Eksempler: Aktiviteter med positionssystemer

To forslag til aktiviteter med positionssystemet: 'Alfabetaland', der kan benyttes som illustration af positionssystemet, og en opgave om multiplikation med romertal.

'Alfabetaland' - Aktivitet til illustration af positionssystemet

Aktiviteten kan både bruges til, at man som lærer genopdager/genoplever elevernes frustrationer over positionssystemet og hvordan det 'virker', men aktiviteten kan også anvendes med eleverne.

Læreren står ved en tavle og fortæller eleverne, at de nu skal forestille sig, at de er opdagelsesrejsende, der er ankommet til et helt nyt landområde, et fantasiland (fx en ø eller en beboet planet). Nu skal eleverne prøve at forstå områdets talsystem.

Der er forskellige mulige øvelser: 

ØVELSE 1

Tallene lyder mundtligt sådan:

  • alfa, beta, gamma, delta, alfafem
  • alfafem-alfa, alfafem-beta, alfafem-gamma, alfafem-delta, betem

  • Øvelse: Tæl videre til gammem og deltem.

 

ØVELSE 2

Man kan enten få eleverne til at opskrive dette til skriftlige tal, eller selv vise dem rækken af skriftlige 'tal':

  • α β γ δ α$0$ αα αβ αγ αδ  

  • Øvelse: Hvad er det næste tal i rækken?

De typiske svar vil være:

  • ααα
    Det er forkert. Det ville svare til, at der efter 19 kommer 100.
  • β$0$   
    Det er rigtigt. De har set systemet, da det svarer til, at der efter 19 kommer 20.

Hvis eleverne er på bar bund, kan læreren evt. tilføje:   

  • β$0$ βα ββ βγ βδ til rækken og se, om eleverne så ser systemet.
  • Ser de nu systemet, vil de svare, at næste tal i rækken er $γ0$.
    10’er-overgange kan være vanskelige.

Det er bedst, hvis man har adgang til konkrete materialer i 5-talssystemet, altså enere, 5'er-stænger, 25'er-plader og evt. 125-terninger, og så skal man også have en tælletavle med de særlige symboler, som kan lægges op på gulvet. Sådan en kan man evt. selv lave, eller få eleverne til at lave.

Inspiration til eksemplet kommer fra lektor emeritus Henning Nielsen og lektor Flemming Ejdrup, UCN & Schou et al. (Kilde 1)

Aktivitet med romertallene

Vi har lært at multiplicere i titalssystemet. Men hvordan gør man det i romertal? Sådan en aktivitet er ikke relateret til en praktisk eller hverdagsmæssig sammenhæng, men eksemplet er sjovt, fordi det er lidt anderledes end de opgaver, eleverne plejer at møde.

Selv om romertallene er et additivt system og ikke et positionssystem, udvikler eleverne alligevel en forståelse for positionssystemet, da de fx bliver nødt til at veksle 3 50’ere til 1 100’er og 1 50’er i eksemplet nedenfor.

Eleverne skal bruge en kugleramme/abacus, eller en tabel som nedenfor. 

Vi ønsker i dette eksempel at udregne $116 ⋅ 32$: 

  1. I første søjle markerer man 116 ved at lægge en kugle ud for henholdsvis C, X, V og I, da $100 + 10 + 5 + 1 = 116$.
    I anden søjle lægger man tilsvarende kugler ud for henholdsvis X (3 kugler) og I (2 kugler), da $30 + 2 = 32$.
  2. Tredje søjle hjælper med udregningerne. Til en start fylder man den ud, så den er identisk med første søjle. (Figur 1)
  3. For at gange med 32, deler vi udregningen op i tre trin: 10, 3 og 2. For at gange med 10, flyttes alle kugler i tredje søjle en gang op. Dvs. kuglerne ligger nu på henholdsvis M, C, mellem C og X (til at symbolisere 50) og X.
  4. Dernæst ganges tredje søjle med 3 ved at lægge to ekstra kugler ved siden af dem, der allerede ligger der. (Figur 2)
  5. Nu reducerer/simplificerer vi vort resultat (de 3 50’ere veksles til 1 100’er og 1 50’er), og vi fjerner de tre kugler fra anden søjle, for at minde os om, at vi nu har ganget med 30.
  6. Næste trin er at gange 116 med 2 (vi har indtil nu kun ganget med 30). Vi gør det ved at fordoble antal kugler i første søjle, da det i stedet for at indikere 116 indikerer 232. (Figur 3)
  7. Vi reducerer/simplificerer igen og fjerner de resterende 2 kugler i den midterste søjle, da vi nu har afsluttet at gange med 2. (Figur 4)
  8. Vi samler til slut alle kuglerne fra første og tredje søjle i den nu tomme anden søjle, simplificerer og veksler, og så er vi færdige. Vort svar er MMMDCCXII eller 3712. (Figur 5)

Øvelse vedr romertal. Figur 1-5

til: ERHVERVSSKOLER
emne: POSITIONSSYSTEMER

Forfattere

Bettina Dahl Søndergaard

Lektor, ph.d. i matematikdidaktik
Aalborg Centre for Problem Based Learning in Engineering, Science and Sustainability under the auspices of UNESCO,
Aalborg Universitet / AAU

Lena Lindenskov

Lektor, ph.d. i matematikdidaktik
Institut for fagdidaktik DPU, Aarhus Universitet AU

Lauge Sams Granerud

Faglærer
Roskilde Tekniske Skole


Udgiver

Temaer på matematikdidaktik.dk udvikles i tæt samarbejde mellem forskere og praktikere og udgives af NCUM.
Se redaktionen og vores redaktionelle retningslinjer

Kilder

  1. Schou, J., Jess, K., Hansen, H. C., & Skott, J. (2013). Matematik for lærerstuderende: tal, algebra og funktioner; 4.-10. klasse. Samfundslitteratur.
Mere litteratur om positionssystemer:

  • Beck, H. J., Hansen, H. C., Jørgensen, A., & Petersen, L. Ø. (1998).  Matematik i læreruddannelsen 1. Kultur, kundskab og kompetence. København: Gyldendal.
  • Breitag, T., & Venheim, R. (2005). Matematikk for lærere 2. Oslo: Universitetsforlaget.
  • Chan, W. W. L., Au, T. K., & Tang, J. (2014). Strategic counting: A novel assessment of place-value understanding. Learning and instruction, 29, 78-94.
  • Heuvel-Panhuizen, M. van den (2001). Children Learn Mathematics. Freudenthal Institute, Utrecht University, The Netherlands.
  • Scherer, P. (2014). Low achievers’ understanding of place value - materials, representations and consequences for instruction. In: T. Wassong et al. (Eds.). Mit werkzeugen mathematic und stochastic lernen - using tools for learning mathematics and statistics. Springer.
  • Wedege, T. & Henningsen, I. (2001). Månedens tal 2000: 12 oplæg om talbrug i medierne. Roskilde: Center for forskning i matematiklæring.


Del tema Tag med