Eksempel: Definitioner og faglige pointer for eksponentialfunktioner og logaritmer 

Et eksempel på undersøgelsesbaseret undervisning, der er designet og afprøvet i STX, 1. g, B og C-niveau. Det inviterer eleverne til at benytte flere ressourcer til at konstruere viden om eksponentialfunktioner. Projektet støtter elevernes kommunikations-, repræsentations-, tankegangs- og ræsonnementskompetencer, og viden om og færdigheder i forhold til at arbejde med fordobling og eksponentiel vækst bliver styrket.

Når vi taler om undersøgelsesbaseret undervisning,  vægtes forskellige elementer i undersøgelsesaktiviteten, afhængigt af hvilken matematikdidaktisk teori der trækkes på. I nogle kontekster forventes eleverne at besvare noget, der minder om et virkelighedsproblem med de redskaber de har lært i tidligere undervisning – hvilket til dels er tilfældet i dette eksempel. I andre sammenhænge forventes eleverne at konstruere ny faglig viden baseret på deres eksisterende viden i en given kontekst, der er tænkt til at understøtte elevernes konstruktion af ny viden.

Her ser vi nærmere på et eksempel, hvor man i det undersøgende arbejde inviterer eleverne til at bruge forskellige ressourcer til at konstruere viden om eksponentialfunktioner, og som skaber et behov hos eleverne for faktisk at bruge lærebogen. (Kilde 1)

Eksemplet er designet til og afprøvet i hhv. en 1. g matematik C og en B-niveau klasse på STX med lige gode resultater. Nedenfor refereres der til resultatet af afprøvningen i C-niveauklassen.

Et undersøgelsesbaseret forløb om funktioner

I denne klasse blev der undervist i funktionsbegrebet gennem nogle større og mere åbne problemer, der skulle give eleverne anledning til at tale om og diskutere matematikken relateret til lineære funktioner, eksponentialfunktioner og potensfunktioner.

De skulle arbejde med repræsentationsskift og formulere argumenter for formlerne for hhv. fremskrivningsfaktoren og skæringen med y-aksen for at kunne forstå og sammenholde egne og andre elevgruppers svar på disse problemer.

  • Læreren havde en tilbagetrukken rolle under elevernes undersøgende arbejde. Det var muligt, fordi læreren havde designet problemerne, så de var tilgængelig for eleverne, og foreslået et 'ressourcerum' for hvert problem, der bestod af en halv til en hel side med tekster fra lærebøger eller korte videoer, inspireret bl.a. af tidligere AT-eksamensopgaver.  
  • For hvert tema var grupperne sammensat af læreren, så de så vidt muligt var på samme faglige niveau.
  • Herudover rammesatte læreren arbejdet, bl.a. ved at styre tiden og rækkefølgen ved fremlæggelser.
  • Læreren præsenterede hverken definitioner eller sætninger for eleverne, men samlede op efter timerne ved at bruge elevernes formuleringer og skriverier på tavlen.

Vi vil her fokusere på arbejdet med eksponentialfunktioner. Her mødte eleverne fire problemer, hvor de på forhånd ikke havde fået undervisning i gymnasiet ift. hvordan de skulle besvares.

Problem 1

Et bedsteforældrepar giver deres nye barnebarn en børneopsparing på 5000 kr. i fødselsgave. Pengene står på en konto til 2,5 % i rente, hvor mange penge kan drengen hæve, når de frigives?

Problemet her ligner på mange måder en helt almindelig regneopgave, hvor man kan bruge renteregningsformlen fra grundskolen: \(K\)n \(= K\)0\( ⋅ (1 + r)\)n.

Eleverne blev dog ikke mindet om dette på forhånd, hvilket gav læreren et indblik i, hvilke strategier der faldt eleverne naturlige, samt hvor meget de erindrede fra grundskolens matematikundervisning. Problemet blev fulgt af et ressourcerum, der demonstrerede, hvordan man taler om eksponentialfunktioner i en gymnasial kontekst, hvor 2 ressourcer var på skrift og en i form af en video.

