Læringsspor: At løse ligninger
Introduktion
Dette læringsspor sigter mod, at elever udvikler strategier til at løse lineære ligninger. Sporet kan begynde i 3. klasse og det strækker sig over 2-3 år. Set i forhold til stofområdet ’Tal og algebra’ i grundskolen vedrører sporet de naturlige tal, de fire regningsarter og tidlig algebra, som vist i figur 1.
Mål
Læringssporet har to overordnede mål, der hænger sammen:
- Sporet skal bidrage til, at elever udvikler forståelse for egenskaber ved ligheder og ligninger.
- Sporet skal gøre elever i stand til at opstille og løse ligninger på formen $ax+b=cx+d$ hvor $a,b,c$ og $d$ er heltal og $x$ er et naturligt tal.
Elever, der i 3. klasse er kommet langt i forhold til mål 1), ved bl.a., at en lighed, som fx $8 + 4 =$ _ $+ 5$, betyder, at værdien af hver side af lighedstegnet skal være den samme. Disse elever kan fx se, at den ukendte værdi i ligheden må være 1 mindre end 8, fordi 5 er 1 større end 4. Elever, der i 5. klasse er kommet langt i forhold til mål 1), ved, at det at løse en ligning som $21-x=19+x$ betyder at finde værdier af $x$, som gør, at udtrykkene på hver side af lighedstegnet har samme værdi. En elev kan fx sammenligne udtrykkene og tænke ”Der er 2 imellem 19 og 21, så det må være halvdelen af 2”.
Faktaboks: ligningssituationer
En ligningssituation er en fortælling eller gåde, som elever kan forestille sig og leve sig ind i, og som rummer en ligning. Situationerne er derfor ofte konstrueret til lejligheden og kan virke lidt pseudoagtige sammenlignet med hverdagsproblemer.
Elever, der i 3. klasse er kommet langt i forhold til mål 2), kan løse ligninger, der er knyttet til ligningssituationer (se faktaboks) og som er repræsenterede som tegninger. En elev kan fx tegne situationen med Sofus og Alma (se eksempel til højre) og tænke ”Jeg ser bort fra en tier og fra en kuvert. Så har én kuvert to tiere”. Elever, der i 5. klasse, er kommet langt i forhold til mål 2) kan løse ligninger skrevet som algebraiske udtryk fx på formen $18-8x=12x-2$. En elev kan tænke ”Jeg lægger $8x$ til begge sider. Så $2$ til begge sider. Så er $20=20x$, og $x$ er 1”. En anden elev kan sammenligne de to udtryk og se, at de begge giver 10, hvis $x$ er 1.
De to mål understøtter hinanden og udvikles bedst i sammenspil. Således udvikler elever bedre forståelser for egenskaber ved de begreber, som er involveret i ligningsløsning, fx ligheder, ubekendte og variable, når de samtidig udvikler strategier til at løse ligninger.
Eksempel på ligningssituation:
Hver uge får Sofus og Alma en kuvert med lige mange lom-mepenge. Sofus har gemt 2 kuverter og har desuden 10 kr. i sin lomme. Alma har kun gemt 1 kuvert, men hun har 30 kr. i sin lomme. Sofus og Alma har nu lige mange penge. Hvor meget får de i lommepenge?
