Ræsonnementskompetence

Ræsonnementskompetencen, som indført i KOM-projektet (Niss & Jensen, 2002), går ud på at kunne producere matematiske ræsonnementer og at kunne forholde sig til bestræbelser på at godtgøre matematiske påstande. (Kilde 1)

Ræsonnementskompetencens to aspekter

Nærmere bestemt rummer ræsonnementskompetencen to aspekter:

Et produktivt aspekt, som består i selv at være i stand til at godtgøre matematiske påstande, hvad enten de er af almen (teoretisk) art, angår enkeltstående problemstillinger eller vedrører matematiske påstande, der optræder i sammenhæng med matematisk modellering. Heri indgår evnen til selvstændigt at udtænke og realisere strategier til gennemførelse af matematiske ræsonnementer for forskellige slags påstande, rækkende fra uformelle, heuristiske skitser til egentlige beviser.

Et analytisk aspekt, som består i at kunne forstå, analysere og vurdere foreliggende (forslag til) matematiske ræsonnementer, egne såvel som andres. Heri indgår evnen til at afklare status for et givet ræsonnement. Herunder om der er tale om et (korrekt) bevis for en påstand, en løsere form for ræsonnement eller om et ugyldigt ræsonnementet.

Fra praksis og fra forskningen ved vi, at selv om både det produktive aspekt og det analytiske aspekt rummer udfordringer for elever og studerende, er udfordringerne ved det produktive aspekt sædvanligvis større end ved det analytiske aspekt.

Eksempel på ræsonnementskompetencens produktive aspekt

Vi ved fra teorien om differentiabilitet, at (fg)’ = f’g +fg’. Betyder det, at det aldrig gælder, at (fg)’ = f’g’? Vores strategi er at lede efter bekræftelseseksempler på dette eksistensproblem. Med funktionerne f og g, givet ved f(x) = exp(2x) og g(x) = 2exp(2x), har vi f’(x) = 2exp(2x) og g’(x) = 4exp(2x), hvorved f’(x)g’(x) = 8exp(4x), samtidig med at (fg)’(x) = [2exp(4x)]’ = 8exp(4x). Dvs. (fg)’ = f’g’i dette tilfælde. (Der findes uendeligt mange andre eksempler). Det er altså ikke sandt, at det aldrig gælder, at (fg)’ = f’g’. Men selvfølgelig gælder det også for alle sådanne eksempler, at fg’ = f’g +fg’.

Eksempel på ræsonnementskompetencens analytiske aspekt

Det følgende skal forestille et bevis for at ethvert tal er lig med 0.

Vi ser på et vilkårligt tal a og sætter b=a. Ved at gange med a på begge sider af lighedstegnet får vi ab=a². Så kan vi udregne

 ab-a=ab-a²=0 (da vi har ab=a²).

Da 0 gange hvad som helst (fx b-a) er 0, er

 0=0∙(b-a),

som sættes ind oven for, så vi får

 a∙b-a=0=0∙(b-a).

Nu kan vi dividere med b-a på begge sider af lighedstegnet. Tilbage står a=0. Da a var vilkårligt valgt, er ethvert tal lig med 0.

1. Er det sandt, at ethvert tal er lig med 0? Ja:    Nej:     Jeg kan ikke svare:
2. Er det anførte bevis korrekt? Ja:    Nej:      Jeg kan ikke svare:
3. Hvis du mener, at det anførte bevis er ukorrekt, hvad er så galt med det?

En fyldestgørende behandling af denne opgave kræver fuld aktivering af den analytiske side af ræsonnementskompetencen.

Ræsonnementskompetencen versus tankegangskompetencen

Man støder ofte på folk, der har svært ved at skelne mellem på den ene side den såkaldte tankegangskompetence og på den anden side ræsonnementskompetencen, eftersom ræsonnementer jo står helt centralt i matematisk tænkning. Forvekslingen/sammenblandingen er derfor let at forstå.

Imidlertid er der en klar arbejdsdeling mellem de to kompetencer, som gør, at de faktisk ikke står for det samme. Som oven for nævnt fokuserer ræsonnementskompetencen på godtgørelsen af matematiske påstande. Tankegangskompetencen, derimod, fokuserer især på at forholde sig til, hvilke slags spørgsmål, man stiller i og med matematik, og til hvilke slags svar, man kan forvente på sådanne spørgsmål, mens den ikke angår frembringelsen eller retfærdiggørelsen af svar på konkrete spørgsmål. Tankegangskompetencen fokuserer også på at forholde sig til forskellen mellem forskellige slags matematiske erklæringer og udsagn (fx definitioner, eksistensudsagn, entydigheds- og andre antalsudsagn, universal- og umulighedspåstande, udsagn om objekters egenskaber m.m.) og de logiske strukturer af sådanne erklæringer og udsagn. Endelig fokuserer den på at forholde sig til abstrakthed og abstrahering af matematiske begreber og generalitet og generalisering af matematiske strukturer og udsagn.

Som tilfældet er med alle kompetencerne i KOM-projektet, er der vigtige forbindelser mellem tankegangskompetencen og ræsonnementskompetencen, men de betyder altså noget forskelligt.