Hvad er et positionssystem? 

Titalssystemet og det binære talsystem er eksempler på positionssystemer, der har forskellig basis. Men hvor de kommer fra, og hvordan kan man beskrive de grundlæggende forskelle, herunder hvad det betyder, at det danske sprogs talord er i base 20 til forskel fra mange andre lande, hvor basen er 10?

Når man arbejder med positionssystemer i undervisningen, er det centralt, at tale med eleverne om hvad tal er i hverdagseksempler. Det er vigtigt, at eleverne indser pladsværdisystemet i et positionssystem, og at man arbejder med mange forskellige relevante eksempler:

  • Store og små tal
  • Decimaltal
  • Mængder, længder, flader, rum, tid
  • Identifikationstal som varenumre og abonnementskoder.  

Anvendelse af nuller og decimaler

Man kan sætte nuller foran et tal, uden det betyder noget for tallets værdi, men det gør man normalt ikke. Eller man kan sætte dem bag ved et tal med decimaler, uden det ændrer værdien af tallet. Når man angiver en målt størrelse, betyder det noget at sætte et ekstra 0 bagved, da det antyder, at der er målt med større nøjagtighed.

Hvis man angiver bredden af et hul i muren til et vindue til 1,50 meter betyder det, at usikkerhed på målet er +/- en hundrededel meter eller +/- 0,5 cm. Hvis man derimod skriver, at hullet er 1,500 meter, så er usikkerheden +/- 0,5 mm, og så ville man nok skrive 1500 mm. Matematisk set er $1,50 = 1,500$, men når drejer sig om målte størrelser, viser antallet af cifre noget om usikkerheden, også selv om de sidste cifre er målt til nul.

Ved at fremhæve de grundlæggende træk ved titalssystemet og ved bringe historiske fakta og perspektiver ind i matematikundervisningen på erhvervsuddannelsen, bidrager man både til elevernes matematiklæring og til deres almene dannelse.

Titalssystemets oprindelse

Titalssystemet kaldes også for det hindu-arabiske eller indo-persiske talsystem. Det kom til Europa i slutningen af 900-tallet. I positionssystemer generelt – som ved titalssystemet – betyder det samme talsymbol noget forskelligt, afhængigt af hvor det står i et tal med flere cifre.

Titalssystemet vs. romertalsystemet  

Det er anderledes i fx romertalsystemet. Det er et additivt system (somme tider også kaldet et additionssystem), hvor hvert symbol har en fast værdi, uanset hvor det står i det samlede tal. X er for eksempel altid 10, men placeringen af X i et tal har betydning for den samlede talværdi. For eksempel er tallene IX og XI forskellige. Det første er 9, det andet 11. Det er en konvention, at står der et mindre tal til venstre for et større, trækkes dette tal fra det større $(10-1 = 9)$, men står det lille tal til højre for det store, lægges det til $(10+1 = 11)$.

Romertallene anvender disse symboler, hvilket eleverne måske allerede ved:

I = 1V = 5X = 10L = 50C = 100D = 500M = 1000

Eleverne vil måske undre sig over, at der ikke er et 0. Der er traditionelt set ikke et symbol for 0 i romertallene, men der er eksempler på, at omkring år 525 blev ordet 'nulla' brugt om nul, og N i forkortet form fra ca. 725. Nul er derfor som nævnt meget sent i romertallene. C er en forkortelse af det latinske centrum, der betyder 100, og M en forkortelse af det latinske mille, der betyder 1000.

Eksempel på aktivitet

På ældre bygninger i Danmark er opførelsesåret tit angivet med romertal, og romertallene bruges i dag også i ure og som sidetalsangivelser til forord i bøger. I dag anvendes romertal i fx tømrerfaget til at kategorisere forskellige slags spær til et loft. Det kan man fx se i spærene fra Grundtvigs Kirke i København. Dette er et eksempel, man kan anvende som udgangspunkt for at fortælle om romertallene og derfra gå over til at fortælle, at dette ikke er et positionssystem.

 

Det er vigtigt, at aktiviteter har basis i enten erhverv eller hverdag. Hvis eleverne ikke møder andet end titalssystemet i deres erhverv, og man alligevel ønsker, at de skal vide noget om andre systemer, så kan man for eksempel se på farvekoder i det hexadecimale system, der fx kan motiveres ved farvevalg, når man indretter egen bolig.

Decimaltals oprindelse

Den flamske matematiker Simon Stevin (1548-1620) anses for at være opfinderen af decimaltal. Han opfandt en måde at skrive fx den blandede brøk $4\frac{28}{100}$ på disse tre måder, hvor de tre cirkler hver for sig refererer til placeringen efter kommaet:

Undersøg gerne sammen med eleverne, hvilken logik der ligger bag disse tre notationer.

Efterhånden blev dette til den nemmere notation:

  • $4,28$ i Norden, Tyskland og Frankrig
  • $4.28$ i USA og England.

