Epidemimatematik: Vaccination

Epidemimatematik kan hjælpe med at svare på spørgsmål i forbindelse med vaccination og smittetryk. Det kunne være spørgsmål som, hvor mange der skal vaccineres, hvem der skal vaccineres, og hvornår de skal vaccineres. Se eksempler på sammenhæng mellem fx kontakttal og flokimmunitet.

Er man immun over for en smitsom sygdom, så bliver man ikke syg, når man udsættes for smitte. Man kan for eksempel opnå immunitet ved at have haft sygdommen eller ved at blive vaccineret. Er der mange, der er immune, forhindrer det i sig selv sygdommen i at sprede sig. Antallet af nye smittede aftager, når der ikke er nok modtagelige at smitte, og sygdommen går så at sige i stå.

Hvem og hvor mange skal vaccineres for at få sygdommen under kontrol? Hvad nu, hvis der ikke er vaccine til alle? Svarene på de spørgsmål kræver naturligvis politiske og sundhedsfaglige valg, men hvis man vil træffe sådanne valg på et oplyst grundlag, er der også brug for matematik. Det kommer der nogle eksempler på her.

Kontakttal og flokimmunitet

Hvis alle er blevet immune, kan sygdommen ikke sprede sig – heller ikke, hvis nogen kommer smittede hjem fra et område, hvor man stadig har sygdommen. Det siger sig selv. Men den samme effekt kan man opnå, selvom ikke alle er immune.

Kontakttallet beskriver, hvor mange personer en smittet i gennemsnit smitter. Hvis kontakttallet er mindre end 1, vil 100 smittede personer smitte færre end 100, som igen smitter endnu færre, og sygdommen dør ud.

Vaccination kan påvirke kontakttallet – hvis mange er vaccinerede, kan de 100 smittede ikke smitte så mange som ellers, fordi en del af dem, de møder, er immune, og derfor ikke kan smittes. Det gælder altså om,, at vaccinere så mange, at kontakttallet bringes ned under 1. Så er der nemlig flokimmunitet i befolkningen.

Eksempel

Hvis 100 smittede smitter 120 (kontakttallet er 1,2) skal man sørge for, at 21 af de 120 er immune. Så smitter de 100 nemlig kun $120 - 21 = 99$. Hvor mange der skal vaccineres for at opnå så mange immune, vil afhænge af vaccinen, fordi den typisk ikke giver fuld immunitet til alle, der vaccineres. I eksemplet nedenfor går vi imidlertid ud fra, at man bliver immun ved vaccination, og at de immune ikke kan smitte.

Eksempel: Hvor mange skal vaccineres for at opnå flokimmunitet?

I eksemplet ovenfor med et kontakttal på 1,2 skulle vi vaccinere 21 af de 120.

Mere præcist:

  • Vi skal vaccinere mere end $\frac{20}{120}$, altså mere end $\frac{1}{6}$ af befolkningen.
  • Den andel, $\frac{1}{6}$, er tærsklen for flokimmunitet.

Med et kontakttal på $k$, vil 100 smittede smitte $100k$ personer. Vi vil gerne have, at flere end $100k - 100$ af disse skal være immune, altså skal en andel på $\frac {100k - 100}{100k}$ af befolkningen vaccineres og blive immune.

Konklusionen er:
Hvis kontakttallet er $k$, kræver flokimmunitet, at en andel på mere end $\frac {k-1}{k}$ af befolkningen er immune. Det kan opnås ved vaccination eller ved, at mange har været syge.

Vi skal bruge kontakttallet $k$ i udregningen, men hvad er det tal mon? Under COVID-19-pandemien 2019-2021 har det varieret. Det kan holdes nede med de mange tiltag, man kan bruge for at undgå smitte: fra håndvask til 'lockdown'. Der skal vaccineres så mange, at vi kan holde smitten nede selv uden de mange restriktioner.

Det kontakttal, vi skal bruge, er derfor det basale reproduktionstal $R_0$. Det er et (teoretisk) mål for, hvor smitsom en sygdom er, hvis ingen har haft den før (er immune), og alle opfører sig som sædvanlig.

Med et basalt reproduktionstal på $R_0$ kræver flokimmunitet, at en andel på $\frac {{R_0}-1}{R_0} = 1−\frac {1}{R_0}$ af befolkningen er immune.

$R_0$ for:

  • Mæslinger: 15-18
  • Skoldkopper og fåresyge: 10-12
  • Polio og røde hunde: 5-7
  • Kighoste 5,5
  • Kopper 3,5-6
  • COVID-19 3,28 - 5,7
  • HIV/AIDS 2-5
  • Forkølelse 2-3
  • SARS 0,19-1,08
  • Difteri 1,7-4,3
  • Den spanske syge (1918-influenzaen) 1,4-2,8
  • Ebola 0,5-1,9
  • Sæsoninfluenza 0,9-2,1
  • MERS 0,3-0,8
  • Rabies 0

(Kilde 1)

Kopper er et eksempel på en sygdom, der er udryddet på verdensplan via vaccination. Mange af disse sygdomme er en del af børnevaccinationsprogrammet i Danmark.

