Hvad viser matematikdidaktisk forskning om ræsonnementer i matematik?

I dette afsnit beskriver vi et udvalg af de forskningsresultater og dermed forbundne teoretiske konstruktioner, som feltet tilbyder i forhold til undervisning i og læring af matematiske ræsonnementer med fokus på bevisførelse.

Overordnet om elevers vanskeligheder med matematisk bevis og bevisførelse

Ifølge Education Committee of European Mathematical Society (2011) er begrebet om matematisk bevisførelse fuldstændig uden for konventionel tankevirksomhed, idet viden herom adskiller sig fra alle andre vidensdomæner, naturvidenskabelige såvel som hverdagsmæssige. Matematiklærere på alle uddannelsesniveauer må derfor kræve, at deres elever tilegner sig et nyt, ikke-naturligt fundament af forestillinger (beliefs, se nedenfor), når de bedes om at udføre eller forholde sig til et matematisk bevis. Modsat vores oplevelser fra hverdagen er der i matematik for eksempel ikke nogen ”undtagelser, der bekræfter reglen”. Hverdagsforestillinger kan derfor sjældent tjene som tilstrækkelig basis for arbejdet med ræsonnement og bevisførelse i matematik-klasselokalet – i al fald ikke når det drejer sig om formel matematisk bevisførelse.

Den franske matematikdidaktiker Raymond Duval skelner (2007) mellem to hovedårsager til elevers vanskeligheder i forhold til matematiske beviser og bevisførelse:

1. Misforståelser i forhold til hvad er et gyldigt ræsonnement er. Herunder hører også statusforvirring i forhold til ’ingredienserne’ i et bevis, fx hypotese, egenskab og konklusion samt manglende skelnen mellem et ”hvis-så”-udsagn (en implikation) og dets omvendte eller mellem implikation og biimpilkation.
2. Mangelfuld indsigt i fremdriften af et bevis. Herunder hører også det at være klar over, hvornår et bevis er tilendebragt.

Ifølge den israelske matematikdidaktiker Tommy Dreyfus (1999) peger internationale forskningsresultater angående matematisk bevisførelse alle i samme retning: nemlig på, at elever og studerende på såvel gymnasieniveau som videregående uddannelser oftest ikke ved, hvad et matematisk bevis er, ej heller hvilket formål, det er tænkt at tjene. Udover forskellen til hverdags-ræsonneren hidrører elevers vanskeligheder fra det faktum, at de formentlig aldrig er blevet forklaret, hvad et matematisk argument er (Dreyfus, 1999). En sammenblanding af ”mere eller mindre formelle argumenter […] med visuelle eller intuitive retfærdiggørelser, generiske eksempler, og naiv induktion” i lærebøger gør det ikke nemmere at skelne mellem disse former for argumentation eller at kunne afgøre, hvorvidt de overhovedet er acceptable, siger Dreyfus (1999, s. 97).

Selv om matematiske beviser og bevisførelse kun er én del af det at ræsonnere i matematik, er det ikke desto mindre den del, der har fået mest forskningsmæssig opmærksomhed i matematikkens didaktik, mens andre slags ræsonnementer ikke har modtaget megen opmærksomhed. Navnlig har forskningen interesseret sig for elevers og studerendes opfattelse af matematiske beviser og for deres vanskeligheder med at omgås dem (se fx Timmermann 2007).  I nogle få tilfælde har fokus været på, hvad man kan gøre for at stilladsere elevers arbejde med matematisk bevisførelse (fx Knipping, 2008).

Eksempel på elevers vanskeligheder med bevisets rolle

I forhold til elevers vanskeligheder med at forstå formålet og funktionen af et matematisk bevis giver vi følgende eksempel.

Med udgangspunkt i et tidligere studie af Efraim Fischbein (1982) beskriver Shlomo Vinner (2000) et studie omhandlende matematisk bevis med israelske gymnasieelever. Studiet strakte sig over to dage.

Den første dag gennemgår elevernes underviser beviset for at 6 | (n³ – n ) for n (> 1; hvis n = 1, er påstanden triviel) tilhørende de naturlige tal altså, at 6 går op med 0 som rest. Følgende omskrivning foretages:

n³ – n = n(n² – 1) = n(n – 1)(n + 1) = (n – 1)n(n + 1).

