Hvad er matematisk ræsonnement?

Grundet elevers ofte massive vanskeligheder i forbindelse med matematiske begreber, problemløsning, mv., betragtes arbejdet med matematiske ræsonnementer og beviser undertiden som et ”luksusproblem”. Det er imidlertid langt fra tilfældet. I dette tema adresseres, hvad matematisk ræsonnement er, og hvad det gør godt for. Vi giver eksempler på forskellige typer af matematiske ræsonnementer og på elevers typiske vanskeligheder dermed.

Bemærk, at der også findes et tema om ræsonnement i grundskolen. Den måde, der typisk arbejdes med matematiske ræsonnementer på i hhv. grundskole og gymnasium, adskiller sig på væsentlige punkter, og det er derfor relevant at belyse problemstilling i forhold til hver af de to uddannelsestrin.

Kort sagt går et matematisk ræsonnement ud på at afklare et matematisk sagsforhold. Mere præcist udtrykt har et matematisk ræsonnement til formål at godtgøre en matematisk påstand af en eller anden art, hvilket finder sted ved hjælp af en kortere eller længere kæde af argumenter, der til sammen leverer støtte for påstanden.

Matematisk påstand

En matematisk påstand er et udsagn om, hvad der gælder i en eller anden matematisk sammenhæng. Det bør bemærkes, at et matematisk ræsonnement også kan gå ud på at afkræfte en fremsat påstand, m.a.o. at godtgøre en påstand om, at den først fremsatte påstand ikke er gyldig.

Nogle matematiske påstande har karakter af at være sætninger (teoremer) i en teori (fx at vinkelsummen i en trekant er π). Andre påstande hævder at levere svaret på et separat matematisk problem (fx at funktionen f, givet ved f(x) = |x|, er kontinuert overalt, og differentiabel overalt på nær for x = 0) eller på et modellerings spørgsmål (fx hvis man ved en flad kyst står på toppen af et tårn med øjnene h (km) over jorden, er afstanden, s, fra øjnene til horisonten bestemt ved formlen s = √(2Rh + h²), hvor R er Jordens radius (km)). Ræsonnementer omfatter altså meget mere end det, vi traditionelt omtaler som beviser for matematiske sætninger (se nedenfor).

Om præmisser for ræsonnement

Ethvert matematisk ræsonnement hviler på et sæt præmisser, der i sammenhængen tages for givne. Disse præmisser kan bestå af forudsætninger givet i situationen, af tidligere etablerede matematiske resultater, af antagelser gjort ad hoc, m.m. Præmisserne kan være globale eller lokale.

Globale præmisser er hentet fra en sammenhængende matematisk teori baseret på et sæt aksiomer for teorien, hvori den påstand, der skal godtgøres, kan formuleres. Aksiomer danner udgangspunktet for frembringelse af teoremer i en matematisk teori. De tages for givne i teorien og kan principielt ikke bevises inden for den, og de behøver ikke at fremstå som selvindlysende, selv om det hævdes i nogle ordbøger og leksika. Det eneste rigtige krav til et sæt aksiomer for en teori er, at de ikke er i logisk modstrid med hinanden.

Lokale præmisser opstilles for den konkrete situation, uden at der i situationen er gjort forsøg på at retfærdiggøre de valgte præmisser ad matematisk vej.

Hvad enten præmisserne er globale eller lokale, kan de være givet eksplicit eller implicit, idet man oftest er nødt til at trække på en lang række etablerede præmisser fra matematikken som helhed, fx vedrørende tallenes egenskaber, som der ikke er tid eller plads til at artikulere i den foreliggende sammenhæng. Det gælder fx i den fuldstændige kortlægning af løsningerne til en reel andengradsligning, hvor man typisk afstår fra at opliste alle egenskaber, regneregler og resultater vedrørende reelle tal, kvadratrøddder etc. som præmisser for det valgte bevis.

Præmisser producerer ikke i sig selv noget matematisk ræsonnement. For at nå frem til en godtgørelse af den matematiske påstand, som er på dagsordenen, skal forskellige præmisser kombineres således, at der kan drages logiske slutninger ud fra disse kombinationer. Hver af disse slutninger skaber et argument, som så påberåbes undervejs til slutargumentet, som fuldfører godtgørelsen af den betragtede matematiske påstand, jf. fx beviset for at (fg)’ = f’g +fg’, for differentiable funktioner f og g.

Såvel præmisserne som argumenterne for godtgørelse af en matematisk påstand kan være mere eller mindre artikulerede, skarpe eller formelle. Hvis vi har at gøre med en situation, hvor såvel påstanden selv, som de præmisser, der påberåbes til støtte for den, er veldefinerede og klart artikulerede, og hvor de slutningsregler, der aktiveres i argumentationskæden, alle er tydeligt og formelt forankrede og korrekt anvendt, vil vi omtale et ræsonnement, der udleder påstanden af de givne præmisser ved hjælp af de fremsatte argumenter for et bevis.