Da elevgrupperne skulle fremlægge deres arbejde, havde de undersøgt rammer for børneopsparinger, og hvornår de udbetales.

  • Nogle elever havde lavet lineære modeller.
  • Andre havde brugt renteregningsformlen.
  • Andre havde regnet beløbet for hvert år i regneark.
  • Enkelte grupper havde opstillet en eksponentiel model vha. notationen fra gymnasiematerialerne.

På baggrund af elevernes egne præsentationer diskuterede eleverne med hinanden, hvorfor den lineære model ikke fungerede, samt hvad koblingen mellem renteregningsformlen og notationen \(y = b ⋅ a\)x er.

Problem 2

Hos naboen har bedsteforældrene også lavet en børneopsparing på 5000 kr. Efter 10 år står der 5.947,22 kr. Hvor mange penge kan de to børn hæve til deres 18-års fødselsdag?”

Dette problem var designet til at skabe behov hos eleverne for at bruge formlerne:

$a= \sqrt[x_2-x_1]{\frac{y_2}{y_1}}$ og $b= \frac{y_1}{a^{x_1}}$    

Ydermere måtte eleverne gerne undre sig over og undersøge, hvordan disse formler er udledt.

 

Problem 3

Hvis reglerne for børneopsparinger blev ændret, så pengene først kan udbetales, når beløbet er fordoblet, hvor længe skal man så vente?

Det tredje problem skulle adressere fordoblingskonstanten. Problemet er igen relativt banalt og ikke som sådan autentisk, men det har den værdi, at det leder til en situation, hvor eleverne får brug for formlen for fordoblingskonstanten:

$T_2= \frac{\log (2)}{\log (a)}$

I princippet kan spørgsmålet besvares ved brug af renteregningsformlen, hvor $n$ skiftes ud med stadig større tal, indtil man ser, at personen skal være lidt mere end 28 år gammel. Det var dog ikke, hvad der skete i den pågældende klasse.

Arbejdet med de tidligere problemer og det, at eleverne på dette tidspunkt havde vænnet sig til at skulle præsentere deres arbejde så præcist for hinanden som muligt, og så de andre kunne forstå det, havde gjort alle mere fortrolige med notationen koblet til funktionsbegrebet og algebra koblet til de ligninger, der skulle løses i denne sammenhæng.

Grupperne præsenterer i rækkefølge efter deres faglige niveau, der er 8 grupper og hver gruppe forventes at bruge deres ottendedel af tavlen til at forklare sig: 

Elevernes gruppepræsentationer

Gruppe 1:

"Vi ser problemet som, at vi skal løse dette, da det dobbelte beløb er 10.000 kr. og vi bruger den samme formel som før":

$10.000=5.000 \cdot 1,025^x$
$2=1,025^x$

"Men så ved vi ikke, hvordan vi kommer videre herfra, når \(x\) står der?" siger eleven og peger på eksponenten.

Læreren:

"Er der nogen, der har spørgsmål til, hvordan de er kommet frem til dette?"

Klassen:

Er stille. Gruppe 1 sætter sig. Gruppe 2 går op til tavlen.

 

Gruppe 2:

"Vi brugte den formel, der stod i bogen [en af de af læreren foreslåede ressourcer] og fik":

      $T_2= \frac{\log (2)}{\log (1,025)}=28,07$    

"Det der", siger eleven og peger på 'log' "er bare noget, man taster inde i Nspire".

Læreren:

"Er der spørgsmål eller kommentarer til denne løsning?"

Klassen:

Er stille. Gruppen sætter sig ned.

 

De næste følger med fremlæggelser, der ligner gruppe 2, indtil gruppe 6 skal præsentere.

 

Gruppe 6:

"Vi vil gerne fortsætte der, hvor gruppe 1 stoppede." Et gruppemedlem begynder at skrive på tavlen:

$x \cdot \log (1,025)= \log (2)$

$\frac{x \cdot \log (1,025)}{\log (1,025)}=\frac{\log (2)}{\log (1,025)}$

$x= \frac{\log (2)}{\log (1,025)}=28,07$   

Læreren:

"Er der kommentarer eller spørgsmål?"

