Lad den matematiske modellering række ind i naturfagene

Et skybrud betyder, at der falder mindst 36 millimeter regn i løbet af en halv time i et boligområde. Men hvor meget er 36 millimeter regn egentlig? Og hvad betyder det, når så stor en vandmængde rammer så hurtigt?

Sådan lød en af de opgaver lektor Claus Auning stillede udskolingselever på forskellige folkeskoler i forbindelse med sin ph.d. Model-based inquiry in school science and mathematics: What knowledge and skills are required for teachers?. Målet var at undersøge, hvilke færdigheder lærere i udskolingen skal besidde for at lykkes med et tværfagligt modelleringsforløb i matematik og naturfag.

”Traditionelt har man i matematik arbejdet ud fra nogle modeller, som læreren gennemgår, og som eleverne så lærer at afkode og anvende. I den modelleringsbaserede læring går eleverne undersøgende til værks og udvikler deres egne unikke modeller. I min ph.d.-afhandling ville jeg undersøge, hvordan man kunne bruge den modelleringsbasserede tilgang i et tværfagligt forløb mellem matematik og naturfag. Hvad skulle der til for at bruge modelleringen til at skabe en dybere faglig forståelse i begge fag? Hvad skal man som lærer være bevidst om?. ” forklarer Claus Auning.

Forløbet om nedbør tog sit afsæt i en film fra Flensborg. Her kunne eleverne se, hvordan vandet efter et voldsomt skybrud kom op af kloakkerne. Men hvordan kunne det være? Og hvad kunne man gøre for at afhjælpe det? De spørgsmål skulle eleverne besvare ved at lave forskellige undersøgelser. Men først fik de nogle redskaber.

”Vi tog udgangspunkt i vandbalance-ligningen. Altså, at nedbør er lig med fordampning plus den afstrømning, der kommer både på overfladen og under jorden. Fordampning er der ikke noget af, når vandet kommer så hurtigt. Så vi undersøgte afstrømningen. Blandt andet var eleverne ude at opmåle arealer af skolegården for at finde ud af, hvor store mængderne af vand faktisk var. Og de undersøgte forskellige typer af belægning og jordforhold for at opdage, at i nogle forhold bevæger vandet sig ikke ned igennem jordsøjlen, men på overfladen. Hældte de derimod vandet ned i sand, så forsvandt alt vandet faktisk ned i sandet,” siger Claus Auning.

Han forklarer, at eleverne opstillede deres egne hypoteser, som de så undersøgte – og efterfølgende diskuterede de i klassen, hvordan de var nået frem til deres resultater.

”Vi havde lavet en modelskabelon, hvor man så en by med en skrænt for oven – og for siden. Her skulle eleverne tegne, hvor de troede oversvømmelserne kom – og hvor vandet løb hen. De startede med at indtegne nogle hypoteser – og så blev de klogere gennem de undersøgelser, de lavede og tegnede igen. Det gjorde de i alt fire gange, og på den måde udviklede de over en periode deres egne modeller. Alle modellerne havde deres eget udtryk, fordi det var forskellige elementer, de fandt væsentlige,” fortæller Claus Auning.

Skybrudsforløbet er et eksempel på, hvordan man kan arbejde med matematematiske læringsprocesser samtidig med, at man bruger elementer fra naturfag til at forstå det, man arbejder med i modelleringen, forklarer Claus Auning:

”Vi har et virkeligt fænomen, i dette tilfælde skybruddet, som eleverne tager nogle dele af og matematiserer. Når de så kobler deres beregninger tilbage til skybruddet, vil de fx finde ud af, at meget af vandet i morænen løber i overfladen og ud – og noget af det vil løbe igennem. De kobler altså deres beregninger til det konkrete og bruger matematikken aktivt til at forstå nogle naturfaglige fænomener, der måske var for abstrakt til at forstå, inden de regnede det ud, siger Claus Auning og tilføjer:

”Samtidig lagde vi vægt på også at sætte matematikken i centrum: Hvordan kom I frem til resultatet? Hvad er det for en matematik i anvender? For ellers bliver matematikken blot et redskab til forståelse af naturfag. I emnet om nedbør ligger der en ligningsforståelse, og der er fokus på mængde og volumen. Her ville vi gerne have dem til at overveje, hvad det var for noget matematik, de arbejdede med. Vi ville gerne have, at eleverne også blev i matematikkens verden.”

