Matematisk modellering handler om at finde svar på spørgsmål uden for matematik ved inddragelse af matematik. Det sker ved anvendelse af matematiske teorier, resultater eller metoder. Det kræver i alle fald, at der sker en oversættelse af ekstra-matematiske objekter og spørgsmål til matematik, og at opnåede matematiske resultater fortolkes som svar på det oprindelige spørgsmål. Læs om udvalgte centrale begreber og forskningsresultater knyttet til modellering.
Matematisk modellering er den proces at udsætte et eller andet område uden for matematikken for en matematisk behandling i håb om at få hjælp til at besvare spørgsmål eller løse problemer inden for det pågældende område.
Området, der modelleres, kaldes ofte for et ekstra-matematisk domæne for at understrege, at det befinder sig 'uden for' matematikken selv.
Spørgsmålene eller problemerne kan være af forskellig art, såsom:
Grundlæggende består matematisk modellering i at udvælge relevante elementer i et foreliggende ekstra-matematisk domæne og dernæst at oversætte dem til elementer i et matematisk domæne, der antages at være brugbart til formålet.
De ekstra-matematiske elementer omfatter såvel objekter og deres egenskaber som relationer mellem disse, forudsætninger og antagelser om objekterne og deres relationer, samt en formulering af de ekstra-matematiske spørgsmål, man ønsker svar på.
Oversættelsen sker ved i det valgte matematiske domæne at udpege matematiske objekter til at repræsentere de ikke-matematiske objekter, der skal tages i betragtning, såvel som matematiske relationer mellem de oversatte matematiske objekter, og ved at opstille matematiske forudsætninger og antagelser om objekterne og relationerne mellem dem. Endelig rummer oversættelsen også en oversættelse af de stillede ekstra-matematiske spørgsmål til matematiske spørgsmål.
Så vil vi kalde sættet $(D,f,M)$ for den matematiske model, der kommer ud af modelleringen. Ved at inddrage såvel det ekstra-matematiske domæne $D$, det matematiske domæne $M$ som oversættelsen $f$ i begrebet matematisk model får vi understreget, at en matematisk model ikke blot består af en samling matematiske elementer, men altid er en model af noget uden for matematikken selv. I undervisningen er det derfor centralt, at eleverne får lejlighed til at arbejde med alle tre komponenter.
Pointen med hele modelleringen er at søge svar på de matematiske spørgsmål, som opstår ved oversættelsen af de ekstra-matematiske spørgsmål, der driver modelleringsprojektet. Matematiske svar opnås ved anvendelse af matematiske teorier, resultater og metoder til på de givne forudsætninger at drage konklusioner og udføre beregninger mv.
De matematiske svar skal nu oversættes tilbage, vi siger ofte 'afmatematiseres', til svar på de oprindeligt formulerede ekstra-matematiske spørgsmål. Sluttelig skal det afgøres, om disse svar er tilfredsstillende i forhold til formålet med modelleringen, og om de er så sikre og solide, at man tør fæste lid til dem. Med andre ord skal modelsvarene valideres, og den model, der ligger bag dem skal evalueres. Er modelløren, eller en eventuel opdragsgiver, ikke tilfreds med svarene eller med modellens holdbarhed, vil man typisk forsøge at modificere modellen eller bygge en helt ny.
Ved al egentlig matematisk modellering sker et informationstab, idet der altid indgår en udvælgelse af de ekstra-matematiske elementer, som er vigtige nok til at skulle tages i betragtning. Derved er der nødvendigvis anliggender, objekter, relationer, spørgsmål, som ikke tages i betragtning i modelleringen, fordi de anses for irrelevante eller mindre vigtige i forhold til hensigten med modelleringen. Det afgørende er, at man får indkredset og udvalgt de 'rigtige' ekstra-matematiske elementer i forhold til denne hensigt. Informationstabet er altså ikke uønsket, men tilsigtet. Var der intet informationstab, havde man slet ikke brug for nogen model, idet man da kunne nøjes med at operere direkte på det ekstra-matematiske domæne.
Læs også:
I årtusinder har matematik været benyttet til at forstå, indrette og behandle verden og som middel til at agere i den. Hver gang matematik bringes i spil til sådanne formål, indgår der nødvendigvis matematisk modellering, eksplicit eller implicit. Nogle gange giver modelleringen sig selv i så høj grad, at man næsten ikke får øje på, at der er en model på færde.
Det er fx tilfældet, når man skal bestemme, hvor meget maling der skal til for at dække en vægflade, når man skal planlægge indkøb af mad til et middagsselskab til ti personer, eller når man skal kontrollere regningen i supermarkedet.
Selv om modelleringen i sådanne situationer er triviel, er der ikke desto mindre tale om modellering. I andre tilfælde giver det overhovedet ikke sig selv, hvordan en situation kan/skal modelleres. Det kan kræve stor opfindsomhed og fordre grundige forberedelser og særlige teoretiske eller empiriske undersøgelser forud for eller som en del af modelleringsprocessen, der ikke sjældent kan blive til regulær forskning.