Altså er der tale om et produkt af tre på hinanden følgende naturlige tal. Et af disse tal må være deleligt med 2, og et af disse tal (ikke nødvendigvis et af de andre) må være deleligt med 3. Produktet af de tre på hinanden følgende tal er derfor deleligt med 6, da 2 og 3 ikke har andre fælles divisorer end 1.

Dagen efter blev eleverne bedt om at vise, at 59³ – 59 er deleligt med 6. Elevernes svar kunne inddeles i tre hovedgrupper:

• Gruppe 1: Disse elever udregner udtrykket 59³ – 59 til 205.320, hvorefter de deler det med 6 og konstaterer, at de får resten 0.
• Gruppe 2: Disse elever gennemfører beviset fra dagen før, blot med 59 på n's plads. Altså,  59³ – 59 = 59(59² – 1) = 59(59 + 1)(59 – 1) = (59 – 1)59(59 + 1), hvorefter det tidligere ræsonnement angående delelighed med 6 fremføres.
• Gruppe 3: Endelig er der også elever, der blot henviser til, at dette blev bevist for alle naturlige tal n dagen før, og at siden 59 er et naturligt tal, gælder det, at 6|(59³ – 59).

Disse tre typer af svar har siden dannet rammen for et større studie med 1.g’ere og 2.g’ere af Vinner (2000). Ud af en samlet population på 365 elever falder 14% i gruppe 1, 35% i gruppe 2, 43% i gruppe 3, mens 8% falder udenfor.

Bevisets rolle – fra et didaktisk synspunkt

Som sagt er et ræsonnement, der på korrekt vis udleder en påstand på baggrund af de givne præmisser ved hjælp af de fremsatte argumenter, et bevis. Det er oplagt, at et bevis’ rolle først og fremmest er at skabe sikkerhed for sandheden af en given påstand (fx et teorem). Men set fra såvel et historisk som et didaktisk perspektiv kan beviser have andre funktioner end blot sandhedsskabelse.

Litteraturen oplister fem forskellige funktioner af matematisk bevis (de Villiers, 1990), nemlig som:

1. Godtgørelse og sandhedsskabelse, som oven for beskrevet.
2. Et middel til at forklare, hvorfor et givet matematisk resultat er sandt.
3. Et redskab til at systematisere forskellige matematiske resultater i deduktive systemer af aksiomer, begreber, teoremer osv. – altså som et middel til organisering af matematisk viden.
4. Et middel til at opdage nye resultater og ny viden i allerede eksisterende matematiske systemer/teorier.
5. En måde at formidle matematisk viden på.

Især en skelnen mellem beviser, der (”kun”) beviser, og beviser, der desuden forklarer (men altså også beviser), er didaktisk afgørende (Hanna, 1989). Mens den første slags kun viser, at en sætning er sand, dvs. beskæftiger sig med at underbygge påstanden med korrekte slutninger, viser den anden type, hvorfor et teorem kognitivt set er sandt, dvs. ”den tilbyder en mængde af årsager, der stammer fra selve fænomenet” (Hanna, 1990, s. 9, vores oversættelse). Eller sagt på anden vis: ”et forklarende bevis refererer til en karakteriserende egenskab ved en entitet eller struktur nævnt i teoremet, således at det ud fra beviset er tydeligt, at resultaterne afhænger af denne egenskab” (Steiner, 1978, s. 143, vores oversættelse). Skelnen mellem de to slags beviser er vigtig, fordi der findes en mangfoldighed af beviser, der nok leverer en korrekt godtgørelse af en matematisk påstand, men som ikke leverer nogen kognitiv indsigt i, hvorfor påstanden er sand. Den slags beviser kan bidrage til, at elever og studerende kommer til at opfatte beviser og bevisførelse som et meningsløst forehavende. Derfor er det vigtigt at lede efter beviser, der leverer en kognitivt meningsfuld indsigt i grunden til at en påstand er sand. Et klassisk eksempel herpå er Gauss’ formel for summen af n på hinanden følgende tal, n(n+1)/2, som kan vises ved et ikke-nødvendigvis særligt ”forklarende” induktionsbevis eller ved at illustrere, at

1 + 2 + 3 + ... + (n−2) + (n−1) + n

+

n + (n−1) + (n−2) + ... + 3 + 2 + 1

______________________________

(n+1) + (n+1) + (n+1) + ... + (n+1) + (n+1) + (n+1) = n(n+1)

men at man derved får talt tallene dobbelt og derfor skal dividere med 2.