Det er vigtigt, at eleverne bliver opmærksomme på denne forskellige brug af kommaer, punktummer og mellemrum verden over.

I dag støder også man også i Danmark på brug af engelske 'punktummer' i tal, da vi læser tekster på nettet på engelsk, men det er også indbygget i for eksempel GeoGebra, hvor man er nødt til at skrive punktum i stedet for komma. Man skal fx skrive $7 = 0.5 x$ for at tegne den linje man ellers, på dansk, ville skrive som $y = 0,5 x$.

Positionssystemer med forskellig basis

Der findes forskellige 'baser' for positionssystemerne:    

Titalssystemet med basen 10

Titalssystemet har base 10. Dvs. vi har 10 symboler, og efter det sidste i rækken startes forfra på en snedig måde. Dvs. efter 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 kommer 10 (to pladser) osv. 1-tallet betyder her noget andet end det første 1-tal.

Pladserne i et heltal er nummereret fra højre mod venstre startende med 0. Et tocifret tal –  fx 31 – har altså værdi $1 ⋅ 10^0 + 3 ⋅ 10^1 = 1 ⋅ 1 + 3 ⋅ 10$, fordi $10^0$er 1. Og det er jo netop 31. Derfor kalder vi også pladserne i et tal fra højre mod venstre for 1’erne, 10’erne, 100’erne, 1000’erne, osv. 

For decimaltal, der har et komma, er pladserne foran kommaet nummeret som for heltal, mens pladserne efter kommaet er nummereret med negative tal fra venstre mod højre startende med -1. Det betyder, at værdien af fx $0,125$ er $0 ⋅ 10^0 + 1 ⋅ 10^{−1} + 2 ⋅ 10^{−2} + 5 ⋅ 10^{−3}$. Altså summen af 0’ere, 1 tiendedel, 2 hundrededele og 5 tusindedele, hvilket vi så meget bekvemt skriver $0,125$. 

Rent matematisk betyder positionssystemet, at cifret (talsymbolet) a på den $nte$ position har en værdi af $a_n ⋅ b^n$, hvor b er basen, og hvor pladserne foran kommaet er nummeret fra 0 og frem fra højre mod venstre og efter kommaet fra -1 og nedad fra venstre mod højre. Dette kan dog være meget abstrakt og formelt for mange.

Det binære talsystem med basen 2

Det binære talsystem – med basen 2 – er kendt fra computerverdenen og har kun to talsymboler: 0 og 1.

For elektrikere betyder 0, at der ikke er strøm, og 1, at der er strøm. Her er talrækkefølgen: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001 osv.

Omregning af 1001

Værdien af et binært tal fx 1001, omregnes til titalssystemet ved, at cifrene ganges med potenser af 2 opløftet i en potens svarende til cifrenes plads. Altså svarer 1001 i det binære system til: $1 ⋅ 2^0 + 0 ⋅ 2^1 + 0 ⋅ 2^2 + 1 ⋅ 2^3 = 1 ⋅ 1 + 0 + 0 + 1 ⋅ 8 = 9$ i titalssystemet.

Babylonsk matematik med basen 60

Babylonsk matematik (fra oldtidsriget Babylonien, som lå i den sydlige del af det nuværende Irak, ca. 2000-1600 f.Kr.) havde 60 som basis. Det ser vi i dag stadig spor efter i inddelingen af et minut i 60 sekunder og 360 grader i en cirkel.

Det hexadecimale system med 16-talssystemet

I det hexadecimale system (16-talssystemet) bruger man de 10 cifre fra titalssystemet sammen med bogstaverne A, B, C, D, E, F som basis.

Dette talsystem bruges i informationsteknologi og til farveangivelse.  

New Math med basen 8

I 1960’erne og 1970’erne havde man i mange lande et undervisningssystem i matematik, som blev kaldt Ny Matematik (New Math).

Én af hovedidéerne var, at eleverne skulle forstå de principper, som matematikken er opbygget efter. For virkeligt at forstå positionssystemet, mente man, at eleverne ikke alene skulle lære titalssystemet, men de skulle også lære at regne i base 8 eller 8-talssystemet. Håbet var, at de så virkeligt ville kunne komme til at forstå positionssystemet.

Subtraktion i basen 8

Her skulle elever fx lære addition og subtraktion i base 8.
Hver plads er 1’ere $(8^0)$, 8’ere $(8^1)$, 64’ere $(8^2)$, 512’ere $(8^3)$ osv.
Dvs. 127 i base 8 er 1 64’er, 2 8’ere og 7 1’ere. $64+16+7 = 87$.    

Talord på dansk med basen 20

I det danske sprog er talordene i base 20 og det kan være finurligt. Alle der har rejst i Norge eller Sverige har oplevet, at det ikke går an fx at sige 'syv og halvfjerds' om 77, men de forstår godt 'syv-ti-syv'. Altså base 10-sprog. Hvorfor er det sådan? En sådan dagligdags vinkel kunne motivere til at snakke om positionssystemet.