Klassen: 

Er meget stille, og flere ser meget tænksomme ud.

 

Gruppe 7:

Præsenterer deres besvarelse, der ligner de andres, der sætter direkte ind i formlen for fordoblingskonstanten. Og den sidste gruppe kommer til.

 

Gruppe 8:

"Vi har gjort ligesom gruppe 7, men i stedet for at præsentere vil vi gerne vide, hvad sker der lige der?", siger de og peger på første linje af gruppe 6’s præsentation.

 

Gruppe 6:

"Vi brugte reglen  $\log (a^x) = x \cdot \log (a)$. Er det ikke rigtigt, at hvis $f(x)=10^x$, så er den omvendte funktion $f(x) = \log (x)$?" Spørgsmålet var rettet til læreren.

Læreren: 

Nikker og finder nye ressourcer til gruppe 8 og klassen om definitionen af 10-talslogaritmen.

Gruppe 6: 

Forklarer hvilken henvisning i den oprindelige ressource, de havde fulgt for at finde frem til udledningen af formlen for fordoblingskonstanten og definitionen af logaritmen.

Læreren vurderer, at de fleste elever stadig ikke rigtigt ved, hvordan de skal fortolke fordoblingskonstanten eller begrunde formlen, de har brugt. Læreren vælger derfor på stående fod at formulere et nyt spørgsmål til klassen:

"Hvis nu pengene skulle blive stående, til de blev fordoblet igen – hvor gammel ville personen så være?"

Denne gang viste fremlæggelserne en større variation, da mange grupper ikke turde tro på, at det var den samme tid igen. Nogle grupper lavede grafiske repræsentationer og viste, at en ny fordobling svarede til samme afstand på x-aksen som ved den første, andre prøvede sig frem med forskellige værdier af \(x\), andre igen kom med mere ordrige forklaringer på, hvorfor dette ville svare til to gange fordoblingstiden.

 

Gruppe 7 og 8 var imidlertid blevet inspireret af gruppe 6’s arbejde og præsenterede følgende:

Gruppe 7: 

"Vi har valgt at gøre, som gruppe 6 gjorde før, ved at løse dette." Et gruppemedlem begynder at skrive på tavlen:

$5.000 \cdot 1,025^x =4$

$1,025^x = 4$

$x \cdot \log (1,025) = \log (4)$

$\frac{x \cdot \log (1,025)}{\log (1,025)} = \frac{\log (4)}{\log (1,025)}$

$x= \frac{\log (4)}{\log (1,025)}=56,14$

"Vi har altså her fundet en 4-doblingskonstant."

Gruppe 8: 

Argumenterede videre for, at man også kan finde en 8-doblingskonstant osv., og at de er med til at beskrive hvad eksponentiel vækst er.

I denne omgang stillede eleverne flere spørgsmål til hinandens præsentationer, og læreren samlede op på timen ved at hjælpe eleverne med at koble de forskellige måder, eleverne havde besvaret spørgsmålet.

Eleverne skulle efterfølgende aflevere en temaopgave, der beskrev, hvad vi forstår ved eksponentialfunktioner. Her havde de fleste elever bevist formlen for fordoblingskonstanten, og til den mundtlige eksamen lavede de elever, der trak emnet, gode præsentationer af netop dette.

LÆRINGSUDBYTTE

Det særlige ved dette eksempel på undersøgelsesbaseret matematikundervisning er den eksplicitte 'behovsskabelse' for begreber, der står centralt for emnet, samt behovet for eksplicit brug af lærebogen.

Undersøgelsesbaseret matematikundervisning giver bl.a. anledning til:  

- Nysgerrighed og brug af lærebog

Det er tydeligt, at eleverne i gruppe 2 havde set en pointe i at forsøge at læse den ene side i lærebogen, som læreren havde foreslået. Bogen præsenterede formlen for fordoblingskonstanten samt et eksempel på dens brug. Eleverne var fuldt ud i stand til at bruge dette til at besvare problemet.

