Eksempel: Forløb om differentialligninger

Undersøgelsesbaseret undervisning har i mange sammenhænge vist sig som en meningsfuld form, når der skal skabes samspil mellem matematik og andre fag. Her viser vi, hvordan en undersøgelsesbaseret tilgang til en SRO (2. g-projektet, der på STX forbereder eleverne på 3.-årsprojektet SRP) kan understøtte elevernes udvikling af sammenhængende projekter med samspil mellem matematik og biologi.

Et undersøgelsesbaseret forløb om differentialligninger og faglig sammenhæng

Projektet støtter elevernes læring af kernefagligt stof og giver anledning til yderligere faglige undersøgelser i begge fag.

Problemet

Problemet, som eleverne i klassen skulle arbejde med, blev formuleret i et samarbejde mellem matematiklæreren og biologilæreren, der lavede de nødvendige foranalyser for at sikre, at problemet havde potentiale til at støtte elevernes læring af differentialligningsmodeller og nervefysiologi, hvilket var målet med SRO’en. Problemet er inspireret af kapitlet ’Matematik i medicinudvikling’ fra bogen ’Matematiske Horisonter’. (Kilde 1)

I eksemplet her diskuteres potentialer og begrænsninger ved tværfaglige samspil, det er baseret på analysemetoden præsenteret af Hansen og Winsløw. (Kilde 2)

Metoden er her dels anvendt til design og dels til analyse af et konkret forløb i en 2. g matematik B og biologi A studieretningsklasse. (Kilde 3

Forløbet inkluderede en faglig dag (ekskursion) til Pharma på Københavns Universitet om medicinudvikling. Ved anden gennemprøvning af forløbet i en ny klasse indgik besøg af forskere fra Nordsjællands Hospital - Hillerød Hospital, der forsker i unges selvmordsforsøg med paracetamol. Forskerne holdt an workshop for klassen og samlede data fra eleverne som kontrolgruppe i deres forskningsprojekt. Der er generelt gode muligheder for og oplagte kvaliteter ved samspil med videregående uddannelser, lokale institutioner eller virksomheder i sådanne projekter.

SRO-projektforløbet

Udgangspunktet for det tværfaglige samspil er følgende problem:

Hvordan kan en patient smertedækkes med et stof som paracetamol - hvordan virker depotmedicin, og hvordan kan det modelleres matematisk?

Forklar de biologiske effekter af at tage medicinen hhv. oralt og intravenøst, opstil en matematisk model baseret på differentialregning, der illustrerer de to processer, og løs ligningerne i det generelle tilfælde. Giv et konkret eksempel, hvor en patient smertedækkes med paracetamol, og angiv hvor ofte medicinen bør doseres – hvilke parametre (absorption, eliminationsfaktor, biotilgængelighed) er væsentlige i denne sammenhæng? Hvilken forskel gør det, om medicinen doseres oralt eller intravenøst? Brug din model i dit svar.

Eleverne havde ikke tidligere arbejdet med smertebegrebet eller nervefysiologi i biologi. I matematik havde klassen haft et enkelt modul om differentialligninger, hvor de havde udledt eller gættet løsninger til ligninger på formen

$y’=k$ $y’=x$ $y’=ky$

Eleverne havde tjekket, hvorvidt deres gæt var korrekte ved at ’gøre prøve’, og de fik udleveret kapitlet om differentialligninger fra A-niveau-bogen i samme serie som deres B-niveau-bog.

Det undersøgende arbejde i elevhandlingerne

Da SRO’en skal træne elevernes selvstændige arbejde med et givet stofområde og deres udforskning af dette, valgte lærerne til opstarten af projektet blot at udlevere det overordnede spørgsmål:

Hvordan kan en patient smertedækkes med stof som paracetamol - hvordan virker depotmedicin, og hvordan kan det modelleres matematisk?

Herefter skulle eleverne lave en note til dem selv som de samtidig sendte til lærerne, hvor de beskrev, hvilken viden fra matematik og biologi de skulle bruge for at besvare spørgsmålet, samt hvad de ville søge mere viden om.