Seruminstituttet følger udviklingen, anvend evt. eksempler herfra i undervisningen:

Flere betegnelser for kontakttal, reproduktionstal og smittetryk

Notationer og navne på de tal, der karakteriserer epidemier, kan variere fra kilde til kilde.

  • Reproduktionstal
    'Det basale reproduktionstal' er man nogenlunde enige om, dog kan man støde på formuleringen 'det naturlige reproduktionstal' som navn for samme størrelse.
  • Kontakttal
    Det, der ovenfor kaldes kontakttallet, bliver også kaldt smittetrykket, det effektive reproduktionstal, reproduktionstal og muligvis også andre navne. Ordet kontakttal blev indført af Statens Serum Institut i juni 2020 for at skabe klarhed. Det afhænger både af, hvor smitsom en sygdom er, og hvor mange muligheder, der er for at smitte, altså kontakterne.
  • Smittetryk
    Smittetrykket er i fagkredse ofte den gennemsnitlige risiko for at blive smittet, det afhænger altså af både kontakttallet, og hvor mange smittede, der er. (Kilde 2)

Forslag til spørgsmål og aktiviteter med elever

Forslag til spørgsmål 

  • Hvad kræver flokimmunitet for (nogen af) sygdommene ovenfor?
  • Flokimmunitetstærsklen for mæslinger er ca. 94 %. Overvej, hvad der sker, hvis 97 % af befolkningen i Danmark er immune, men de 3 %, der ikke er det, bor i samme by.
  • Hvorfor har rabies en reproduktionsrate på 0? Svar: Det smitter ikke mellem mennesker.
  • Under COVID-19-pandemien muterede virus – som alle vira gør. I december 2020 ankom mutationer til Danmark, der var 50-74 % mere smitsomme end de hidtil kendte. Hvad betyder det for tærsklen for flokimmunitet? Svar: $R_0$ skal ganges med 1,5 eller 1,75 i formlen for flokimmunitet. Bemærk, at det ikke er tærskelværdien for flokimmuniteten, der ganges med 1,5. (Kilde 3)  
  • Hvis vaccinen ikke er 100 % effektiv, hvor mange skal så vaccineres for at opnå flokimmunitet?
    Svar: Hvis halvdelen af de vaccinerede bliver immune, skal man vaccinere dobbelt så mange, som flokimmuniteten kræver. Hvis $\frac {1}{4}$ af de vaccinerede bliver immune, skal man vaccinere fire gange så mange som flokimmuniteten. Man skal altså vaccinere $\frac {{R_0}-1}{R_0} ⋅ \frac {1}{e} $ hvis $e$ er den andel af de vaccinerede, der bliver immune.
  • Hvordan formuleres ovenstående overvejelser ved hjælp af sandsynlighedsteori? 

Forslag til aktiviteter

  • Lav en håndgribelig fremstilling med et antal kortspil, hvor man trækker det antal, der smittes.
    • Først er der måske 10 smittede. Kontakttallet fortæller, hvor mange, der derefter trækkes. Hvis alle esser er immune, hvad sker der så?
    • Hvilken andel svarer det til?
    • Hvad er det nye kontakttal (efter esserne er blevet immune)?
    • Svar: $k(1-\frac{1}{13})= \frac{12k}{13}$.
  • Spørgsmål:
    • Hvad nu, hvis alle spar er immune?
    • Hvad gør man, hvis kontakttallet gør, man skal trække et halvt kort? Slår med en terning og ser, om man skal trække et eller nul?
  • Spil 'Netværkssygdom' og Counter Plague.
    Stil spørgsmål som: Hvem skal man vaccinere, hvis man ikke har vacciner til alle?
    For en sygdom med stor variation i, hvor meget en syg smitter, er det noget mere indviklet.
    Tænk over, hvem vi så skal vaccinere.
  • Spil Epidemics on Networks (NRICH)
  • Spil Vaccination Game (NRICH) 
til: Grundskole, Erhvervsskole og Gymnasie
emne: EPIDEMIMATEMATIK

Kilder

  1. Wikipedia. Opslag: Basic reproduction number. Lokaliseret april 2021 på: https://en.wikipedia.org/wiki/Basic_reproduction_number

  2. SSI. Opslag: Reproduktionstallet har ligget under eller omkring 1 siden slutningen  af april.
  3. . Lokaliseret april 2021: https://www.ssi.dk/aktuelt/nyheder/2020/reproduktionstallet-har-ligget-under-eller-omkring-1-siden-slutningen-af-april
  4. SSI. Opslag: Udvikling i smitte med engelsk virusvariant af SARS-COV-2 (cluster B.1.1.7). Lokaliseret april 2021: https://www.ssi.dk/-/media/cdn/files/opdaterede-data-paa-ny-engelsk-virusvariant-sarscov2-cluster-b117--01012021.pdf?la=da 

Del tema Tag med