Om begrebet matematisk bevis

Et bevis er altså en særlig slags ræsonnement, der som opfylder en række krav. Mange, i øvrigt oplysende, matematiske ræsonnementer kan ikke betragtes som beviser.

For eksempel kan forsøget på at retfærdiggøre en almen matematisk påstand ved hjælp af et antal enkelttilfælde godt udgøre et brugbart ræsonnement, men er aldrig et bevis. Et ræsonnement, der hviler på en ren figurbetragtning, er heller ikke et bevis, hvilket også er tilfældet med en heuristisk (idémæssig) skitse af et bevis. Der findes også ræsonnementer fremført til støtte for matematiske påstande, som ikke er af egentlig matematisk natur. Således kan man støde på et ræsonnement som dette: ”Jeg har fundet en løsning til ligningen, og da en ligning kun plejer at have én løsning, er ligningen hermed løst”. Heri indgår henvisning til tidligere erfaringer med ligninger og deres løsning, som jo ikke kan anvendes som præmis i et matematisk ræsonnement.

Formelt set er:

”Vi har 3∙17 = 3(10+7) = 3∙10 + 3∙7 = 30 + 21 = 51, hvor vi har gjort brug af den distributive lov for operationer med naturlige tal og den lille tabel samt additiv spaltning af 17 som en sum af 10 og 7. Derved har vi godtgjort, at 3 er divisor i 51.”

et bevis for en (enkeltstående) påstand. I praksis reserverer vi dog oftest termen ”bevis” til at angå generelle matematiske påstande, der hver for sig dækker over en hel klasse af tilfælde.

Om forskellige bevistyper i matematik

Der findes som bekendt forskellige bevistyper med forskellige egenskaber. Tre typer af matematiske beviser har særlig interesse: (1) direkte beviser, (2) modstridsbeviser og (3) induktionsbeviser.

(1) Det direkte bevis er den grundlæggende og hyppigst forekommende bevistype. Her opbygget af en kæde af argumenter, der tager udgangspunkt i generelle præmisser og specifikke forudsætninger og antagelser vedrørende den påstand, der skal bevises, og skridtvis ved hjælp af en række implikationer når frem til det slutargument, der fører til den endelige godtgørelse af påstanden.

(2) Modstridsbeviser (undertiden kaldt indirekte beviser) føres ved at antage, at den betragtede påstand er falsk, og derudfra ad logisk vej at udlede en eksplicit modstrid med en eller flere af de gjorte forudsætninger eller med etablerede resultater i øvrigt. Når antagelsen om, at den betragtede påstand er falsk, med nødvendighed fører til modstrid med foreliggende gældende præmisser, kan falskhedsantagelsen ikke opretholdes, og påstanden må i stedet være sand. Her har vi anvendt det såkaldte ”udelukkede tredjes princip”: foreligger der en veldefineret og velafgrænset påstand, er enten påstanden selv eller dens negation sand, en tredje mulighed gives ikke. Det er værd at bemærke, at det kun sjældent står én frit for at vælge et direkte eller et modstridsbevis. Således er det vanskeligt  ved hjælp af et modstridsbevis at bevise formlen for den afledede af en funktion sammensat af to differentiable funktioner. Omvendt er det temmelig umuligt med et direkte bevis at godtgøre, at der ikke findes noget rationalt tal, hvis kvadrat er 2.

(3) Induktionsbeviser er en særlig type beviser, der alene kan komme på tale i situationer, hvor man ønsker at bevise en samling påstande, der kan parametriseres af de naturlige tal. Lad os benævne påstandene P(n). Et induktionsbevis hviler på det såkaldte induktionsprincip (der er faktisk tale om et princip, dvs. et aksiom, og ikke et teorem, da princippet ikke kan bevises alene ved anvendelse af 1. ordens logik). Induktionsprincippet udsiger, at såfremt følgende udsagn (1) og (2) begge gælder, så er P(n) sand for alle naturlige tal n:

(1) P(1) er sand.

(2) For ethvert n gælder: Hvis P(n) er sand, så er også P(n+1) sand.

Induktionsbeviser forudsætter, at det på forhånd vides, hvilken (parametriseret) påstand, man søger at bevise. De egner sig altså ikke til at finde frem til påstande.

Eksempel på forskellen mellem direkte bevis og induktionsbevis

Til at illustrere forskellen mellem et direkte bevis og et induktionsbevis for den samme påstand kan vi se på påstanden.

Sættes S_n = 1 + q + … + qⁿ, er (*) S_n = (qⁿ⁺¹ – 1)/(q - 1), forudsat at q ⧧ 1.