I Danmark og Frankrig taler man i base 20, men på forskellige måder

Det danske talsystem er sprogligt ikke kun base 10, men base 20. Det er det franske også, selv om begge lande bruger base 10 i skrift.

Men fransk og dansk gør det på forskellig måde. Her et eksempel med tallet 99:

  • På fransk siger man: 'quatre-vingt-dix-neuf'. Det betyder direkte oversat: '4, 20, 10, 9'.
    Altså: $(4 ⋅ 20) + 10 + 9 = 99.$
  • På dansk siger vi: 'ni-og-halv-fems'. Dvs. 9, 1/2, 100 da 'fems' er en sammentrækning af 'fem snes, altså fem 20’ere, dvs. 100.
    Altså: $9 + 20 ⋅ (5-1/2).$

Man kan også sige at halvfems er halvvejs på vejen fra fire til fem snese. Firs er 4 snese, og tres er 3 snese.

Snes er et gammelt dansk talord for 20. Måske er det ikke så mærkeligt, hvis positionssystemet er lidt svært på dansk.

Énere før tiere

I Danmark siger vi to-og-tyve, altså enerne før tierne, hvilket er anderledes end i andre lande, hvor man siger tierne først, dernæst enerne, fx på engelsk 'twenty-three': 20, 3 om 23. De siger tallet fra venstre til højre, altså i læseretningen. I Danmark går vi fra højre mod venstre: 'treogtyve'. Det kan gøre læsning af tallene lidt vanskeligere og måske forklare, hvis nogle elever skriver 23, når de mener 32. Det er vigtigt, at eleverne bliver klar over, at talesproget kan drille.

Særlige sproglige taludtryk

Også i andre lande har man særlige taludtryk, som kan synes finurlige for udenforstående. I indisk-engelsk har man en betegnelse for 100.000. Det kaldes ’one lakh’. Så 10 'lakh' er det vi kalder en million. 125 'lakhs' svarer så til 12,5 million, osv.

Når man læser, kommunikerer og handler ud over de danske sproggrænser, kan det også være godt at vide, at 100.000 på hollandsk hedder 'ton'. Dvs. 100.000 euro = 1 ton euro.

Også i det danske sprog har nogle tal særlige navne. 500 kroner bliver stadig tit kaldt for en plovmand, da tidligere femhundredekronesedler viste en mand, der pløjede en mark. Og man kan også høre 1000 blive omtalt som kilo, også når det ikke handler om vægt.

Denne form for talt sprog kan være en ekstra udfordring for elever med en anden sproglig baggrund end dansk.

Man kan sige, at sproget kan drille, når man lærer matematik.

Samtaler i klassen om dette kan også være startpunkt for en introduktion til positionssystemet og de forskellige baser.

til: ERHVERVSSKOLER
emne: POSITIONSSYSTEMER

Forfattere

Bettina Dahl Søndergaard

Lektor, ph.d. i matematikdidaktik
Aalborg Centre for Problem Based Learning in Engineering, Science and Sustainability under the auspices of UNESCO,
Aalborg Universitet / AAU

Lena Lindenskov

Lektor, ph.d. i matematikdidaktik
Institut for fagdidaktik DPU, Aarhus Universitet AU

Lauge Sams Granerud

Faglærer
Roskilde Tekniske Skole


Udgiver

Temaer på matematikdidaktik.dk udvikles i tæt samarbejde mellem forskere og praktikere og udgives af NCUM.
Se redaktionen og vores redaktionelle retningslinjer

Litteratur om positionssystemer

  • Beck, H. J., Hansen, H. C., Jørgensen, A., & Petersen, L. Ø. (1998).  Matematik i læreruddannelsen 1. Kultur, kundskab og kompetence. København: Gyldendal.
  • Breitag, T., & Venheim, R. (2005). Matematikk for lærere 2. Oslo: Universitetsforlaget.
  • Chan, W. W. L., Au, T. K., & Tang, J. (2014). Strategic counting: A novel assessment of place-value understanding. Learning and instruction, 29, 78-94.
  • Heuvel-Panhuizen, M. van den (2001). Children Learn Mathematics. Freudenthal Institute, Utrecht University, The Netherlands.
  • Scherer, P. (2014). Low achievers’ understanding of place value - materials, representations and consequences for instruction. In: T. Wassong et al. (Eds.). Mit werkzeugen mathematic und stochastic lernen - using tools for learning mathematics and statistics. Springer.
  • Schou, J., Jess, K., Hansen, H. C., & Skott, J. (2013). Matematik for lærerstuderende: Tal, algebra og funktioner. 4.-10. klasse. Samfundslitteratur.
  • Wedege, T. & Henningsen, I. (2001). Månedens tal 2000: 12 oplæg om talbrug i medierne. Roskilde: Center for forskning i matematiklæring.

Del tema Tag med