Overbevisningsskemaer

Hvad angår bevisets funktion i forhold til at overbevise om sandheden af en påstand, har dette givet anledning til en række matematikdidaktiske forskningsresultater angående elevers (eller i det hele taget: folks) såkaldte ”overbevisningsskemaer” (på engelsk ”proof schemes”). En persons (eller et samfunds) overbevisningsskema består i, hvad der afgør, hvordan en person (eller et samfund) bringes til at indse og blive overbevist om en påstands rigtighed (Harel & Sowder, 2007). Indsigt er den proces, der fjerner ens egen tvivl om sandheden af ​​en påstand, mens overbevisning er den proces, der bruges til at fjerne andres tvivl. Ifølge Guershon Harel og Larry Sowder er det at erkende og at overbevise begge delprocesser af bevisprocessen. Disse delprocesser er imidlertid fuldstændig subjektive. Det betyder, at forskellige personer (eller samfund) kan lade sig overbevise af forskellige ting – og andre ting end de sædvanlige deduktive ræsonnementer der normalt accepteres inden for matematik og matematiksamfundet.

Harel og Sowder har opstillet en taksonomi bestående af tre overordnede klasser af overbevisningskemaer.

Eksterne overbevisningskemaer. Disse kan komme til udtryk ved et autoritært overbevisningsskma, fx at noget regnes for sandt, fordi læreren, lærebogen eller computeren siger det; et rituelt overbevisningsskema, fx at et geometribevis skal have et to-spalteformat (som det har været normen i USA); eller et ikke-referentielt symbolsk overbevisningsskema, fx at et bevis skal indeholde symboler og symbolmanipulationer og derved ”ligne” et bevis.

Empiriske overbevisningskemaer. Disse kommer i spil, når man bruger eksempler til at retfærdiggøre sandheden af ​​generelle (universelle) udsagn (Bell, 1976). Fx ved at man bliver overbevist om rigtigheden af ​​en given matematisk sammenhæng ved hjælp af to eller tre konkrete empiriske eksempler eller ved, hvad der kan opfattes som et ”afgørende” empirisk eksempel (Balacheff, 1987), der skønt konkret fremstår som vilkårligt valgt og dermed alment. Empiriske overbevisningsskemaer er typisk en konsekvens af elevers erfaringer uden for klasseværelset (Education Committee of European Mathematical Society, 2011).

Deduktive overbevisningsskemaer. Disse angår de fra matematikfaget velkendte beviser, så som fx direkte beviser, herunder aksiomatisk funderede beviser, bevis ved modstrid, induktionsbeviser, kombinatoriske beviser, osv.

Harel og Sowder underkategoriser også de empiriske og de deduktive overbevisningsskemaer (Harel & Sowder, 2007). Det er dog vigtigt at pointere, at der med ovenstående taksonomi ikke er tale om et hierarki af bevisskemaer.

I et studie af dygtige 14- og 15-årige elever omhandlende beviser vedrørende påstande om tal, fandt Lulu Healy og Celia Hoyles (2000), at elever samtidigt besad to forskellige bevisopfattelser: opfattelser vedrørende argumenter, de mente, ville få den bedste karakter, og opfattelser vedrørende argumenter, som de selv blev overbevist af og derfor foretrak. I den førstnævnte kategori var algebraiske argumenter populære. I den sidstnævnte foretrak eleverne argumenter, som de selv kunne vurdere, og som de fandt overbevisende og forklarende, der typisk udelukkede brug af algebra, som sagde de færreste noget. Ydermere dominerede empirisk argumentation i elevernes egne beviskonstruktioner på trods af, at de fleste elever var klar over denne argumentationsforms begrænsninger. De dygtigste elever fremlagde beviser i dagligdagssprog uden brug af algebra.

