme? Eller om de har fundet noget forskelligt alle sammen?

Nogle elever indser måske nu, at differensen mellem de to konstruerede tal er differensen mellem de to valgte tal ganget med 9. Uanset om nogle elever har indset denne pointe, lader læreren aktiviteten fortsætte ved at spørge:

"Det, I har fundet, der gælder om jeres eksempler, gælder det altid? Og kan I argumentere for det?"

Det kan være svært for nogle elever i starten af gymnasiet at formulere mere generelle argumenter, da de i vid udstrækning har lært at regne på konkrete situationer. Det kan derfor være en fordel at lade eleverne arbejde i grupper eller par om disse formuleringer. Her vil de mere konkret tænkende elever kunne formulere argumenter baseret på at:

  • Når man ser på tallene \(5 \) og \(3 \) bemærkes det, at deres differens er \(2\). Af disse tal konstrueres \(35\) og \(53\), hvor forskellen på de to tal er, at 10’erne stiger med \(2 \), fra \(35 \) til \(53 \), dvs. \(+20 \). Samtidig falder 1’erne med \(2\), dvs. \(−2 \). Det betyder, at differensen er \(20 − 2 = 18 = 2 ⋅ 9\). Har de oprindelige tal afstanden \(3\), giver differensen af de konstruerede tal \(27\), osv.
  • Tallene \(3\) og \(5\) giver \(35\) og \(53\), dvs. vi skal regne: \(53-35 = 5 ⋅ 10 + 3 − (3 ⋅ 10 + 5) = 5 ⋅ 9 − 3 ⋅ 9 = 9 ⋅ (5 − 3)\). Tilsvarende får vi for de øvrige tal vi vælger.

Andre kan formulere sig mere algebraisk:

  • Lad os sige, at vi har valgt \(x\) og \(y\) som vores tal. Så kan vi danne tallene \(10x + y\) og \(10y + x\). Lad os antage at \(x > y\), så skal vi regne: \(10x + y − (10y - x) = 10x + y − 10y − x = 9x − 9y = 9(x-y)\). Dette er oplagt deleligt med 9, ligger i 9-tabellen og deleligt med differensen mellem de to valgte tal. 

Læreren kan herefter bede eleverne dele deres argumenter, gerne ved brug af flere tavler, plancher eller lign., så læreren kan bede eleverne sammenholde hinandens argumenter og identificere, hvad der er forskelligt og ens. Det er her vigtigt at få koblet argumenter som det første baseret på eksempler til de næste så det bliver klart for alle elever, at på trods af forskelligheden, så er pointen den samme. Disse formuleringer bør også fællesgøres gennem plenumsamtaler eller ved fremlæggelser.

Herefter samler læreren op med ved at pointere, at \(9x − 9y = 9(x − y)\) eller \(5 ⋅ 9 − 3 ⋅ 9 = 9 ⋅ (5 - 3)\), begge er eksempler på brugen af det, vi kalder den distributive lov, der siger at: \(n(a + b) = na + nb\), hvor \(n,a,b ∈\)$\mathbb{Z}$.

Det bør pointeres, at de anvendte regneregler gælder generelt. Det kan ske ved at sige, hvordan man ganger ind i en parentes, hvordan man kan sætte en faktor uden for parentes – samt at dette kan foregå både foran og bag parentesen, altså at faktorernes orden er underordnet i medfør af den kommutative lov for multiplikation. Og at dette jo alt sammen er regneregler, som alle har brugt tidligere i forskellige former, som det også ses af elevernes første eksempler. Desuden kan det nævnes, at dette er et eksempel på, hvordan gymnasiets matematikundervisning bruger symboler for at fremhæve reglers generelle gyldighed, samt at man i gymnasiet får ord og nye begreber for de metoder, der bruges i faget.

Andre eksempler på forløb

Der er mange muligheder for at designe forløb, der ekspliciterer den skolealgebra og de metoder, eleverne har arbejdet med i grundskolen, for at gøre dem mere konkrete og give eleverne en indføring i gymnasiematematikkens terminologi. Et eksempel på danske læreres design, afprøvning og evaluering af et forløb om, at ’minus gange minus giver plus’ er beskrevet af Næs (2021). Denne afrapportering knytter sig til projektet TIME (Teachers' Inquiry in Mathematics Education, 2020), der netop skal understøtte læreres egne undersøgelser af implementeringen af egne undersøgelsesbaserede undervisningsforløb. (Kilde 2 og  3)

LÆRINGSMÆSSIGE POINTER

Ovenstående undersøgelsesaktivitet kan gennemføres på en lille halv time, hvilket jo er mere end den tid, det tager at præsentere lovmæssigheden i sig selv, vise et eksempel og lade eleverne regne et par opgaver i emnet.

Zone for nærmeste udvikling

Den undersøgende tilgang kan imidlertid skabe et behov hos eleverne for at forstå en matematisk sammenhæng, som de har opdaget ved at arbejde på selvvalgte eksempler. Samtidig kan eleverne gennemføre undersøgelsen ved hjælp af enkle begreber, der alene bygger på, hvad de har mødt i grundskolen. Det er med til at sikre, at eleverne arbejder inden for deres zone for nærmeste udvikling. Eleverne bliver aktive fra starten og får ansvar i læringsprocessen. Læreren får samtidig et indblik i, hvad eleverne kommer med fra grundskolen. Det gælder blandt andet i forhold til, hvad der skal til for at overbevise eleverne om gyldigheden af en matematisk påstand. Er det læreren og lærebogen, der bestemmer, hvad der er rigtigt? Kan det afgøres ved at regne på et antal konkrete eksempler? Eller er det nødvendigt med et bevis? (Kilde 4 og  5)

Erfaret viden

Endelig kan den selvstændighed man her giver eleverne, være med til, at de kobler denne aktivitet med det 'at gange ind i parenteser' eller 'sætte uden for parentes' videre frem. Da eleverne selv har konstrueret viden om denne regel og det at bruge den korrekt frem for blot få det fortalt, vil de lettere kunne genkalde sig reglen og begrundelser for den. Tilsvarende vil gælde for anden erfaret viden og kompetencer.

Det er med andre ord ikke alene et spørgsmål om, at de skal tro på og huske, hvad læreren har sagt, men noget, de har erfaret. Netop dette er pointen med undersøgelsesbaseret matematikundervisning: At eleverne skal erfare sig til faglige pointer og begreber – når det giver mening – for at give eleverne større faglig sikkerhed og autonomi i forhold til faget.


Kilder

  1. Jessen, B. E., Axelsen, J. & Winsløw, C. (2019). Undersøgelsesbaseret Matematikundervisning – en introduktion til inspiration. Matematiklærerforeningens Forlag. 
  2. Næs, F. T. N. (2021). Minus og minus giver plusLMFK-bladet, 2, s. 12-13.
  3. TIMETeachers Inquiry in Mathematics Education (2020). 
  4. Dolin, J. & Kaspersen, P. (2020). Læringsteorier. I Dolin, Ingerslev & Jørgensen (red.) Gymnasiepædagogik – en grundbog, s. 159-205. Hans Reitzels Forlag.
  5. Beck, S. (2019). Didaktisk tænkning på arbejde – en brugsbog til almendidaktik på det gymnasiale pædagogikum. Frydenlund.

Del tema Tag med