Det er fx tilfældet, når man søger at fastlægge spredningen over tid af COVID-19 i et samfund som helhed eller i særlige befolkningsgrupper. Eller når man vil udvikle en økonomisk model, der kan fastlægge konsekvenserne af bestemte ændringer i skattesystemet for beskæftigelsen og arbejdsløsheden i samfundet. Eller når man vil forudsige trafikbelastningen i en by ved anlægget af en ny omfartsvej, eller når man vil minimere materialeforbruget ved opførelsen af de bærende konstruktioner i en ny bygning, så alle sikkerhedsforskrifter er overholdt.
Der er ingen ende på, hvor mange eksempler man kan give på den centrale rolle, matematiske modeller spiller i verden. Man kan med rette sige, at samfund, kultur, videnskab og teknologi er gennemsyrede af brugen af matematiske modeller og dermed af matematisk modellering, rækkende fra helt simpel og nærmest usynlig modellering til omfattende og kompliceret modellering, der kræver højt specialiseret og avanceret ekspertise, hvortil kommer alt det midt imellem.
Der er imidlertid store forskelle på, hvor velunderbyggede og solide matematiske modeller er i forhold til formålet med at bygge dem.
Hvad kan man sige om den samlede model? Det faktum, at der er så store forskelle på både kvaliteten –dvs. grundlaget for samt holdbarheden og rækkevidden af matematiske modeller – og den bagvedliggende modellering, gør det meget vigtigt for alle i samfundet at kunne forholde sig kritisk analyserende og vurderende til foreliggende matematiske modeller af mange forskellige slags. Til det rækker hverken blind skepsis eller næsegrus benovelse. Her er der brug for indsigt, erfaring og dømmekraft. Desuden får stadig flere personer i samfundet brug for selv at kunne udføre i hvert fald elementær matematisk modellering. Det kan være som led i deres uddannelse eller arbejde, som led i deres rolle som deltagere i samfundet som aktive borgere og som medvirkende i mindre fællesskaber eller som led i deres daglige familie- og fritidsliv. Evnen til at omgås matematisk modellering bidrager til såvel et virke som engageret og kritisk samfundsborger som til udviklingen af almen dannelse.
Matematik er uden diskussion verdens største undervisningsfag, målt på antallet af mennesker, der modtager undervisning i faget i alverdens lande, og på mængden af undervisningstid, der er afsat til det. Det gælder på alle trin i skolesystemet, herunder i de gymnasiale uddannelser.
De, der underviser i faget, har typisk valgt det, fordi de selv har fundet store og rige intellektuelle oplevelser og indsigter, såvel som æstetiske glæder, i omgangen med faget. Mange af dem håber at viderebringe disse oplevelser, indsigter og glæder til deres elever. Man kunne derfor let få den tanke, at man heri skal finde årsagen til, at matematik er verdens største undervisningsfag. Men selv om dette selvfølgelig er en medvirkende årsag, er det næppe her, grunden skal findes. Den skal snarere findes i samfundets erkendelse af matematikkens vidtstrakte og betydningsfulde anvendelse i en mangfoldighed af andre fag, videnskabelige discipliner og praksisområder inden for alle dele af samfundslivet.
Det betyder, at selv om en del elever skal have mulighed for at lære matematik for matematikkens egen skyld og for at opnå indsigt i dens rolle som videnskabs- og kulturprodukt, må matematikundervisningen for de fleste tage på sig også at beskæftige sig seriøst med matematikkens anvendelse på andre felter end matematikken selv.
Al anvendelse af matematik i ekstra-matematiske sammenhænge indebærer mere eller mindre synlige former for matematisk modellering. Det følger så, at en seriøs beskæftigelse med matematikkens anvendelse må indebære en seriøs beskæftigelse med matematisk modellering.
Anderledes sagt må matematikundervisningen påtage sig at udvikle elevers matematiske modelleringskompetence. Som med al tilegnelse af kompetencer kan matematisk modelleringskompetence ikke udvikles alene ved at høre om den. Man må gradvis lære at udøve den.
Her viser forskning og erfaring, at det på den ene side er muligt ved hjælp af målrettet, gennemtænkt og veltilrettelagt undervisning at udvikle elevers modelleringskompetence, men at det på den anden side er udfordrende og tidskrævende. Men hvis man vil målet, må man også ville midlerne.
Modeller og modellering indgår derfor også allerede i de gældende læreplaner for matematikundervisningen, om end på forskellig måde i de forskellige dele af skolesystemet, og udgør alene derved et væsentligt undervisningsindhold. Ved tilrettelæggelse af undervisning i modellering er det vigtigt at gøre sig klart, hvilke læringsmål der skal forfølges og af hvilke grunde.
Mange af skolens fag kan aktuelt eller potentielt drage nytte af matematiske modeller og matematisk modellering. I fysik og kemi sker dette allerede i noget omfang, men også i fag som natur og teknik, biologi, geografi, it, samfundsfag, økonomi m.fl. kan modeller og modellering med fordel indgå. Dette lægger op til, at opgaven med at udvikle elevers modelleringskompetence ikke kun skal varetages af matematikundervisningen, men også i et samspil/samarbejde mellem flere af skolens fag.
til: GYMNASIER
emne: MATEMATISK MODELLERING
UDGIVET: 2021