Elevernes umiddelbare overvejelser

Elevernes umiddelbare svar, før de havde haft adgang til at søge inspiration på internettet, var, at de kendte til anbefalingerne om at indtage maksimalt 1000 mg paracetamol hver 6. time, men at de ellers kendte for lidt til stoffets funktioner til at kunne besvare spørgsmålet. De ville derfor søge viden om stoffets omsætning i maven og funktion videre ud i kroppen. Desuden vidste eleverne intet fagligt om smertebegrebet, hvorfor det skulle undersøges. Endelig mente nogle elever, at de skulle finde stoffets halveringstid i blodet for at kunne sige noget om smertedækningen. Heri ligger en reference til klassens arbejde med eksponentialfunktioner, hvilket eleverne senere erfarede var en løsning til differentialligningen \(= k ⋅ y\), der er model for stofmængden i blodet som funktion af simpel biologisk nedbrydning.

Eleverne søger viden

Eleverne blev herefter sendt hjem med den lektie, at de skulle søge materialer, de kunne forestille sig ville være relevante for deres SRO, og lave et første udkast til en litteraturliste, der blev afleveret til lærerne elektronisk. Desuden havde eleverne fundet et kapitel om nervefysiologi i deres biologibog, de havde fundet hjemmesider om medicinudvikling fra medicinalindustrien, Wikipedia-opslag, og enkelte havde fundet materialer på biblioteket, herunder kapitlet ’Matematik i medicinudviklingen’, der havde inspireret SRO-problemet. (Kilde 1)

Nogle elever fandt det for svært selv at læse disse tekster, og navnlig at bruge dem som grundlag for afgrænsning og præcisering af problemet. Andre elever fik selv formuleret brugbare underspørgsmål. Som opsamling på elevernes indledende undersøgelser fik alle elever udleveret den udfoldede formulering af problemet.

Midtvejs i projektet blev eleverne igen bedt om at skrive ned, hvilke faglige elementer de brugte fra hhv. matematik og biologi til at besvare problemet, samt hvad de nu manglede at få svar på, samt hvor de ville lede efter svar.

Elevernes spørgsmål til lærerne

Hvis eleverne ville spørge lærerne om hjælp, så skulle de have sendt deres spørgsmål på forhånd til lærerne. Dette sikrede at eleverne faktisk formulerede deres udfordringer som spørgsmål, hvilket hjalp dem til selv at besvare dem og gjorde dem skarpere på, hvad de havde problemer med.

Det drev desuden eleverne til at spørge hinanden først, fx om hvordan dele af lærebogsmaterialet skulle forstås og kunne bruges, og de sammenlignede deres modeller og forklaringer, inden de gik til lærerne. Denne organisering var frugtbar for deres besvarelser, læring af det faglige indhold og for elevernes selvstændighed i processen.

Det faglige indhold i projektet

Eleverne undrede sig over og undersøgte biologiske begreber og spørgsmål som:

  • Akutte versus diffuse smerter.
  • Nerveceller og signaler.
  • Hvordan virker et stof som paracetamol på disse signaler?
  • Hvordan transporteres det virksomme stof fra mavesæk eller blodbane til blokering af smertesignaler?
  • Hvor meget stof skal der til i blodet, førend smertesignalet reduceres eller fjernes?
  • Hvilke bivirkninger findes der ved indtag af stoffet?
  • Hvilke effekter har det, hvis man tager for meget?
  • Hvilke organer påvirkes, hvordan og hvorfor?

Behov for modellering

Da det ikke er muligt at lave eksperimenter med indtagelse af paracetamol og koncentrationsmålinger i blodet over tid blandt eleverne, skabte ovenstående spørgsmål behov for modellering af situationen og dermed et behov for differentialligninger.

Materialerne, som eleverne havde fundet til deres litteraturliste, gav dem idéen om compartment-systemer, hvor de brugte deres nyvundne og eksisterende biologiske viden til at forklare opstillingen af et- og to-compartment-systemerne samt forklare de biologiske mekanismer, der ligger bag ’hastighedsfaktoren’, med hvilken metabolismen foregår.

Figur 1: Diagrammet til venstre viser et-compartment-systemet ved intravenøs dosering, diagrammet til højre viser to-compartment-systemet ved oral dosering. (Kilde 1)
Begge diagrammer beskriver en situation med én dosering, der er repræsenteret ved startværdien i henholdsvis A og Amave. Koefficienterne K og Ka er beskrevet nedenfor.

Biologien blev desuden brugt til at forklare behandlingsvinduet, hvor stofkoncentrationen skal ligge for at sikre smertedækning uden at risikere bivirkninger gennem overdosering. Eleverne fandt koncentrationen ved at dividere funktionerne for mængden af stof igennem med den gennemsnitlige blodmængde for en voksen person.