Samtidig var andre elever i stand til at undre sig over, hvad der mentes med ’log’, og forfølge bogens henvisning til uddybende forklaringer på, hvordan logaritmerne var defineret. Denne nysgerrighed fra gruppe 6 ansporede gruppe 7 og 8 til selv at læse mere om dette og bruge dette i det opfølgende spørgsmål.  

Her brugte grupperne, at de nu vidste noget om fordobling, men undersøgte videre på relativt forskellig vis, hvad der kunne menes med endnu en fordobling af beløbet i forhold til, hvor lang tid det ville tage. Her blev elevernes kommunikations-, repræsentations-, tankegangs- og ræsonnementskompetence videreudviklet, samtidig blev deres viden om og færdigheder i forhold til at arbejde med fordobling og eksponentiel vækst styrket.

- Klare læringsmål

En anden pointe er det klare læringsmål for lektionen, hvor eleverne skal vide, hvordan man finder fordoblingskonstanten, samt hvad den betyder. Dette havde guidet lærerens analyser af mulige elevstrategier og gjorde at læreren på stående fod kunne konkludere, at kun få strategier havde været i spil, samt at eleverne havde interesseret sig meget lidt for, hvad fordoblingskonstanten egentlig sagde noget om.

Derfor var det let at formulere et opfølgende spørgsmål, der potentielt kunne udvide elevernes begrebsforståelse. Udvælgelsen af ressourcer var naturligvis tænkt til at understøtte læringsmålet samt de strategier, der var produktive at arbejde med for at nå læringsmålet.

- Eleverne udvikler og udforsker, og det udfordrer den didaktiske kontrakt

Som afsluttende bemærkning er det værd at holde sig for øje, at denne form for undervisning bryder med mere traditionelle former, som mange elever har været vant til gennem de første mange års skolegang. Her er det ikke længere læreren, der præsenterer formler eller argumenter, men eleverne, der finder eller udvikler dem og udforsker dem på forskellig vis.

Dette fik imidlertid nogle elever til at brokke sig over, at de nu skulle gøre alt arbejdet, og det var dem, der underviste hinanden, ikke læreren, som de mente, lavede meget lidt eller ingenting. De, ofte implicitte, forventninger til ansvarsfordelingen mellem lærer og elever er det man kalder den didaktiske kontrakt. (Kilde 2)

En ændring af den eksisterende kontrakt vil i mange tilfælde øge elevernes læringsudbytte. Bliver frustrationerne for store blandt eleverne, kan det være nødvendigt at tale med eleverne om, hvad de har fået ud af selv at være mere aktive i undervisningen, samt at det er helt naturligt, at dette koster frustrationer undervejs.

Til den mundtlige eksamen kommenterede censor ligeledes på den alternative tilgang til undervisningen i disse forløb med skepsis, men roste elevernes udbytte efter eksamen. Man skal altså være forberedt på at møde en vis modstand fra forskellig side, hvis man vil lade dele af undervisningen være baseret på åbne problemer og undersøgelsesbaseret tilgang. Men med velgennemtænkte designs vil interessante og produktive læringsprocesser med al sandsynlighed udfolde sig.

til: GYMNASIER - STX
emne: UNDERSØGELSESBASERET MATEMATIKUNDERVISNING
 

Forfatter

Britta Eyrich Jessen

Adjunkt
Institut for Naturfagenes Didaktik, KU


Udgiver

Temaer på matematikdidaktik.dk udvikles i tæt samarbejde mellem forskere og praktikere og udgives af NCUM.
Se redaktionen og vores redaktionelle retningslinjer

Kilder

  1. Jessen, B. E. (2018). Hvordan kan matematiklærere udvikle deres undervisningspraksis? LMFK-bladet, 2, s. 15-21. 
  2. Jessen, B. E., Axelsen, J. & Winsløw, C. (2020). Undersøgelsesbaseret Matematikundervisning – en introduktion til inspiration. Matematiklærerforeningens forlag, s. 21.
  3. Jessen, B. E. (2017). How to generate autonomous questioning? Recherches en Didactique des Mathématiques, 37, 2-3, p. 217-245.  

Del tema Tag med