I dansk gymnasiekontekst har to forfattere af denne tekst selv mødt elever med disse to bevisopfattelser. Mere præcist i forbindelse med en observation af et undervisningsforløb som del af uddannelsen til matematikvejleder til gymnasiet, hvor elever blev udsat for forskellige typer af beviser for Pythagoras’ sætning. Her foretrak de fleste elever selv et såkaldt ”klippe-klistre bevis”, mens de var af den opfattelse, at dette ikke ville være gangbar mønt i en eksamenssituation, hvor de mente, at et mere algebraisk funderet bevis var påkrævet. I forbindelse med matematiske ræsonnementer og beviser bruges det billede gerne, at man først skal overbevise sig selv om en påstands sandhed, dernæst en ven og til slut en ”fjende” (Mason et al., 2010). Dette antyder således, at elever er at den opfattelse, at det, der overbeviser dem selv, ikke nødvendigvis er det, der overbeviser deres ”fjender”.

Sociomatematiske normer

I ethvert klasseværelse opstår eller skabes almindelige sociale normer for acceptabel adfærd og omgang mellem eleverne indbyrdes og mellem underviser og elev(er). Disse normer afspejler typisk tilsvarende normer gældende i omgivelserne og i samfundet som helhed. I ethvert matematikklasseværelse opstår eller skabes der tillige normer for, hvad der er ”god matematik”, typisk med læreren som ”overdommer”. Hvornår er et argument for en påstand, eller en løsning på en opgave korrekt? Eller original? Hvornår er et hverv fyldestgørende udført? Hvilke blandt flere forslag til løsning af et matematisk problem er bedst, smartest, hurtigst osv.? Sociomatematiske normer er en tredje slags norm (Yackel & Cobb, 1996), der opstår i samtalerne og diskussionerne i dialogbaserede matematikklasser - en mellemting mellem sociale og matematiske normer. Disse normer fastsætter, hvad der tæller som matematisk værdifulde bidrag til klassens fælles matematiske samtale. Sådanne normer er hverken rent matematiske, da de finder sted i en samtale eller diskussion ført i klassen og dermed er underlagt visse sociale normer, eller rent sociale normer, da de angår matematisk substans.

Sociomatematiske normer er for det meste tavse og etableret gennem faktiske matematiske samtaler og praksisser i klassen, hvor læreren typisk agerer dirigent for samtalen og som den endelige dommer vedrørende kvaliteten af bidragene til denne, men hvor også eleverne er nøglespillere i fastlæggelsen af disse normer. I modsætning til, hvad tilfældet er med den såkaldte didaktiske kontrakt, som rækker ud over selve klasseværelset og den aktuelle matematikundervisning, udleves sociomatematiske normer hovedsageligt inden for det enkelte klasseværelse. Det er ikke ualmindeligt at støde på en sammenblanding af sociomatematiske normer og den didaktiske kontrakt. Men selv om de findes side om side i enhver klasse, er de faktisk af forskellig art. Den didaktiske kontrakt angår arbejds- og ansvarsfordelingen mellem lærer og elever (Brousseau, 1997), mens de sociomatematiske normer angår den matematiske kvalitet af bidragene til klassens matematiske samtaler og diskussioner samt kvaliteten af elevernes forslag.

Begrebet sociomatematisk norm blev oprindeligt introduceret af Erna Yackel og Paul Cobb (1996) i forbindelse med deres dialogbaserede studier af matematikundervisning i klasser på tidlige undervisningstrin. De er imidlertid siden bragt i spil på såvel gymnasieniveau som videregående uddannelser (fx Levenson, Tirosh & Tsamir, 2009; Yackel, Rasmussen & King, 2000), hvor dialogbaseret matematikundervisning er på dagsordenen.

Eksempler på ræsonnementsopgaver

Eksempel 1: I en gymnasieklasse bedes hver elev om at foretage følgende: (1) Vælg et (ægte) trecifret tal, hvor det første ciffer er forskelligt fra det sidste. (2) Vend tallet om, så det sidste ciffer nu bliver det første. Træk det mindste af de to (to)trecifrede tal fra det største. (3) Vend også dette tal om og læg det til det foregående, altså resultatet af (2).

Nu skal alle eleverne offentliggøre deres tal. Hvis de regner rigtigt, får de alle det samme resultat, uafhængigt af, hvilket tal de valgte i begyndelsen. Opgave til eleverne: Bevis, at dette resultat altid opstår af den nævnte fremgangsmåde. Opgaven kan udbygges ved bagefter at betragte firecifrede tal.

Eksempel 2: Er det rigtigt, at sidelængden i et rektangel med et givet areal kan blive vilkårligt stort? Er det sandt, at sidelængden i et rektangel med en given omkreds kan blive vilkårligt stor?