Opstillingen af den matematiske model, der viser multipel oral dosering under de af biologien fastsatte rammer, gav svaret på, hvor ofte medicinen skulle doseres for at sikre smertedækning. På denne måde opstod der en helt naturlig vekselvirkning mellem biologi og matematik, hvilket understøttede faglige mål i begge fag.

Eleverne arbejdede i første omgang kun med enkelt dosering, hvor enten to piller sluges, eller en dosis gives intravenøst. Elevernes matematiske arbejde kom derfor i vid udstrækning til at omhandle ligningerne:

$\frac{dA}{dt}= -k\cdot A$

$\frac{dA}{dt}= F \cdot k_a \cdot A^{mave} -k\cdot A$  

Hvor \(A(t)\) betegner stofmængden i blodet, $A^{mave}(t)$ er stofmængden i maven, \(F\) angiver, hvor stor en andel af det stof som kommer ned i maven, der kan måles i blodet (resten udskilles på anden vis), $k_a$ er absorptionskoefficienten, der angiver, hvor hurtigt stoffet absorberes fra maven til blodet, hvor \(k\) er eliminationskoefficienten, der siger, hvor hurtigt stoffet forsvinder fra blodet igen via nyrerne.

Elevernes diskussioner

Som udgangspunkt brugte eleverne de gennemsnitværdier, der forefindes i lærebogen (Kilde 1), men i en vekselvirkning med biologi begyndte de at diskutere betydningen af forskellige individuelle biologiske og medicinske forhold.

Hvordan kan man i modellen fx tage hensyn til, om patienten er en lille kvinde eller en stor mand, er overvægtig, er ung eller gammel og har kroniske sygdomme?

Eleverne diskuterede, hvilken indvirkning disse forhold kan have på parametrene i modellen og anvendte forskellige værdier i deres modelberegninger. Dette påvirkede særligt den funktion, eleverne opstillede for multipel dosering og den steady state-funktion, det fører til. Nogle elever gjorde dette ved at ændre på koefficienterne i modellen, hvilket gav dem nye grafer i deres CAS-værktøj. Andre elever gav en skriftlig redegørelse for, hvordan disse forhold ville ændre grafen og behandlingsmulighederne. Eleverne fik hermed et mere nuanceret billede af brugen og restriktioner på håndkøb af paracetamol.

Dele af ovenstående kan hentes i lærebogsmaterialet (Kilde 1), hvilket nogle elever blot refererede, andre gjorde prøve og argumenterede for, at de løsninger bogen eller CAS-værktøjet angav, faktisk løste differentialligningen. Endelig var der en del elever, der selv opstillede udtrykket, udledte en løsning ved at bruge, og enkelte viste, sætninger fra kapitlet fra A-niveau bogen. 

LÆRINGSUDBYTTE

Elevernes arbejde blev undersøgende ved at udforske problemet, stille afklarende og undrende spørgsmål som de selv forfulgte ved brug af ressourcer:

  • Lærebøger
  • Bibliotekssøgninger
  • Internetsøgninger, herunder videoer, der fx præsenterede regning med differentialligninger. 

Undersøgelsesbaseret matematikundervisning giver bl.a. anledning til:

- Modspørgsmål frem for svar

Som i eksemplet om eksponentialfunktioner og logaritmer brugte eleverne her hinandens foreløbige svar som ressourcer, de arrangerede selv læsegrupper, hvor de mødtes, delte og diskuterede fortolkninger og brug af diverse ressourcer. Hvis en gruppe ikke kunne nå til enighed om fortolkninger, spurgte de lærerne til råds på mail. Det skete ved at præsentere, hvordan de forskellige gruppemedlemmer forstod materialet og de svar, de havde fundet undervejs. Dette tydeliggjorde for lærerne, hvad eleverne havde lært af de nye stofområder, samt hvad elevernes udfordringer bestod af. Lærerne besvarede som regel elevernes spørgsmål og kommentarer med modspørgsmål, der kunne hjælpe eleverne med selv at indse, hvordan stoffet hang sammen. Denne kommunikation understøttede yderligere elevernes læring af det faglige indhold.

- Fagene har gensidigt behov for hinanden

I forhold til fagsamspillet er det en pointe, at problemet var formuleret på en sådan måde, at de to fag skabte behov for hinanden. Når man skal skabe disse former for synergieffekter mellem fag, kan der være rige problemstillinger at hente i autentiske spørgsmål, der dog ofte vil kræve en omformulering og indplacering i en afgrænset kontekst således, at de kan understøtte læring af relevante faglige begreber eller emneområder. I dette eksempel blev det tydeligt, at problemstillingen genererede en motivation hos eleverne for at dykke dybere ned i stoffet i begge fag. Gennem samtale med lærerne viste det sig, at projektet havde medvirket til et øget læringsudbytte i forhold til en lærerstyret gennemgang af emnerne, hvilket igen blev afspejlet i gode resultater ved eksamen for de elever, der hævede matematik til A-niveau.