Læreren skal selv tegne

For de fleste elever er det nyt at udvikle deres egne modeller, og det kan, ifølge Claus Auning, være en god idé at lade dem inspirere sig af hinanden. I nedbørsforløbet arbejdede de derfor med gallery walks, hvor eleverne sammen med lærerne gik rundt i klassen og så på og talte om elevernes forskellige modeller. For nogle elever er det den kreative del, det at formidle og tegne, der er udfordringen. Og det kan det faktisk også for læreren, fortæller Claus Auning:

”Lærere er ikke vant til at lave modeller selv. Vi har set i tusindvis af dem, men vi er ikke videnskabsfolk, der selv laver dem. Mit råd til lærerne har derfor været: Hvis du vil have eleverne til at lave øvelsen, er du nødt selv at tegne det. Det er nemmere at spørge ind til det, eleverne har lavet, når man selv har været problematikkerne igennem og overvejet, hvordan man vil tegne sin model, ” siger han og fortæller, at han I et af de første forløb oplevede, at lærerne gik rundt og spurgte om nærmest ingenting.

”De kiggede ikke på det, eleverne havde tegnet og spurgte ikke ind til det. Det er et problem, for det er lærerens spørgsmål til elevernes modeller, der skal drive processen. Man skal se på elevernes modeller og lytte til eleverne – og så skubbe dem videre ved at tage udgangspunkt i det, man kan se, at de kan. Hvis modelleringen skal fremme den faglige forståelse, skal det ske i samarbejde mellem læreren og eleverne.”

Det er imidlertid ikke bare elevernes modeller, lærerne skal øve sig i at være nysgerrige. Særligt matematiklæreren skal stille sig mere åbne over for, at inddragelsen af andre fag kan få elevernes matematikforståelse til at vokse samtidig med, at matematikken bidrager til dybere forståelse i andre fag, siger Claus Auning:

”Jeg har mødt mange matematiklærer, der siger: Ja, det er fint nok, men jeg ved ikke noget om jord, og jeg ved slet ingenting om blomster. Og det er ikke matematik. Hvis man skal lykkes med de tværfaglige modelleringsforløb, er man nødt åbne op for andre fagområder og se, hvordan matematikken kan bidrage til forståelse – også inden for noget, man ikke selv har faglig viden om. Faktisk viser både min empiri og anden forskning, at elevernes matematikforståelse vokser, når den kobles til andre fag – og virkelige fænomener. Og samtidig vokser deres forståelse for omverdenen.”

Endelig peger Claus Auning på, at det kræver grundig forberedelse fra lærerens side at lykkes med modelleringsforløb på tværs af matematik og naturfag.

”Man skal gennemtænke forløbet som sådan et større storyline-forløb: Hvorfor kom der så meget vand i byen? Og hvorfor skete der den udvikling, der skete? Det tager tid at planlægge og afprøve. Omvendt kan jeg se, at når forløbene er lavet, så kan man bruge dem igen og igen. Og så bliver man jo også bedre og bedre til at modellere, men det tager tid at komme i gang.”

Elevernes motivation vokser

Claus Auning har interviewet alle de udskolingselever, der har været igennem blandt andet nedbørsforløbet i forbindelse med hans ph.d.-afhandling. De fleste af dem gav udtryk for, at deres motivation er steget voldsomt gennem forløbene.

”De føler en form for tilfredsstillelse i, at de faktisk kan bruge deres matematik og naturfag til noget. Mange af dem tænkte, da de startede vandforløbet, at de ’couldn’t care less’. Men ved at komme så meget ind i det og ved virkelig at have hands on, begynder de at forstå, og så bliver det spændende. De har en fornemmelse af at mestre noget lige pludselig. De sagde stort set allesammen: Vi har lært utrolig meget på kort tid, hvilket blandt andet modellen er med til at anskueliggøre. Det bliver meget tydeligt for dem, hvad det er for en proces, de har været igennem,” siger Claus Auning.

I alt 17 folkeskoleklasser på 7.- 9. klassetrin og otte lærere fra tre syddanske folkeskoler har sammen med to undervisere og 15 studerende på Læreruddannelsen på UC SYD fungeret som empirisk materiale i Claus Aunings ph.d. 

Af journalist Eva Frydensberg Holm

Få nyheder om ny matematikdidaktisk forskning i din indbakke - tilmeld dig NCUM's nyhedsbrev her