Direkte bevis: Ud fra definitionen af S_n har vi qS_n = q + q² +… + qⁿ + qⁿ⁺¹ = 1 + q + q² +… + qⁿ + qⁿ⁺¹ – 1 = S_n + qⁿ⁺¹ – 1, dvs. vi har opnået ligningen qS_n = S_n + qⁿ⁺¹ – 1 i S_n. Løses den, opnår vi det ønskede udtryk, da q ⧧ 1 pr. forudsætning. Som det fremgår, finder vi undervejs i beviset frem til den påstand, der skal bevises. Dette kræver selvfølgelig, at man får en frugtbar idé, her at betragte qS_n.

Induktionsbevis: Lad P(n) være den påstand, at (*) er sand. P(1) udsiger så, at S₁ = (q - 1)/(q - 1). Dette er sandt, da S₁ = 1 = (q - 1)/(q - 1). Antag dernæst, at P(n) er sand (1), dvs. at S_n = (qⁿ⁺¹ – 1)/(q - 1). Så har vi, da vi antog, at P(n) er sand, at S_n+1 = 1 + q +q² +… + qⁿ + qⁿ⁺¹ = S_n + qⁿ⁺¹ = (qⁿ⁺¹ -1)/(q - 1) + qⁿ⁺¹, der videre omskrives til (qⁿ⁺¹ - 1)/(q - 1) + qⁿ⁺¹(q - 1)/(q - 1) = (qⁿ⁺¹ - 1+qⁿ⁺² - qⁿ⁺¹)/(q - 1) = (qⁿ⁺² – 1)/(q - 1). Da vi således har opnået S_n+1 = (qⁿ⁺² - 1)/(q - 1), har vi vist, at P(n+1) er sand, såfremt P(n) er sand, altså (2). Dermed sikrer induktionsprincippet, at P(n) er sand for alle naturlige tal n.

Det er værd at bemærke, at induktionsbeviset, der forudsætter, at vi ved, hvad der skal bevises, er længere og lidt mere komplekst end det direkte bevis, hvor påstanden opstod undervejs. Som det fremgår, er gennemførelsen af et induktionsbevis i princippet ”automatisk”, da (1) og (2) er en drejebog for, hvad der skal gøres. I praksis kan gennemførelsen af (2) dog sagtens rumme udfordringer, især hvis det ikke er klart, hvordan man kan skabe en brugbar forbindelse mellem P(n) og P(n+1).

Om matematisk definition

Som nævnt indledningsvis er en matematisk påstand et udsagn om, hvordan noget forholder sig – hvad der gælder, hvad der er sandt – i en matematisk sammenhæng. Det er ikke usædvanligt at træffe elever, der opfatter en definition som en matematisk påstand på linje med andre. En påstand ,som det er muligt at bevise.  Det er jo imidlertid ikke tilfældet. En definition fastlægger en bestemt sprogbrug. Det sker ved præcist at specificere præcist de omstændigheder, der fastlægger et givet begreb, herunder, hvornår det er lovligt at bruge en bestemt term. Der findes også lærebøger, der udvisker forskellen mellem en definition og en påstand, fx når der tales om den såkaldte ”tretrinsregel” til bestemmelse af en funktions differentialkvotient. Men faktisk er der jo tale om definitionen på differentiabilitet, som, fordi den i praksis kun benyttes på funktioner som – af forfatteren eller læreren – forudsættes/vides at være differentiable, kan benyttes til at bestemme værdien af differentialkvotienten.

Om modeksemplets rolle

En særlig problemstilling frembyder vanskeligheder for mange elever og studerende. På den ene side er selv nok så mange positive eksempler – bekræftelseseksempler - utilstrækkelige til at bevise en universalpåstand – dvs. en påstand, der omfatter en uendelig skare af tilfælde. Derimod er ét bekræftelseseksempel tilstrækkeligt til at bevise en eksistenspåstand. Således udgør f(x) = |x|, et eksempel på, at en funktion godt kan være kontinuert i et punkt (x = 0) uden også at være differentiabel i punktet.  På den anden side er ét eneste eksempel nok til at modbevise en universalpåstand, nemlig såfremt eksemplet på den ene side tilfredsstiller alle forudsætningerne i påstanden, og på den anden side ikke opfylder indholdet i påstanden. Som når universalpåstanden ”multiplikation af to tal giver altid et produkt, der er større end hvert af de to tal” fx modbevises af eksemplet ”⅔ ∙ ½ = ⅓, men produktet ⅓ er mindre end både ⅔ og ½”, hvilket strider imod den fremsatte påstand. Et eksempel, der strider imod en universalpåstand, kaldes som bekendt et modeksempel. Det forhold, at modeksempler og bekræftelseseksempler har helt forskellig status i bevisførelse – modeksempler modbeviser faktisk en universalpåstand, mens bekræftelseseksempler kun kan støtte, men aldrig bevise en universalpåstand, men derimod netop bevise en eksistenspåstand – er for mange noget, det er svært at forlige sig med.