- Opfølgning og eksamen

Efter dette forløb blev eleverne også introduceret til eksamenslignende opgaver omhandlende differentialligninger, som de findes i lærebøger og eksamensopgaver. Det var for at sikre, at den læring, der blev skabt i projektet også kunne bruges til løsning af sædvanlige opgaver inden for emnet. De fleste elever havde klaret SRO’en godt, og for dem gik det ligeledes fint med typiske eksamensopgaver. For de elever, der havde refereret lærebøger og ikke som sådan havde arbejdet selvstændigt med det matematiske indhold af SRO’en, var det mere vanskeligt at regne opgaverne.

- Perspektivering ved mundtlig årsprøve

Endelig var det et krav, at eleverne brugte deres SRO som basis for en mundtlig årsprøve i det daværende AT-forløb. De skulle med afsæt i SRO’en søge viden, der kunne perspektivere SRO’ens indhold og inddrage yderligere viden fra fagene. Flere elever undersøgte yderligere problematikker i forhold til selvmord og officielle anbefalinger om stofmængde. Andre så på relationen til anden medicin og sygdom. En enkelt gruppe elever så på en undersøgelse fra Rigshospitalet, der tydede på øget risiko ved indtag af paracetamol under graviditet for genitale misdannelser hos drengebørn.

Eleverne undrede sig over, at denne viden ikke var delt mere bredt, hvorfor de brugte tal fra studiet, lavede $\chi^2$-test og fandt en p-værdi tæt på signifikansniveauet og dermed ingen klar evidens for en sådan sammenhæng.

Dette viser, at elevernes faglige nysgerrighed ift. problemet rakte ud over SRO’en, og at de var i stand til at relatere og inddrage helt andre faglige områder end dem, lærerne havde planlagt efter.


Kilder

  1. Jónsdóttir, A. H., Klim, S., Mortensen, S. & Madsen, H. (2009). Matematik i medicinudviklingen. I Hansen, Hansen, Hansen & Andersen (red.) Matematiske Horisonter. DTU. (Figur 1, s.120.)
  2. Hansen, B. & Winsløw, C. (2010). Research and Study Course diagrams as an analytic tool: the case of bi-disciplinary projects combining mathematics and history. I Bosch, M., Gascón, J., Ruiz Olarría, A., Artaud, M., Bronner, A., Chevallard, Y., Cirade, G., Ladage, C. & Larguier, M. (eds.), Un panorama de la TAD (pp. 685-694), III Congreso Internacional sobre la TAD (Sant Hilari Sacalm, 25-29 enero 2010), (pp. 257–263).  
  3. Jessen, B. E. (2014). How can study and research paths contribute to the teaching of mathematics in an interdisciplinary setting? Annales de Didactiques et de Sciences Cognitives, 19, s. 199-224.
  4. Dolin, J. & Godiksen, M. P. (2020). Fag, hovedområder og fagligt samspil. I Dolin, Ingerslev & Jørgensen (Red.) Gymnasiepædagogik – en grundbog, s. 539-560. Hans Reitzels Forlag.
  5. Jankvist, Bremholm & Rørbech (2019). Tværfaglige møder mellem matematik og dansk. I Andersen, Hobel & Holgersen (red.) Tværfaglighed og faglige samspil, s. 63-85. Aarhus Universitetsforlag.
  6. Christensen, T. S. (2019). Tværfaglige udviklingsprojekter og formative reformuleringer, s. 86-110. I Andersen, Hobel & Holgersen (red.) Tværfaglighed og faglige samspil, s. 63-85. Aarhus Universitetsforlag.
  7. Harnow Klausen, S. (2011). På tværs af fag. Akademisk forlag.
  8. Hansen, B. (2009)Didaktik på tværs af matematik og historie – en prakseologisk undersøgelse af de gymnasiale studieretningsprojekter. Specialerapport, Københavns Universitet.
  9. Jensen, K. B. (2010). Tværfaglige samspil mellem matematik og historie i gymnasiets studieretningsprojekt (SRP). MONA, 1, s. 32-53. 


Del tema Tag med